2020秋新人教A版选修2-1数学学案全套（共230页） 229页

- 1 - 第一章 常用逻辑用语 德国伟大的诗人歌德，有一次在魏玛公园散步．当他走在一条仅能容一个人通过的小路 上时，迎面走来了一位曾经把歌德的所有作品都贬得一文不值的文艺批评家．那位批评家站 在歌德的对面，傲慢地说：“对一个傻子，我绝不让路．” “我却正好相反．”歌德边说 边微笑着站到了一边．顿时，那位批评家满脸通红，羞得无地自容．这里反映的就是常用逻 辑用语在现实生活中的应用． 日常生活中，我们经常涉及一些逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项 工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，需要对一些命题进行判断和推理．因此， 正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．本章我们将学习常用逻辑用语， 体会逻辑用语在表述和论证中的作用． 学习目标 1．了解命题的概念，会判断命题的真假． 2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义． 4．能够正确地对含有一个量词的命题进行否定． 5．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 6．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 本章重点 命题及其关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义；逻辑联结词“或”“且”“非” 的含义；全称量词与存在量词的应用． 本章难点 必要条件的含义；含有一个量词的全称命题和特称命题的否定． 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题 自主预习·探新知 情景引入 中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题：白马非马．对于一般人来说，“白马 是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？孔子的六世孙孔 穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也 是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．” 孔穿几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了， 它的破绽在哪里呢？ - 2 - 新知导学 命题及相关的概念 (1)定义：用__语言、符号或式子__表达的，可以__判断真假__的陈述句． (2)分类： ①真命题：判断为__真__的语句； ②假命题：判断为__假__的语句． (3)形式：命题的结构形式是“__若 p，则 q__”，其中__p__是命题的条件，__q__是命 题的结论． 预习自测 1．下列语句中，命题的个数是( C ) ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③单位向量的模为 1；④你是高二的学生吗？ A．0 B．1 C．2 D．3 [解析] 由命题的定义知，语句①③能判断真假，所以是命题，故选 C． 2．下列语句中是命题的是( D ) A．两点确定一条直线吗？ B．在线段 AB 上任取一点 C．作∠A 的平分线 AM D．两个锐角的和大于直角 [解析] 两个锐角的和大于直角是一个假命题，A、B、C 都不能判断真假． 3．下列命题为假命题的是( C ) A．log24＝2 B．直线 x＝0 的倾斜角是π 2 C．若|a|＝|b|，则 a＝b D．若直线 a⊥平面α，直线 a⊥平面β，则α∥β [解析] 由|a|＝|b|得 a 与 b 的模相等，但方向不定，故 a 与 b 不一定相等，故选 C． 4．下列命题为真命题的是( A ) A．若1 x ＝1 y ，则 x＝y B．若 x2＝1，则 x＝1 C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 xy2，故选 A． 5．把命题“函数 f(x)＝sinx 是奇函数”改写成“若 p，则 q”的形式是__若一个函数是 - 3 - f(x)＝sinx，则该函数是奇函数__. [解析] 命题的条件是一个函数是 f(x)＝sinx，结论是该函数是奇函数，所以命题可改 写为若一个函数是 f(x)＝sinx，则该函数是奇函数． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 命题概念的理解 典例 1 (1)下列语句是命题的是( A ) A．π 2 是无限不循环小数 B．3x≤5 C．什么是“温室效应”？ D．明天给我买本书！ (2)下列语句中不是命题的是( C ) A．y＝cosx(x∈R)是偶函数 B．tanπ 4 ＝ 3 3 C．这是一条大河 D．x2＋2x＋1≥0 [思路分析] 判断一个语句是否为命题的标准为一是陈述句，二是可以判断真假． [规范解答] (1)“π 2 是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项 B，因为无法判断“3x≤5”的真假，所以选项 B 不是命题；选项 C 是疑问句，选项 D 是祈使 句，故都不是命题． (2)“这是一条大河”不是命题，因为“大河”没有界定标准，故不能判断“这是一条大 河”的真假． 『规律总结』 判断命题的三个注意点 (1)必须是陈述句，祈使句、疑问句，感叹句等都不是命题． (2)含义模糊不清，不能判断真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命 题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容词的，都不是命题． (3)不要误以为判断为假的陈述句不是命题，只不过它是假命题而已． ┃┃跟踪练习 1__■ 判断下列语句是否为命题，并说明理由． (1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数； (2)x－2>0； - 4 - (3)集合{a，b，c}有 3 个子集； (4)这盆花长得太好了！ [解析] (1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的，因此它是命题． (2)因为无法判断“x－2>0”的真假，所以它不是命题． (3)“集合{a，b，c}有 3 个子集”是假的，所以它是命题． (4)“这盆花长得太好了”无法判断真假，它不是命题． 命题方向❷ 命题真假的判断 典例 2 下列语句中是命题的有__①③④⑤__，其中是真命题的有__①④__(填序 号)． ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？” ②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？” ③“一个数不是正数就是负数”； ④“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”； ⑤“若 x＋y 为有理数，则 x、y 都是有理数”； ⑥作一个三角形． [规范解答] ①通过反义疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真 命题． ②疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题． ③是假命题，数 0 既不是正数也不是负数． ④是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边． ⑤是假命题，如 x＝ 3，y＝－ 3. ⑥祈使句，不是命题． 故填①③④⑤；①④. 『规律总结』 判断命题真假的方法 (1)真命题的判定方法： 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、 公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)假命题的判定方法： 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． ┃┃跟踪练习 2__■ (山西太原 2019－2020 学年高二期末)下列命题是真命题的是( C ) A．4∈{2,3}且 2∈{2,3} B．1 是奇数且 1 是素数 C．2 是偶数或 3 不是素数 D．周长和面积相等的两个三角形全等 [解析] A 中，4∉ {2,3}，故 A 错；B 中 1 不是素数，故 B 错；C 中“2 是偶数”是真， - 5 - “3 不是素数”为假，所以“2 是偶数或 3 不是素数”为真；D 中周长或面积相等的两个三角 形不一定全等，所以 D 错．故选 C． 命题方向❸ 命题的构成形式 典例 3 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并判断其真假． (1)实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧． [思路分析] 本题所给的命题都不具备“若 p，则 q”的形式．解决这类题型既要找准命 题的条件和结论，还要注意表述的完整性． [规范解答] (1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数．这个命题是 真命题． (2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．这个命题 是假命题． (3)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对 的弧．这个命题是真命题． 『规律总结』 1.关于“若 p，则 q”型的命题 本章中我们讨论的命题都可写成“若 p，则 q”的形式．其中 p 为条件，q 为结论，p 和 q 本身也可为一个简单命题． 2．有些命题的条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若 p， 则 q”的形式．把命题改写为“若 p，则 q”形式时，不要把大前提误为条件． 3．并非所有的命题都可写成“若 p，则 q”型，如“5>3”也是命题． ┃┃跟踪练习 3__■ 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断真假． (1)能被 3 整除的数一定能被 6 整除． (2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． [解析] (1)命题改写成“若 p，则 q”的形式为：若一个数能被 3 整除，则这个数一定 能被 6 整除； 它是假命题，如 9 能被 3 整除，但不能被 6 整除． (2)命题改写成“若 p，则 q”的形式为：若一个点到已知线段两端点的距离相等，则这 个点在这条线段的垂直平分线上； 由平面几何知识知它是真命题． 学科核心素养 命题的真假与其他知识的综合应用 命题的概念中有两个要点：①陈述句；②可以判断真假．利用这两点可借助于函数的奇 偶性、单调性、对称关系来解决一些开放性问题． 典例 4 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题． - 6 - 若函数 f(x)＝3＋log2x(x>0)的图象与 g(x)的图象关于__x 轴__对称，则函数 g(x)＝__ －3－log2x(x>0)__.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的 情形) [思路分析] 本题答案不唯一．空中可以依次填入 x 轴，－3－log2x(x>0)． [规范解答] 若函数 f(x)与 g(x)的图象关于 x 轴对称，则可将函数 y＝f(x)＝3＋ log2x(x>0)中的(x，y)用(x，－y)代换，得－y＝3＋log2x(x>0)，所以 g(x)＝－3－log2x(x>0)． 『规律总结』 解答此类题目，首先要审清题意，弄明白求什么，然后根据所学知识选 择合适的答案． ┃┃跟踪练习 4__■ 已知 p：5x－1>a，q：x>1，请选择适当的实数 a，若命题“若 p，则 q”为真命题，则 a 的取值范围为__[4，＋∞)__. [解析] 命题“若 p，则 q”为“若 x>1＋a 5 ，则 x>1”，由命题为真命题，可知1＋a 5 ≥1， 解得 a≥4，故 a 的取值范围为[4，＋∞)． 易混易错警示 典例 5 已知下列命题： (1)已知平面向量 a，b，若 a·b＝0，则 a⊥b； (2)已知平面向量 a，b，若 a∥b，则 a＝λb(λ∈R)； (3)若两个平面同时垂直于一条直线，则这两个平面平行； (4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体是正方体． 其中真命题的个数是( A ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 [错解] D [辨析] (1)(2)对平面向量垂直、平行的条件把握不到位，尤其是特殊向量的情况．(4) 中对空间几何体的三视图考虑的不全面． [正解] 对于(1)中，当 a，b 中有一个为零向量时，a⊥b 不成立，故(1)是假命题；对于 (2)，当 b＝0，a≠0 时，a＝λb 不成立，故(2)是假命题；(3)为真命题；对于(4)，几何体还 可以是球，故(4)为假命题．故选 A． 『规律总结』 在把命题的概念理解的情况下，还要把命题中涉及的背景知识熟练掌握． 1.1.2 四种命题 自主预习·探新知 情景引入 - 7 - 阿凡提之《金币与毛驴的故事》中，有一天，财主想要阿凡提的毛驴但又不想给金币， 就对阿凡提说：“你给我毛驴，我就给你金币”．阿凡提回答到：“你给我金币，我就给你 毛驴”．狡猾的财主说：“你不给我毛驴，我就不给你金币”，阿凡提想了想说：“你不给 我金币，我就不给你毛驴”．想想故事的结局如何呢？ 新知导学 1．互逆命题 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__结论__和__ 条件__，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做__原命题__，另一个 命题叫做原命题的__逆命题__. 若原命题是“若 p，则 q”，则其逆命题为“__若 q，则 p__”． 2．互否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的__条件的否定__和__结 论的否定__.我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另 一个命题叫做原命题的__否命题__. 若原命题为“若 p，则 q”，则其否命题为“__若¬p，则¬q__”． 3．互为逆否命题 对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的__结论的否定__和__条 件的否定__，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个命题叫做原命题的__逆否命题__. 若原命题为“若 p，则 q”，则其逆否命题为“__若¬q，则¬p__”． 预习自测 1．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形” 的( A ) A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．无关命题 2．已知 a，b∈R，则命题“若 a＋b＝1，则 a2＋b2≥1 2 ”的否命题是( A ) A．若 a＋b≠1，则 a2＋b2<1 2 B．若 a＋b＝1，则 a2＋b2<1 2 C．若 a2＋b2<1 2 ，则 a＋b≠1 D．若 a2＋b2≥1 2 ，则 a＋b＝1 - 8 - [解析] 命题“若 a＋b＝1，则 a2＋b2≥1 2 ”的逆命题是“若 a＋b≠1，则 a2＋b2<1 2 ”，故 选 A． 3．命题“若α＝π 4 ，则 tanα＝1”的逆否命题是( C ) A．若α≠π 4 ，则 tanα≠1 B．若α＝π 4 ，则 tanα≠1 C．若 tanα≠1，则α≠π 4 D．若 tanα≠1，则α＝π 4 [解析] 本题主要考查命题的四种形式．写逆否命题时，将原命题的题设和结论分别否 定再交换．故选 C． 4．命题“若 a>3，则 a>5”的逆命题是__若 a>5，则 a>3__. [解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题． 5．命题“若 x≥0，则 x2≥0”的否命题是__若 x<0，则 x2<0__. [解析] 原命题的否命题既否定条件又否定结论，故命题“若 x≥0，则 x2≥0”的否命题 是“若 x<0，则 x2<0”． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 四种命题的概念 典例 1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)等底等高的两个三角形是全等三角形； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)若 a>b，则 ac2>bc2. [思路分析] 本题中第(1)(2)小题不是“若 p，则 q”的形式，首先应化为这种形式，再 写其他命题，第(3)小题具备“若 p，则 q”的形式，可直接写其他三种命题． [规范解答] (1)原命题：若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等； 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高； 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等； 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． (2)原命题：若 x＝2，则 x2＋x－6＝0； 逆命题：若 x2＋x－6＝0，则 x＝2； 否命题：若 x≠2，则 x2＋x－6≠0； 逆否命题：若 x2＋x－6≠0，则 x≠2. (3)原命题：若 a>b，则 ac2>bc2； 逆命题：若 ac2>bc2，则 a>b； - 9 - 否命题：若 a≤b，则 ac2≤bc2； 逆否命题：若 ac2≤bc2，则 a≤b. 『规律总结』 写出四种命题的方法 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题． (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题． (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． ┃┃跟踪练习 1__■ 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)若 x2＋y2＝0，则 x、y 全为 0； (2)若 a＋b 是偶数，则 a、b 都是偶数． [解析] (1)逆命题：若 x、y 全为 0，则 x2＋y2＝0； 否命题：若 x2＋y2≠0，则 x、y 不全为 0； 逆否命题：若 x、y 不全为 0，则 x2＋y2≠0. (2)逆命题：若 a、b 都是偶数，则 a＋b 是偶数； 否命题：若 a＋b 不是偶数，则 a、b 不都是偶数； 逆否命题：若 a、b 不都是偶数，则 a＋b 不是偶数． 命题方向❷ 四种命题真假的判断 典例 2 判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断 其真假． (1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形； (2)若在二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中 b2－4ac<0，则该函数图象与 x 轴有交点． [规范解答] (1)该命题为真． 逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真． (2)该命题为假． 逆命题：若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴有公共点，则 b2－4ac<0，为假． 否命题：若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中 b2－4ac≥0，函数图象与 x 轴无公共点，为假． 逆否命题：若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴无公共点，则 b2－4ac≥0，为假． 『规律总结』 判断四种命题真假的方法 (1)要正确理解四种命题间的相互关系． (2)正确利用相关知识进行判断推理． (3)若由“p 经逻辑推理得出 q”，则命题“若 p，则 q”为真；确定“若 p，则 q”为假 时，则只需举一个反例说明． ┃┃跟踪练习 2__■ 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假． - 10 - (1)若 m·n<0，则方程 mx2－x＋n＝0 有实数根； (2)相等的两个角的正弦值相等． [解析] (1)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 m·n<0，假命题． 否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，假命题． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n≥0，真命题． (2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等，假命题． 否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等，假命题． 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等，真命题． 学科核心素养 由命题的真假求参数范围 典例 3 给出下列两个命题： 命题甲：关于 x 的不等式 x2＋(a－1)x＋a2≤0 的解集为∅ ； 命题乙：函数 y＝(2a2－a)x 为增函数． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙有且只有一个是真命题． 分别求出符合(1)(2)的实数 a 的取值范围． [思路分析] 第(1)问可以利用集合的观点取甲、乙成立的并集，也可以求出问题的反面 后，再写出其补集；第(2)问需要对甲、乙中哪一个为真进行分类讨论． [规范解答] 甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0， 即 A＝{a|a>1 3 或 a<－1}； 乙为真时，2a2－a>1，即 B＝{a|a>1 或 a<－1 2 }． (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为 A，B 的并集，这时实数 a 的取值范围是{a|a>1 3 或 a<－1 2 }． (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况： 当甲真乙假时，1 3 －3，则 a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数 为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] 易知原命题正确，则其逆否命题也正确，原命题的逆命题“若 a>－6，则 a>－3” 不正确，其否命题也不正确，故选 B． 4．(山西太原 2018－2019 学年高二期末)命题“如果 x＋y>3，那么 x>1 且 y>2”的逆否 命题是__如果 x≤1 或 y≤2，则 x＋y≤3__. [解析] 命题“如果 x＋y>3，那么 x>1 且 y>2”的逆否命题是“如果 x≤1 或 y≤2，则 x ＋y≤3”． 5．命题“已知不共线向量 e1、e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为__已知 不共线向量 e1、e2，若λ，μ不全为 0，则λe1＋μe2≠0__，是__真__命题(填“真”或“假”)． [解析] 互为逆否的命题为等价命题，同真同假． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 四种命题间的相互关系 典例 1 下列四个命题： - 13 - ①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题； ②“若 a>b，则 a2>b2”的逆否命题； ③“若 x≤－3，则 x2－x－6>0”的否命题； ④“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( B ) A．0 B．1 C．2 D．3 [规范解答] ①中命题的否命题为“若 x＋y≠0，则 x，y 不互为相反数”，易知为真命 题． ②中，当 a＝2，b＝－3 时，a2－3，则 x2－x－6≤0”．当 x＝4>－3 时，x2－x－6＝16－4 －6＝10>0，故它的否命题为假命题． ④中命题的逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．易知为假命题． 『规律总结』 1.命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的． 2．研究命题及其关系时，首先要将命题写成“若 p，则 q”形式，再依据相关概念作出 判断． ┃┃跟踪练习 1__■ 设原命题：若 a＋b≥2，则 a、b 中至少有一个不小于 1，则原命题与其逆命题的真假情 况是( A ) A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 [解析] 因为原命题“若 a＋b≥2，则 a、b 中至少有一个不小于 1”的逆否命题为“若 a、 b 都小于 1，则 a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若 a＋b≥2，则 a、b 中至 少有一个不小于 1”的逆命题为“若 a、b 中至少有一个不小于 1，则 a＋b≥2”，是假命题， 反例为 a＝1.2，b＝0.3，故选 A． 命题方向❷ 原命题与逆否命题的等价应用 典例 2 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为空集，则 a<2”的逆否命题的真假． [思路分析] 判断这个命题的逆否命题的真假，可先写出它的逆否命题再判断，也可以 利用互为逆否命题的等价性来判断． [规范解答] 解法一：原命题的逆否命题为：“已知 a，x 为实数，若 a≥2，则关于 x 的 不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是空集”． 判断真假如下： 抛物线 y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2 开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， - 14 - ∵a≥2，∴4a－7>0，即抛物线与 x 轴有交点． ∴关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真． 解法二：先判断原命题的真假： ∵a，x 为实数，关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的解集为空集， ∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0， ∴a<7 4 <2. ∴原命题是真命题． 由原命题和它的逆否命题等价，知它的逆否命题为真命题． ┃┃跟踪练习 2__■ 求证：若 a＋b≥6，则 a，b 中至少有一个不小于 3. [证明] 构造命题 p：若 a＋b≥6，则 a，b 中至少有一个不小于 3， 则其逆否命题为：若 a，b 都小于 3， 则 a＋b<6. 而当 a<3，且 b<3 时，必有 a＋b<6，所以逆否命题为真，从而原命题 p 为真命题． 学科核心素养 等价性命题在证明中的应用 典例 3 求证：当 a2＋b2＝c2 时，a，b，c 不可能都是奇数． [思路分析] 可将要证明的问题看作一个命题，只需证明这个命题是真命题即可，若证 明这个命题本身比较困难，则可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题． [规范解答] 证明：构造命题 p：若 a2＋b2＝c2，则 a，b，c 不可能都是奇数． 该命题的逆否命题是：若 a，b，c 都是奇数，则 a2＋b2≠c2.下面证明逆否命题是真命题． 由于 a，b，c 都是奇数，则 a2，b2，c2 都是奇数，于是 a2＋b2 必为偶数，而 c2 为奇数，所 以有 a2＋b2≠c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题． 『规律总结』 正难则反思想的利用：我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时， 可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． ┃┃跟踪练习 3__■ 已知 a、b、c∈R，证明：若 a＋b＋c<1，则 a、b、c 中至少有一个小于1 3 . [证明] 原命题的逆否命题为“已知 a、b、c∈R，若 a、b、c 都大于或等于1 3 ，则 a＋b ＋c≥1”． 由条件 a≥1 3 ，b≥1 3 ，c≥1 3 ， 三式相加得 a＋b＋c≥1， 显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知 a、b、c∈R，若 a＋b＋c<1， - 15 - 则 a、b、c 中至少有一个小于1 3 . 易混易错警示 典例 4 命题“若 a，b 都是奇数，则 a＋b 是偶数”的否命题是( D ) A．若 a，b 都不是奇数，则 a＋b 是偶数 B．若 a，b 都是奇数，则 a＋b 不是偶数 C．若 a，b 都不是奇数，则 a＋b 不是偶数 D．若 a，b 不都是奇数，则 a＋b 不是偶数 [错解 1] B [辨析] 在写一个命题的否命题时，只对结论否定是不正确的．应该对条件和结论同时 否定，即“若 p，则 q”的否命题为“若¬p，则¬q”． [错解 2] C [辨析] “都是”的否定错误，a，b 是否为奇数，包含四种情况，从而“都是”的否定 应为“不都是”． [正解] D 『规律总结』 常见的一些词语和它的否定词语对照： 原词 等于 (＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有 一个 至多有 n 个 至少有 一个 否定词 语 不等于 (≠) 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 至少有 两个 至少有 n＋1 个 一个也 没有 1.2.1 充分条件与必要条件 自主预习·探新知 情景引入 现在的招聘一般由资格审查、笔试、面试三部分构成．如果你在招聘中已通过了资格审 查和笔试，那么你是否一定能通过面试？是否一定能求职成功？ 新知导学 - 16 - 充分条件与必要条件 命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题 推出关系 p__⇒__q p__⇒/ __q 条件关系 p 是 q 的__充分__条件 q 是 p 的__必要__条件 p 是 q 的__不充分__条件 q 是 p 的__不必要__条件 预习自测 1．设 x∈R，则 x>2 的一个必要条件是( A ) A．x>1 B．x<1 C．x>3 D．x<3 [解析] x>2⇒x>1，∴x>1 是 x>2 的必要条件． 2．下列命题中，真命题是( B ) A．“x2>0”是“x>0”的充分条件 B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件 C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件 D．“|x|>1”是“x2≥1”的必要条件 3．“x＝3”是“x2＝9”的__充分__条件(填“充分”或“必要”)． 4．若向量 v＝(x,2)(x∈R)，则“x＝1”是“|v|＝ 5”的__充分__条件(填“充分”或 “必要”)． 5．“ab>0”是“a>0，b>0”的__必要__条件(填“充分”或“必要”)． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 充分条件 典例 1 已知 p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取 值范围是__(－∞，－8]__. [规范解答] p：x>－m 2 ，q：x<0 或 x>4，由条件知 p⇒q， ∴－m 2 ≥4，∴m≤－8. 『规律总结』 1.判断 p 是 q 的充分条件，就是判断命题“若 p，则 q”为真命题． 2．p 是 q 的充分条件说明：有了条件 p 成立，就一定能得出结论 q 成立．但条件 p 不成 立时，结论 q 未必不成立． 例如，当 x＝2 时，x2＝4 成立，但当 x≠2 时，x2＝4 也可能成立，即当 x＝－2 时，x2＝4 也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充 - 17 - 分条件． ┃┃跟踪练习 1__■ “a＋b>2c”的一个充分条件是( D ) A．a>c 或 b>c B．a>c 或 bc 且 bc 且 b>c [解析] a>c 且 b>c⇒a＋b>2c， a＋b>2c⇒/ a>c 且 b>c，故选 D． 命题方向❷ 必要条件 典例 2 下列命题中是真命题的是( B ) ①“x>3”是“x>4”的必要条件； ②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件； ③“函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数 f(x)为奇函数”的必要条件． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ [思路分析] 根据必要条件的定义进行判断． [规范解答] x>4⇒x>3，故①是真命题；x＝1⇒x2＝1，x2＝1⇒/ x＝1，故②是假命题； 函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称⇒/ 函数 f(x)为奇函数，函数 f(x)为奇函数⇒函数 f(x) 的定义域关于坐标原点对称，故③是真命题，∴选 B． 『规律总结』 1.判断 p 是 q 的必要条件，就是判断命题“若 q，则 p”成立． 2．p 是 q 的必要条件理解要点： ①有了条件 p，结论 q 未必会成立，但是没有条件 p，结论 q 一定不成立． ②如果 p 是 q 的充分条件，则 q 一定是 p 的必要条件． 真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是 结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若 p：x2＝4，则 q：x＝－2”是假命 题．p 不是 q 的充分条件，但 q⇒p 成立，所以 p 是 q 的必要条件． 3．推出符号“⇒” 只有当命题“若 p，则 q”为真命题时，才能记作“p⇒q”． ┃┃跟踪练习 2__■ 一次函数 y＝－m n x＋1 n 的图象经过第一、第三、第四象限的必要条件是( B ) A．m>1，n<－1 B．mn<0 C．m>0，n>0 D．m<0，n<0 [解析] 因为函数图象经过第一、第三、第四象限， 所以 －m n >0， 1 n <0， 解得 m>0， n<0. - 18 - 显然 C，D 不正确，选项 A 能满足 y＝－m n x＋1 n 的图象过第一、三、四象限，故选 B． 学科核心素养 充分条件与必要条件的应用 1．一般地，根据命题间的等价关系，若“p⇒q 且 q⇒/ p”等价于“¬p⇐ ¬q 且¬p⇒/ ¬q”， 即“p 是 q 的充分不必要条件”等价于“¬p 是¬q 的必要不充分条件”． 2．若不等式 p，q 对应的集合分别为 P，Q，当 P⊆Q 时，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必 要条件，这可以用“小范围推出大范围”帮助记忆：“小充分，大必要”． 典例 3 已知条件 p：x2－3x－4≤0；条件 q：x2－6x＋9－m2≤0，若 p 是 q 的充 分不必要条件，则 m 的取值范围是( D ) A．[－1,1] B．[－4,4] C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4]∪[4，＋∞) [思路分析] 由 x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，由 x2－6x＋9－m2≤0，可得[x－(3＋m)][x －(3－m)]≤0①，当 m＝0 时，①式的解集为{x|x＝3}；当 m<0 时，①式的解集为{x|3＋m≤x≤3 －m}；当 m>0 时，①式的解集为{x|3－m≤x≤3＋m}；故可得 m<0， 3＋m≤－1 3－m≥4 或 m>0， 3－m≤－1， 3＋m≥4 解之即可得 m 的取值范围． [规范解答] 由 x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4， 由 x2－6x＋9－m2≤0，可得[x－(3＋m)][x－(3－m)]≤0①， 当 m＝0 时，①式的解集为{x|x＝3}； 当 m<0 时，①式的解集为{x|3＋m≤x≤3－m}； 当 m>0 时，①式的解集为{x|3－m≤x≤3＋m}； 若 p 是 q 的充分不必要条件，则集合{x|－1≤x≤4}是①式解集的真子集． 可得 m<0， 3＋m≤－1， 3－m≥4， 或 m>0， 3－m≤－1， 3＋m≥4， 解得 m≤－4 或 m≥4. 经验证，当 m＝－4 或 m＝4 时，①式的解集均为{x|－1≤x≤7}，符合题意． 故 m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 故选 D． 『规律总结』 充分条件与必要条件的应用技巧： (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问 题． (2)求解步骤：先把 p，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建 - 19 - 立关于参数的不等式(组)进行求解． ┃┃跟踪练习 3__■ 已知 P＝{x|a－42 或 x<0 C．x∈{－1,3,5} D．x≥3 或 x≤－1 2 [错解] 解答本题时，务必弄清设问方式，明确哪是条件，哪是结论，最容易出错的就 是颠倒充分性与必要性． [辨析] 我们知道：①A 是 B 的充分不必要条件是指 A⇒B 且 B⇒/ A；②A 的充分不必要 条件是 B 是指 B⇒A 且 A⇒/ B．这两种说法是在充分条件与必要条件推理判断中经常出现且容 易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误． [正解] 依题意，所选选项应是不等式 2x2－5x－3≥0 成立的充分不必要条件．由于不等 式 2x2－5x－3≥0 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1 2 }，正确的选项中变量 x 的取值范围应该比 {x|x≥3 或 x≤－1 2 }对应的范围要小一些，而{－1,3,5} {x|x≥3 或 x≤－1 2 }，故选 C． 1.2.2 充要条件 自主预习·探新知 情景引入 曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有一条大路，前者路险，但近 50 里；后者 路平，但远 50 里．曹操发现“小路山边有数处起烟，大路并无动静”．曹操推断“诸葛亮多 谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹 操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故 燃炊烟，最终使曹操败走华容道．曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件，经过推理， - 20 - 得到的结论当然是不可靠的． 新知导学 充要条件 1．如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，则 p 是 q 的__充要条件__，记为__p⇔q__. 2．如果 p⇒/ q 且 q⇒/ p，则 p 是 q 的__既不充分也不必要条件__. 3．如果 p⇒q 且 q⇒/ p，则称 p 是 q 的__充分不必要__条件． 4．如果 p⇒/ q 且 q⇒p，则称 p 是 q 的__必要不充分__条件． 5．设与命题 p 对应的集合为 A＝{x|p(x)}，与命题 q 对应的集合为 B＝{x|q(x)}， 若 A⊆B，则 p 是 q 的__充分__条件，q 是 p 的__必要__条件． 若 A＝B，则 p 是 q 的__充要__条件． 若 A B，则 p 是 q 的__充分不必要__条件，q 是 p 的__必要不充分__条件． 若 A⊆/ B，则 p 不是 q 的__充分__条件，q 不是 p 的__必要__条件． 6．p 是 q 的充要条件是说，有了 p 成立，就__一定有__q 成立．p 不成立时，__一定有__q 不成立． 预习自测 1．(2020·山东潍坊高二期末)设 x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的( A ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 由|x|>1，解得 x>1 或 x<－1， 故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，故选 A． 2．(2019·浙江卷，5)若 a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] ∵ a>0，b>0，若 a＋b≤4， ∴ 2 ab≤ a＋b≤4. ∴ ab≤4，此时充分性成立． 当 a>0，b>0，ab≤4 时，令 a＝4，b＝1，则 a＋b＝5>4， 这与 a＋b≤4 矛盾，因此必要性不成立． 综上所述，当 a>0，b>0 时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选 A． 3．设 A、B 是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( C ) - 21 - A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 由题意得，A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故为充要条件，选 C． 4．设 a∈R，则“a＝1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋(a＋1)y＝0 平行”的 ( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 本题主要考查充分必要条件． 若两直线平行，则 a(a＋1)＝2，即 a2＋a－2＝0， ∴a＝1 或－2，故 a＝1 是两直线平行的充分不必要条件． 5．若“x1”是“x3>1”的( C ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [规范解答] 由于函数 y＝x3 在 R 上是增函数，∴当 x>1 时，x3>1 成立，反过来，当 x3>1 时，x>1 也成立． 故“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选 C． 『规律总结』 判断 p 是 q 的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断 p 是 q 的充分必要条件，主要是判断 p⇒q 及 q⇒p 这两个命题是否成 立，若 p⇒q 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件；若 q⇒p 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件；若二者都成立，则 p 与 q 互为充要条件． (2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断 p⇒q 及 q⇒p 的真假 时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与 逻辑有关的问题是大有益处的． ┃┃跟踪练习 1__■ (1)设 a、b 是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( D ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 - 22 - C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 本题采用特殊值法：当 a＝3，b＝－1 时，a＋b>0，但 ab<0，故不是充分条件； 当 a＝－3，b＝－1 时，ab>0，但 a＋b<0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既 不充分也不必要条件，故选 D． (2)(2019·全国Ⅱ卷文，7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 [解析] 若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一 条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可 以相交，故 A，C，D 均不是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有 两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此 B 中条件是α∥β的充要 条件．故选 B． 典例 2 设 p：|x|－3>0，q：x2－5 6 x＋1 6 >0，则 p 是 q 的( A ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 [规范解答] 使 p 成立的 x 的集合为 A＝{x|x>3 或 x<－3}， 使 q 成立的 x 的集合为 B＝{x|x>1 2 或 x<1 3 }， ∵A B，即若 x∈A，则 x∈B.但 x∈B 不一定有 x∈A， ∴p 为 q 的充分不必要条件． 『规律方法』 1.如果条件 p 与结论 q 是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、 参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为 集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行． 2．用集合的关系判断充要条件时，关键抓住已知 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 A⊆B ⇔p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． ┃┃跟踪练习 2__■ (1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 - 23 - [解析] 根据 ln(x＋1)<0 求出 x 的取值范围后判断． ∵ln(x＋1)<0， ∴0|BC→|”的( C ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 因为点 A，B，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC→＝AC→－AB→，所以|AB→ ＋AC→|>|BC→|等价于|AB→＋AC→|>|AC→－AB→|，因模为正，故不等号两边平方得 AB→ 2 ＋AC→ 2 ＋ 2| AB→ |·| AC→ |cosθ> AC→ 2 ＋ AB→ 2 － 2| AC→ |·| AB→ |cosθ(θ 为 AB→ 与 AC→ 的 夹 角 ) ， 整 理 得 4|AB→|·|AC→|cosθ>0，故 cosθ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“AB→与AC→的夹角 为锐角”是“|AB→＋AC→|>|BC→|”的充分必要条件．故选 C． 命题方向❷ 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围 典例 3 设 p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，若 p 是 q 的充分不必 要条件，求实数 a 的取值范围． [思路分析] 此类题目首先要熟练应用函数、不等式、方程等知识求解相关范围，再利 用充分条件和必要条件与集合间的关系求出参数的取值范围． [规范解答] ∵|4x－3|≤1，∴1 2 ≤x≤1，即 p：1 2 ≤x≤1. 由 x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0， 得(x－a)[x－(a＋1)]≤0，∴a≤x≤a＋1，即 q：a≤x≤a＋1. ∵p 是 q 的充分不必要条件，∴p⇒q，q⇒/ p. ∴ x|1 2 ≤x≤1 {x|a≤x≤a＋1}． 故有 a＋1≥1 a≤1 2 ，解得 0≤a≤1 2 . 所以 a 的取值范围是 0≤a≤1 2 . 『规律总结』 充要条件中的含参数问题，往往是通过集合的包含关系解答． ┃┃跟踪练习 3__■ - 24 - 已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数 m 的 取值范围为( B ) A．m>1 或 m<－7 B．m≥1 或 m≤－7 C．－7≤m≤1 D．－7m＋3 或 xm＋3 或 xy，求证：1 x <1 y 的充要条件是 xy>0. [思路分析] 充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的 推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明． [规范解答] 证法 1：(充分性)由 xy>0 及 x>y，得 x xy > y xy ，即1 x <1 y ， (必要性)由1 x <1 y ，得1 x －1 y <0，即y－x xy <0. 因为 x>y，所以 y－x<0，所以 xy>0. 所以1 x <1 y 的充要条件是 xy>0. 证法 2：1 x <1 y ⇔1 x －1 y <0⇔y－x xy <0. 由条件 x>y⇔y－x<0，故由y－x xy <0⇔xy>0. 所以1 x <1 y ⇔xy>0， 即1 x <1 y 的充要条件是 xy>0. 『规律总结』 (1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明， 证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立． (2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万 要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中， 前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明 “p 成立的充要条件为 q”时，在证充分性时应以 q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结 论”，即 q⇒p；证明必要性时则是以 p 为“已知条件”，q 是该步中证明的“结论”，即 p ⇒q. ┃┃跟踪练习 4__■ - 25 - 求关于 x 的方程 ax2＋x＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件． [解析] ①当 a＝0 时，解得 x＝－1，满足条件； ②当 a≠0 时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则 a<0； 若方程有两个负的实根， 则必须满足 1 a >0， －1 a <0， Δ＝1－4a≥0， ⇒01， f 1 >0， 解得 k<－2. 因此 k<－2 是使方程 x2＋(2k－1)x＋k2＝0 有两个大于 1 的实数根的充要条件． 『规律总结』 求解本题时容易出现以下错误：①把“有两个大于 1 的实数根”理解为 “有两个大于 1 的不等实数根”，从而将Δ≥0 错写为Δ>0；②只考虑判别式Δ≥0 和 f(1)>0， 却忽略了对称轴所在的区间． ┃┃跟踪练习 5__■ 设集合 A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|y＝ 3－x x－22 }，则 A⊆A∩B 的充要 条件为__a≤9__；A⊆A∩B 的一个充分不必要条件可为__6≤a≤9__(答案不唯一)． [解析] A⊆A∩B⇔A⊆B，B＝{x|3≤x≤22}．若 A＝∅ ，则 2a＋1>3a－5，解得 a<6；若 - 26 - A≠∅ ，则 A⊆B⇔ 2a＋1≥3， 3a－5≤22， 3a－5≥2a＋1， 解得 6≤a≤9.综上可知，A⊆A∩B 的充要条件为 a≤9； A⊆A∩B 的一个充分不必要条件可为 6≤a≤9. 易混易错警示 典例 6 a、b 为非零向量，“a⊥b”是“函数 f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函 数”的( B ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [错解] C f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b＝x2a·b＋x(b2－a2)－ a·b. 充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0， ∴f(x)＝x(b2－a2)是一次函数． 必要性：∵f(x)是一次函数， ∴a·b＝0， ∴a⊥b.故选 C． [辨析] 错误的原因是：在 f(x)＝x(b2－a2)中，忽视了|a|＝|b|，从形式上认为 f(x)是 一次函数． [正解] f(x)＝(xa＋b)·(xb－a) ＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b ＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b. 充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0， ∴f(x)＝x(b2－a2)， 若|a|≠|b|，则 f(x)是一次函数；若|a|＝|b|， 则 f(x)是常数函数，∴充分性不成立． 必要性：∵f(x)是一次函数， ∴a·b＝0 且 b2－a2≠0， ∴a⊥b 且|b|≠|a|， ∴必要性成立． 综上可知应选 B． 1.3.1 “且”与“或” - 27 - 自主预习·探新知 情景引入 要在某居民楼一楼与二楼的楼梯间安一盏灯，一楼和二楼各有一个开关，使得任意一个 开关都能独立控制这盏灯，你能运用“或”“且”的方法解决吗？ 新知导学 1．逻辑联结词“或”“非” 构成新命题 记作 读作 用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，就 得到一个新命题 __p∧q__ __p 且 q__ 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，就 得到一个新命题 __p∨q__ __p 或 q__ 2．含逻辑联结词的命题的真假判断 p q p∧q p∨q 真 真 __真__ __真__ 真 假 __假__ __真__ 假 真 __假__ __真__ 假 假 __假__ __假__ 预习自测 1．“xy≠0”是指( A ) A．x≠0 且 y≠0 B．x≠0 或 y≠0 C．x，y 至少一个不为 0 D．不都是 0 [解析] xy≠0 当且仅当 x≠0 且 y≠0. 2．p：点 P 在直线 y＝2x－3 上；q：点 P 在曲线 y＝－x2 上，则使“p∧q”为真命题的一 个点 P(x，y)是( C ) A．(0，－3) B．(1,2) C．(1，－1) D．(－1,1) - 28 - [解析] 点 P(x，y)满足 y＝2x－3 y＝－x2 ，解得 P(1，－1)或 P(－3，－9)，故选 C． 3．下列判断正确的是( B ) A．命题 p 为真命题，命题“p 或 q”不一定是真命题 B．命题“p 且 q”是真命题时，命题 p 一定是真命题 C．命题“p 且 q”是假命题，命题 p 一定是假命题 D．命题 p 是假命题，命题“p 且 q”不一定是假命题 [解析] 因为 p、q 都为真命题时，“p 且 q”为真命题． 4．由下列各组命题构成的新命题“p 或 q”“p 且 q”都为真命题的是( B ) A．p：4＋4＝9，q：7>4 B．p：a∈{a，b，c}，q：{a} {a，b，c} C．p：15 是质数，q：8 是 12 的约数 D．p：2 是偶数，q：2 不是质数 [解析] “p 或 q”“p 且 q”都为真，则 p 真 q 真，故选 B． 5．给出下列条件： (1)“p 成立，q 不成立”； (2)“p 不成立，q 成立”； (3)“p 与 q 都成立”； (4)“p 与 q 都不成立”． 其中能使“p 或 q”成立的条件是__(1)(2)(3)__(填序号)． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 命题的构成形式 典例 1 分别指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题． (1)小李是老师，小赵也是老师； (2)1 是合数或质数； (3)他是运动员兼教练员； (4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误； (5)要么周长相等的两个三角形全等，要么面积相等的两个三角形全等． [规范解答] (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师． (2)这个命题是“p∨q”的形式，其中，p：1 是合数；q：1 是质数． (3)这个命题是“p∧q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员． (4)这个命题是“p∧q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作 品政治上有错误． - 29 - (5)这个命题是 p∨q 形式，其中 p：周长相等的两个三角形全等，q：面积相等的两个三 角形全等． 『规律总结』 1.辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的 逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式． 2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是……也是……”“兼”“不但……而 且……”“既……又……”“要么……，要么……”“不仅……还……”等． 3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式． 如 a≥3 是 a>3 或 a＝3；xy＝0 是 x＝0 或 y＝0；x2＋y2＝0 是 x＝0 且 y＝0. 4．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日 常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的 省略和变形． ┃┃跟踪练习 1__■ 指出下列命题的形式及构成它的简单命题： (1)有两个内角是 45°的三角形是等腰直角三角形； (2)±1 是方程 x3＋x2－x－1＝0 的根． [思路分析] 要根据语句所表达的含义及逻辑联结词的意义来进行分析和判断． [解析] (1)这个命题是“p∧q”形式的命题，其中 p：有两个内角是 45°的三角形是等 腰三角形，q：有两个内角是 45°的三角形是直角三角形． (2)这个命题是“p∨q”形式的命题，其中 p：1 是方程 x3＋x2－x－1＝0 的根，q：－1 是 方程 x3＋x2－x－1＝0 的根． 命题方向❷ 判断含有逻辑联结词的命题的真假 典例 2 分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”形式的命题的真假． (1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：2 是奇数，q：2 是合数；(3)p：4≥4，q：23 不 是偶数；(4)p：不等式 x2－3x－10<0 的解集是 {x|－20 对一切 x∈R 恒成立；命题 q： 函数 f(x)＝－(5－2a)x 是减函数，若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，求实数 a 的取值范围． [规范解答] 设 g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于 x 的不等式 x2＋2ax＋4>0 对一切 x∈R 恒成 立，所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0. 所以－21，即 a<2.所以命题 q 为真时：a<2. ∵p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，∴p 和 q 一真一假． (1)若 p 为真命题，q 为假命题，则 －20，故当命题 p 为真时，m>0. 若 g(x)＝mx2＋2x－1 在[1 2 ，＋∞)内单调递减，必有 m<0， －1 m ≤1 2 ， 解得 m≤－2，故当命题 q 为真时，m≤－2. 因为命题 p∧q 为假，p∨q 为真，所以 p 与 q 一真一假． 当 p 真 q 假时，有 m>0， m>－2， 解得 m>0； 当 p 假 q 真时，有 m≤0， m≤－2， 解得 m≤－2. 综上可知，实数 m 的取值范围是(－∞，－2]∪(0，＋∞)． 易混易错警示 典例 4 设命题 p：函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)在 R 上单调递减，q：不等式：x＋|x －2a|>1 的解集为 R，若 p∧q 为假，p∨q 为真，求实数 a 的取值范围． [错解] 由函数 y＝ax 在 R 上单调递减知 01 的解集为 R， 即 y＝x＋|x－2a|在 R 上恒大于 1， 又∵x＋|x－2a|＝ 2x－2a x≥2a 2a x<2a ， ∴函数 y＝x＋|x－2a|在 R 上最小值为 2a， 故要使解集为 R，应有 2a>1，∴a>1 2 ，∴q 为真命题时，a>1 2 . 由条件知 p 与 q 一真一假． p 真 q 假时， 01 2 ，∴a≥1. 综上知：00 且 a≠1，∴p 为假时， a>1 而不是 a≤0 或 a≥1. [正解] 由函数 y＝ax 在 R 上单调递减知 01 的解集为 R，即 y＝x＋|x－2a|在 R 上恒大于 1， 又因为 x＋|x－2a|＝ 2x－2a x≥2a 2a x<2a ， ∴函数 y＝x＋|x－2a|在 R 上的最小值为 2a， 故要使解集为 R，只需 2a>1，∴a>1 2 ，∴q 为真时，a>1 2 . 由已知 p 和 q 有且只有一个为真．若 p 真 q 假，则 01 a>1 2 ，∴a>1，∴01. 1.3.2 “非” 自主预习·探新知 情景引入 某公司在被查出违规建造豪华高尔夫球场时，负责人说“我们的场地没有球洞，不算高 尔夫球场！”他说的有道理吗？ 新知导学 1．命题的否定 一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作__¬p__，读作__非 p__或__p 的 否定__. 2．含逻辑联结词的命题真假判断 若 p 是真命题，则¬p 是__假__命题，若 p 是假命题，则¬p 是__真__命题． - 33 - 含有逻辑联结词的命题的真假判断如表： p q p 或 q p 且 q ¬p 真 真 __真__ __真__ __假__ 真 假 __真__ __假__ __假__ 假 真 __真__ __假__ __真__ 假 假 __假__ __假__ __真__ 3．含“且”“或”命题的否定 根据“且”“或”的含义，“p∧q”的否定为“__(¬p)∨(¬q)__”“p∨q”的否定为 “__(¬p)∧(¬q)__”． 预习自测 1．已知命题 p：若α＝π 2 ，则 sinα＝1；命题 q：若 sinα＝1，则α＝π 2 .下面四个结 论中正确的是( B ) A．p∧q 是真命题 B．p∨q 是真命题 C．¬p 是真命题 D．¬q 是假命题 2．已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列命题中为 真命题的是( D ) A．(¬p)∨q B．p∧q C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q) 3．已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q； ③p∧(¬q)；④(¬p)∨q 中，真命题是( C ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ [解析] 当 x>y 时，两边乘以－1 可得－x<－y，所以命题 p 为真命题，当 x＝1，y＝－2 时，因为 x2→≤，<→≥，都是→不都是，都不是→至少有一个是． ┃┃跟踪练习 1__■ 写出下列命题的否定形式． (1)p：y＝tanx 是奇函数； (2)p：0.5 是整数； (3)p：2,3 都是 8 的约数． [解析] (1)¬p：y＝tanx 不是奇函数． (2)¬p：0.5 不是整数． (3)¬p：2,3 不都是 8 的约数． 命题方向❷ 含逻辑联结词“非”的命题真假的判断 典例 2 指出下列命题的真假： (1)命题：“不等式|x＋2|≤0 没有实数解”； (2)命题：“A⊆/ (A∪B)”． [思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出了一组复合命题．②判断其真假．解 答这类题目可利用复合命题的真值表来处理． [规范解答] (1)此命题是“¬p”的形式，其中 p：不等式|x＋2|≤0 有实数解．因为 x ＝－2 是该不等式的一个解，所以命题 p 为真命题，即非 p 为假命题，所以原命题为假命题． (2)此命题为“¬p”的形式，其中 p：A⊆(A∪B)．因为 p 为真命题，所以“¬p”为假命题， 故原命题为假命题． 『规律总结』 判断含有逻辑联结词的复合命题真假的方法步骤为： 第一步，分析复合命题的结构，找到组成它的简单命题 p 和 q. 第二步，利用数学知识，判定简单命题 p 和 q 的真与假． - 35 - 第三步，利用真值表判定复合命题的真假． ┃┃跟踪练习 2__■ 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1) 2是有理数；(2)5 不是 15 的约数；(3)2<3；(4)8＋7≠15；(5)空集是任何集合的真 子集． [解析] (1) 2不是有理数，是真命题． (2)5 是 15 的约数，是真命题． (3)2≥3，是假命题． (4)8＋7＝15，是真命题． (5)空集不是任何集合的真子集，是真命题． 『规律总结』 判断¬p 的真假，一是利用 p 与¬p 的真假不同的性质，由 p 的真假判定¬p 的真假；二是利用所学知识直接判断¬p 的真假． 命题方向❸ 命题的否定与否命题 典例 3 写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假． (1)若 x，y 都是奇数，则 x＋y 是偶数； (2)若 xy＝0，则 x＝0 或 y＝0； (3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数． [思路分析] 若原命题为“若 A，则 B”，则其否定为“若 A，则¬B”，条件不变，否定 结论；其否命题为“若¬A，则¬B”，即要否定条件，又要否定结论． [规范解答] 命题的否定为：(1)若 x，y 都是奇数，则 x＋y 不是偶数．为假命题． (2)若 xy＝0，则 x≠0 且 y≠0.为假命题． (3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数．为真命题． 否命题为：(1)若 x，y 不都是奇数，则 x＋y 不是偶数．为假命题． (2)若 xy≠0，则 x≠0 且 y≠0.为真命题． (3)若一个数不是质数，则这个数不一定是奇数．为真命题． 『规律总结』 (1)否命题是对原命题的条件与结论都作否定，原命题与否命题可同真同 假，也可一真一假．(2)命题的否定仅仅对命题的结论作否定，任何一个命题与该命题的否定 必定是一真一假(常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确)． ┃┃跟踪练习 3__■ 写出下列各命题的否定及否命题． (1)面积相等的三角形是全等三角形； (2)若 m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数 m、n、a、b 全为零． [思路分析] 分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定 结论． [解析] (1)命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形． 否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形． - 36 - (2)命题的否定：若 m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数 m、n、a、b 不全为零． 否命题：若 m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数 m、n、a、b 不全为零． 学科核心素养 由复合命题的真假求参数的取值范围 由复合命题的真假求参数的取值范围的解题思路：①此类题目一般会出现“p 或 q”为真， “p 或 q”为假，“p 且 q”为真，“p 且 q”为假等条件，解题时应先将这些条件转化为 p，q 的真假．p，q 的真假有时是不确定的，需要讨论．但无论哪种情况，一般都是先假设 p，q 为 真，求出参数的取值范围，当它们为假时取补集即可．②相关结论：使“p 或 q”为真的参数 的取值范围为使命题 p，q 分别为真的参数的取值范围的并集；使“p 且 q”为真的参数的取 值范围为使命题 p，q 分别为真的参数的取值范围的交集． 典例 4 (2017·福州八县一中期末改编)设命题 p：∀x∈R，x2－2x>a，其中 a∈ R，命题 q：存在 x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.如果¬p 为假命题，“p∧q”为假命题，求实数 a 的取值范围． [思路分析] 求出两个命题是真命题时的 a 的范围，判断复合命题的真假，然后求解实 数 a 的取值范围． [规范解答] 命题 p：∀x∈R，x2－2x>a， 即 x2－2x＝(x－1)2－1>a 恒成立⇔a<－1， 命题 q：存在 x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程 x2＋2ax＋2－a＝0 有实数根， 故Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0⇔a2＋a－2≥0⇔a≤－2 或 a≥1. 因为 p 为真命题，“p∧q”为假命题，故 q 为假命题， 所以 a<－1， －20， x1＋x2＝－m>0， x1x2＝1>0， 解得 m<－2，当 q 为真命题时，Δ＝16(m＋2)2－16<0，解得－33，q： 1 x2＋4x－5 >0，则¬p 是¬q 的什么条件． [错解] ∵p：|5x－2|>3，∴¬p：|5x－2|≤3，∴－3≤5x－2≤3，即－1 5 ≤x≤1， - 37 - 又∵q： 1 x2＋4x－5 >0，∴¬q： 1 x2＋4x－5 ≤0，∴x2＋4x－5<0，即－50 的否定形式错误地认为：¬q： 1 x2＋4x－5 ≤0，∴x2＋4x－ 5<0 导致错误． [正解] ∵p：|5x－2|>3，∴5x－2>3 或 5x－2<－3，∴x>1 或 x<－1 5 ，∴¬p：－1 5 ≤x≤1. ∵q： 1 x2＋4x－5 >0，∴x2＋4x－5>0，∴x>1 或 x<－5，∴¬q：－5≤x≤1，∴¬p⇒¬q，但 ¬q⇒/ ¬p，故¬p 是¬q 的充分非必要条件． 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 自主预习·探新知 情景引入 生活中经常遇到这样的描述：“我国 13 亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯 罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有 3 人参加”等等．其中 “都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色 呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？ 新知导学 1．全称量词与全称命题 (1)短语“__所有的__”“__任意一个__”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__∀ __”表示，含有全称量词的命题，叫做__全称命题__. (2)全称命题的表述形式：对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立，可简记为：__∀x∈M，p(x)__. (3)常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全 部”，表示__整体或全部__的含义． 2．存在量词与特称命题 (1)短语“__存在一个__”“__至少有一个__”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 “__∃__”表示，含有存在量词的命题，叫做__特称命题__. (2)特称命题的表述形式：存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立，可简记为，__∃x0∈M，p(x0)__. (3)存在量词：“有些”“有一个”“存在”“某个”“有的”，表示__个别或一部分__ 的含义． - 38 - 预习自测 1．下列命题中含有全称量词的是( D ) A．至少有一个自然数是 2 的倍数 B．存在小于零的整数 C．方程 3x＝2 有实数根 D．无理数是小数 [解析] 选项 D 中“无理数”指的是所有的无理数． 2．下列语句是特称命题的是( B ) A．整数 n 是 2 和 7 的倍数 B．存在整数 n0，使 n0 能被 11 整除 C．x>7 D．∀x∈M，p(x)成立 [解析] 选项 A、C 不是命题，选项 B 中有存在量间“存在”，故 B 项是特称命题．D 是 全称命题． 3．选出与其他命题不同的命题( B ) A．有一个平行四边形是菱形 B．任何一个平行四边形是菱形 C．某些平行四边形是菱形 D．有的平行四边形是菱形 [解析] B 选项为全称命题，其余的为特称命题． 4．下列命题中，假命题是( B ) A．∀x∈R,3x－2>0 B．∀x∈N*，(x－2)2>0 C．∃x0∈R，lgx0≤2 D．∃x0∈R，tanx0＝2 [解析] 特殊值验证 x＝2 时，(x－2)2＝0， ∴∀x∈N*，(x－2)2>0 是假命题，故选 B． 5．若对任意 x>3，x>a 恒成立，则 a 的取值范围是__(－∞，3]__. [解析] ag(3)＝3，∴ a≤3. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 全称命题与特称命题的判定 典例 1 (1)下列命题： ①至少有一个 x，使 x2＋2x＋1＝0 成立； - 39 - ②对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 成立； ③对任意的 x，都有 x2＋2x＋1＝0 不成立； ④存在 x，使 x2＋2x＋1＝0 不成立． 其中是全称命题的个数为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)下列命题为特称命题的是( D ) A．偶函数的图象关于 y 轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于 3 [规范解答] (1)中，只有②③含有全称量词，故选 B．(2)中，只有选项 D 含有存在量词， 故选 D． 『规律总结』 1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤： (1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量 词的命题是特称命题． 2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词， 应结合具体问题多加体会． ┃┃跟踪练习 1__■ 判断下列语句是否是全称命题或特称命题． (1)有一个实数 a，a 不能取对数； (2)若所有不等式的解集为 A，则有 A⊆R； (3)三角函数都是周期函数吗？ (4)自然数的平方是正数． [解析] 因为(1)含有存在量词，所以命题(1)为特称命题；(4)因为“自然数的平方是正 数”的实质是“任意一个 自然数的平方都是正数”，所以(2)(4)均含有全称量词，故为全称命题，(3)不是命题． 综上所述，(1)为特称命题，(2)(4)为全称命题，(3)不是命题． 命题方向❷ 全称命题与特称命题的真假判断 典例 2 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数 x1、x2，若 x10；②∃x0∈N，x2 0≤x0；③∃x0∈N*，x0 为 29 的约数；④有的 向量方向不定．其中真命题的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 学科核心素养 利用全称命题和特称命题的真假求参数范围 典例 3 命题 p：∀x∈R，sinxcosx≥m，若命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范 围． [规范解答] m≤sinxcosx，∀x∈R 恒成立， 令 f(x)＝sinxcosx＝1 2 sin2x， f(x)min＝－1 2 ，∀x∈R， ∴m≤－1 2 ， ∴实数 m 的取值范围 －∞，－1 2 . ┃┃跟踪练习 3__■ 若命题“∃x0∈R 使得 x2 0＋mx0＋2m＋5<0”为假命题，则实数 m 的取值范围是( C ) A．[－10,6] B．(－6,2] C．[－2,10] D．(－2,10) 易混易错警示 - 41 - 典例 4 指出下列命题是全称命题还是特称命题． (1)“末位是 0 的整数，可以被 5 整除”； (2)当 x∈(0,1)时，1 2 < 1 2 x<1； (3)有的平面四边形两对角线互相垂直． [错解] (1)无法判定．(2)特称命题．(3)全称命题． [辨析] 对省略全称量词和存在性量词的命题缺乏分析理解． [正解] (1)指所有的末位数字是零的整数都可以被 5 整除，是全称命题． (2)是指对任意的 x∈(0,1)，都有1 2 < 1 2 x<1，是全称命题． (3)是指存在这样的平面四边形，其两条对角线互相垂直，是特称命题． 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 自主预习·探新知 情景引入 数学命题中出现“全部”“所有”“一切”与“存在着”“有”“有些”的词语，在逻 辑中分别称为全称量词与存在性量词，由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命 题．而他们的否定形式是我们困惑的症结所在． 新知导学 1．命题的否定 (1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：__∃x0∈M，¬p(x0)__，全称命题的否定是 __特称__命题． (2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：__∀x∈M，¬p(x)__，特称命题的否定是 __全称__命题． 2．常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有 一个 至多有 一个 对任意 x∈ A 使 p(x)真 否定 形式 不是 不都是 __≤__ __一个也 没有__ __至少有 两个__ __存在 x∈ A 使 p(x)假 __ 预习自测 - 42 - 1．(2019－2020 学年福州一中第一学期模块考试)已知命题 p：∀x＞0，lgx＞0 ，则¬p 是( D ) A．∀x＞0，lgx≤0 B．∃x0＞0，lgx0＜0 C．∀x＞0，lgx＜0 D．∃x0＞0，lgx0≤0 [解析] ∵命题 p：∀x＞0，总有 lgx＞0， ∴命题¬p 为：∃x0＞0，使得 lgx0≤0，故选 D． 2．(湖南湘潭市 2018－2019 学年高二期末)命题 p：∃x0∈(0，＋∞)，x2 0≤x0－2，则¬p 是( D ) A．∃x0∈(0，＋∞)，x2 0>x0－2 B．∀x∈(0，＋∞)，x2≤x－2 C．∃x0∈(0，＋∞)，x2 0≥x0－2 D．∀x∈(0，＋∞)，x2>x－2 [解析] 命题 p：∃x0∈(0，＋∞)，x2 0≤x0－2，故¬p：∀x∈(0，＋∞)，x2>x－2. 3．(南平市 2019－2020 学年第一学期质检)已知命题 p：∃x0∈R，x2 0－x0＋1 4 ≤0，则¬p 为 ( D ) A．∃x0∈R，x2 0－x0＋1 4 ＞0 B．∃x0∈R，x2 0－x0＋1 4 ＜0 C．∀x∈R，x2－x＋1 4 ≤0 D．∀x∈R，x2－x＋1 4 ＞0 [解析] 因为：命题 p：∃x0∈R，x2 0－x0＋1 4 ≤0， 所以：∀x∈R，x2－x＋1 4 ＞0，故选 D． 4．(2020·安徽安庆市高二期末)“∀x>0,2x>sinx”的否定是( D ) A．∀x>0,2x0,2x≤sinx C．∃x0≤0,2x0≤sinx0 D．∃x0>0,2x0≤sinx0 [解析] 因为全称命题的否定是特称命题，故“∀x>0,2x>sinx”的否定是“∃ x0>0,2x0≤sinx0”，故选 D． 5．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为__过平面外一点 - 43 - 与已知平面平行的直线不都在同一平面内__. [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词． 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向 全称命题、特称命题的否定 典例 1 写出下列命题的否定． (1)p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； (2)p：有的三角形是等边三角形； (3)p：所有能被 3 整除的整数是奇数； (4)p：每一个四边形的四个顶点共圆． [规范解答] (1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形． (3)¬p：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数． (4)¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆． 『规律总结』 一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命 题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量 词改成全称量词，同时否定结论． ┃┃跟踪练习 1__■ 写出下列全称命题和特称命题的否定． (1)每个二次函数的图象都开口向下； (2)某些平行四边形是菱形． [解析] (1)命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下． (2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱 形”． 典例 2 写出下列命题的否定． (1)可以被 5 整除的数，末位是 0； (2)能被 3 整除的数，也能被 4 整除． [思路分析] (1)(2)中均为省略了全称量词的全称命题，书写其否定时，要补全量词， 不能只否定结论，不否定量词． [规范解答] (1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被 5 整除的数， 末位不是 0. (2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被 3 整除的数，不能被 4 整除． 『规律总结』 由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其 中省略的全称量词，写成“∀x∈M，p(x)”的形式，然后再把它的否定写成“∃x0∈M，¬p(x0)” - 44 - 的形式．要学会挖掘命题中的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结 合它们的真假性(一真一假)进行验证． ┃┃跟踪练习 2__■ 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行． [解析] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，¬p：存在一个素数 不是奇数，是真命题． (2)省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，¬p： 存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题． 学科核心素养 利用全称命题与特称命题求参数的取值范围 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型： 1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中 的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决． 2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语 句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结 合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了 假设． 典例 3 若命题 p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1 是真命题，则实数 a 的取值范 围是( B ) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(－2,2) [规范解答] ax2＋4x＋a≥－2x2＋1 是真命题，即不等式 ax2＋4x＋a≥－2x2＋1 对∀x∈R 恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0 恒成立． 当 a＋2＝0 时，不符合题意． 故有 a＋2>0 Δ≤0 ，即 a＋2>0， 16－4 a＋2 a－1≤ 0 ， 解得 a≥2. 『规律总结』 (1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、 难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定. (2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为 真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个 性质”(这类似于“代入”思想)． ┃┃跟踪练习 3__■ 若存在 x0∈R，使 ax2 0＋2x0＋a＝0，则实数 a 的取值范围是__－1≤a≤1__. - 45 - [解析] 当 a＝0 时，x0＝0 满足题意． 当 a≠0 时，由题意知方程 ax2＋2x＋a＝0 有实数根， ∴ a≠0 Δ＝4－4a2≥0 ，∴－1≤a<0 或 010b”是“lga>lgb”的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 由 10a>10b 得 a>b，由 lga>lgb 可得 a>b>0，故“10a>10b”是“lga>lgb”的必要 不充分条件． 典例 6 已知直线 y＝2x 上一点 P 的横坐标为 a，有两个点 A(－1,1)、B(3,3)， 那么使向量PA→与PB→的夹角为钝角的一个充分不必要条件是( B ) A．－10}，命题 p：1∈A，命题 q：2∈A.若 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，则 a 的取值范围是( C ) A．02 B．00， 得 a>1. 若 q 为真时，有 －2－a<20， 得 a>2. ∵p∨q 为真，p∧q 为假， ∴p，q 中一真一假． 当 p 真 q 假时， a>1， 02， 无解．∴10. 因为对于任意的 x，x2＋2x＋8＝(x＋1)2＋7≥7>0，所以¬p 为真命题． (4)是特称命题，¬p：∀x∈R，x3＋1≠0.因为 x＝－1 时，x3＋1＝0，所以¬p 为假命题． 即时巩固 一、选择题 1．(2020·陕西汉中市汉台中学联考)命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为( D ) A．对任意 x∈R，都有 x2<0 B．不存在 x∈R，都有 x2<0 C．存在 x0∈R，使得 x2 0≥0 D．存在 x0∈R，使得 x2 0<0 2．已知 a、b∈R，ab≠0，则“a>0，b>0”是“a＋b 2 ≥ ab”的( C ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 当 a>0，b>0 时，a＋b 2 ≥ ab当且仅当 a＝b 时取等号． 反之，当a＋b 2 ≥ ab时， a，b 同号时，即 a>0，b>0 或 a<0，b<0 而当 a<0，b<0 时，a＋b 2 < ab ∴a>0，b>0 成立， ∴选 C． 二、填空题 3．“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否定形式是__末位数字是 0 或 5 的整数， 不能被 5 整除__； 否命题是__末位数字不是 0 且不是 5 的整数，不能被 5 整除__. [解析] “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否定形式是“末位数字是 0 或 5 的 - 52 - 整数，不能被 5 整除”，“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否命题是“末位数字不 是 0 且不是 5 的整数，不能被 5 整除”． 4．下列命题： ①“x>2 且 y>3”是“x＋y>5”的充要条件； ②“b2－4ac<0”是“不等式 ax2＋bx＋c<0 解集为 R”的充要条件； ③“a＝2”是“直线 ax＋2y＝0 平行于直线 x＋y＝1”的充分不必要条件； ④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要而不充分条件． 其中真命题的序号为__④__. [解析] ①为充分不必要，②中若 a＝0，则不成立，应为必要不充分条件，③中为充要 条件． 三、解答题 5．(2020·江西九江一中期末)已知命题 p：∃x∈(1,2)使不等式 x2－(a＋1)x＋a≤0 成 立；命题 q：函数 f(x)＝log2(x2－ax)在[2，＋∞)上单调递增，求使 p 且 q 为真命题的实数 a 的取值范围． [解析] 由 p 且 q 为真命题得 p，q 同为真命题， 若 p 真，则 a>1； 若 q 真，则 a 2 ≤2 4－2a>0 即 a<2， 所以实数 a 的取值范围是(1,2)． 第二章 圆锥曲线与方程 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是 一个圆．如果用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以 得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲 线统称为圆锥曲线． 实际上，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也 是如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会 沿抛物线或双曲线运行． 学习目标 1．曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合 的基本思想． 2．圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． - 53 - (2)经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几 何图形及简单性质． (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质． (4)能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系) 和实际问题． (5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想． 本章重点 曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质；双曲线的定义、标准方程、几 何性质；抛物线的定义、标准方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系． 本章难点 曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质的综合应用；直线与圆锥曲线 的位置关系． 2.1 曲线与方程 自主预习·探新知 情景引入 在我们的日常生活中，许多物体都呈现出多种多样的曲线，你所熟悉的曲线有哪些？你 知道它们有怎样的特性吗？ 新知导学 曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的 点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做__曲线的方程__， 这条曲线叫做__方程的曲线__. 预习自测 1．方程 y＝|x|所表示的曲线为( D ) A．一条直线 B．两条直线 - 54 - C．一条射线 D．两条射线 2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0 表示的图形是( C ) A．圆 B．两条直线 C．一个点 D．两个点 3．已知圆 C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 及直线 l：x＋2y－2＝0，则点 M(4，－1)( C ) A．不在圆 C 上，但在直线 l 上 B．在圆 C 上，但不在直线 l 上 C．既在圆 C 上，也在直线 l 上 D．既不在圆 C 上，也不在直线 l 上 4．已知直线：y＝kx－k＋1 与曲线 C：x2＋2y2＝m 恒有公共点，则 m 的取值范围是 ( A ) A．m≥3 B．m≤3 C．m>3 D．m<3 5．已知点 O(0,0)，A(1，－2)，动点 P 满足|PA|＝3|PO|，则点 P 的轨迹方程是__8x2＋ 2x＋8y2－4y－5＝0__. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 曲线与方程的概念 典例 1 如果曲线 l 上的点的坐标满足方程 F(x，y)＝0，则以下说法正确的是 ( C ) A．曲线 l 的方程是 F(x，y)＝0 B．方程 F(x，y)＝0 的曲线是 l C．坐标不满足方程 F(x，y)＝0 的点不在曲线 l 上 D．坐标满足方程 F(x，y)＝0 的点在曲线 l 上 [思路分析] 从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断． [规范解答] 直接法：原说法写成命题形式即“若点 M(x，y)是曲线 l 上的点，则 M 点的 坐标适合方程 F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若 M 点的坐标不适合方程 F(x，y)＝0，则 M 点 不在曲线 l 上”，故选 C． 特值法：作如图所示的曲线 l，考查 l 与方程 F(x，y)＝x2－1＝0 的关系，显然 A、B、D 中的说法全不正确．∴选 C． - 55 - 『规律总结』 说明曲线 C 是方程 F(x，y)＝0 的曲线，方程 F(x，y)＝0 是曲线 C 的方 程时，必须严格考察纯粹性和完备性，即“多一点不行，少一点不可”． ┃┃跟踪练习 1__■ 说明过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 与方程|x|＝2 之间的关系． [解析] 过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线 l 是 x＝2，而|x|＝2 是直线 x＝2 和 x＝－2，直 线 l 上点的坐标都是方程|x|＝2 的解，但以方程|x|＝2 的解为坐标的点不都在直线 l 上． 因此，方程|x|＝2 不是直线 l 的方程． l 是方程|x|＝2 的曲线的一部分． 命题方向❷ 方程的曲线 典例 2 方程 x(x2＋y2－1)＝0 和 x2＋(x2＋y2－1)2＝0 所表示的图形是( C ) A．前后两者都是一条直线和一个圆 B．前后两者都是两点 C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点 D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆 [规范解答] x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0 或 x2＋y2＝1，表示直线 x＝0 和圆 x2＋y2＝1. x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔ x＝0 x2＋y2－1＝0 ⇔ x＝0 y＝±1 表示点(0,1)、(0，－1)． 『规律总结』 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要 注意与原方程等价，既不能扩大也不能缩小变量的取值范围． ┃┃跟踪练习 2__■ 已知方程 x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M(m 2 ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值． [思路分析] (1)只需判断点 P，Q 的坐标是否满足方程即可；(2)M 在曲线 C 上，则 M 点 的坐标满足 C 的方程，代入建立 m 的方程解之即可． [解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， 点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． (2)∵点 M m 2 ，－m 在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上， ∴x＝m 2 ，y＝－m 适合上述方程， 即(m 2 )2＋(－m－1)2＝10. - 56 - 解之得 m＝2 或 m＝－18 5 ， ∴m 的值为 2 或－18 5 . 命题方向❸ 求曲线的方程 典例 3 已知点 M 到 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相等，求点 M 的轨迹方 程． [思路分析] 由题意知已经建立了直角坐标系，因此只需设出点 M 的坐标，套用两点间 距离公式根据条件建立等式即可． [规范解答] 设动点 M 的坐标为(x，y)，且点 M 到 x 轴的距离为 d，则 d＝|y|.由距离公 式得|MF|＝ x－0 2＋ y－4 2，由 d＝|MF|， 整理得 x2－8y＋16＝0，即 y＝1 8 x2＋2.故所求点 M 的轨迹方程是 y＝1 8 x2＋2. 『规律总结』 1.如果题设条件有明显的等量关系或者可运用平面几何知识推导出等量 关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这 种方法叫做直接法． 2．求动点的轨迹方程时，如果已知条件中没有坐标系，则应首先建立坐标系，建立坐标 系的方式不同，得到的轨迹方程可能也不同． ┃┃跟踪练习 3__■ 一个动点到直线 x＝8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍，求动点的轨迹方程． [解析] 设动点 P 坐标为(x，y)，则动点 P 到直线 x＝8 的距离 d＝|x－8|，到点 A 的距 离|PA|＝ x－2 2＋y2，由已知 d＝2|PA|，得|x－8|＝2 x－2 2＋y2， 化简得 3x2＋4y2＝48. 故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48. 典例 4 已知圆 O：x2＋y2＝4，点 A(－3,5)，点 M 在圆 O 上移动，且点 P 满足AP→＝ 1 3 AM→，求点 P 的轨迹方程． [思路分析] 点 P 与点 M 有关，点 M 是点 P 的相关点，只需找到点 P 与点 M 的坐标之间 的关系即可求得点 P 的轨迹方程． [规范解答] 设 P(x，y)，M(x0，y0)． 因为AP→＝(x＋3，y－5)，AM→＝(x0＋3，y0－5)， 所以(x＋3，y－5)＝1 3 (x0＋3，y0－5)． 所以 x＋3＝1 3 x0＋1， y－5＝1 3 y0－5 3 ， - 57 - 即 x0＝3x＋6， y0＝3y－10. 因为点 M(x0，y0)在圆 O 上， 所以 x2 0＋y2 0＝4， 即(3x＋6)2＋(3y－10)2＝4， 即(x＋2)2＋(y－10 3 )2＝4 9 . 故动点 P 的轨迹方程为(x＋2)2＋ y－10 3 2＝4 9 . 『规律总结』 1.代入法(相关动点法)求轨迹方程：在一些问题中，动点满足的条件不 宜直接用等式列出，但是动点随另一动点(称之为相关点)的运动而变化．如果相关点所满足 的条件是明显的，这时，我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程， 即可求得动点的轨迹方程，这种求动点轨迹方程的方法称为代入法(相关动点法)． 2．代入法(相关动点法)求轨迹方程的一般步骤： ┃┃跟踪练习 4__■ 如图，点 P 是圆 x2＋y2＝25 上的动点，点 D 是点 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且 |MD|＝4 5 |PD|.当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程． [解析] 设点 M 的坐标是(x，y)，点 P 的坐标是(xP，yP)． 因为点 D 是点 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点， 且|MD|＝4 5 |PD|，所以 xP＝x，且 yP＝5 4 y. 因为 P 在圆 x2＋y2＝25 上， 所以 x2＋ 5 4 y 2＝25，整理得x2 25 ＋y2 16 ＝1， - 58 - 即点 M 的轨迹 C 的方程是x2 25 ＋y2 16 ＝1. 学科核心素养 曲线方程与其他数学知识的交汇问题 (1)曲线的方程探求中，在给出的条件中刻画条件关系时，常用其他部分的知识来表达．如 数列、集合、函数、平面向量等． (2)平面向量既有数的特点又有形的特点，因而它与解析几何的联系尤为密切．如平行关 系可用向量共线关系来表示，垂直关系可用向量垂直的关系来表示． (3)解答此类问题时，只要充分运用诸如向量的数量积、数列等相关概念即可求得． 典例 5 已知两点 M(－1,0)，N(1,0)，且点 P 使MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→成公差 小于零的等差数列，求点 P 的轨迹方程． [规范解答] 设点 P(x，y)，由 M(－1,0)，N(1,0)， 得PM→＝－MP→＝(－1－x，－y)， MN→＝(2,0)， PN→＝－NP→＝(1－x，－y)， ∴MP→·MN→＝2(x＋1)，PM→·PN→＝x2＋y2－1， NM→·NP→＝2(1－x)． 于是，MP→·MN→，PM→·PN→，NM→·NP→是公差小于零的等差数列等价于： x2＋y2－1＝1 2 [2 x＋1 ＋2 1－x ]， 2 1－x －2 x＋1 <0， 即 x2＋y2＝3， x>0. ∴点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝3(x>0)． 『规律总结』 求解此类平面向量、曲线方程、数列等多知识点交汇的问题的思路是： 先转化，即利用平面向量的坐标表示，去掉平面向量的“外衣”；再应用数列的相关公式与 性质，转化为关于 x，y 的关系式；最后下结论． ┃┃跟踪练习 5__■ 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，－1)，点 B 在直线 y＝－3 上，点 M 满足BM→∥OA→， MA→·AB→＝MB→·BA→，点 M 的轨迹为曲线 C, 求曲线 C 的方程． [解析] 设 M(x，y)，由已知得 B(x，－3)，A(0，－1)，所以MA→＝(－x，－1－y)，MB→＝ (0，－3－y)，AB→＝(x，－2)．由题意可知(MA→＋MB→)·AB→＝0，即(－x，－4－2y)·(x，－2) ＝0，整理化简得 y＝1 4 x2－2.所以曲线 C 的方程为 y＝1 4 x2－2. - 59 - 易混易错警示 典例 6 已知曲线 C：y＝ x2－2x＋2和直线 l：y＝kx(k≠0)，若 C 与 l 有两个交 点 A 和 B，求线段 AB 中点的轨迹方程． [错解] 依题意，由 y＝ x2－2x＋2， y＝kx， 分别消去 x、y 得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，① (k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.② 设 AB 的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有 x＝x1＋x2 2 ＝ 1 1－k2， ③ y＝y1＋y2 2 ＝ k 1－k2， ④ 故线段 AB 中点的轨迹方程为 x2－y2－x＝0. [辨析] 消元过程中，由于两边平方，扩大了变量 y 的允许值范围，故应对 x，y 加以限 制． [正解] 依题意，由 y＝ x2－2x＋2 y＝kx ， 分别消去 x、y 得，(k2－1)x2＋2x－2＝0，① (k2－1)y2＋2ky－2k2＝0.② 设 AB 的中点为 P(x，y)，则在①②中分别有 x＝x1＋x2 2 ＝ 1 1－k2， ③ y＝y1＋y2 2 ＝ k 1－k2， ④ 又对②应满足： k2－1≠0 Δ＝4k2－4× －2k2× k2－1 >0 y1＋y2＝ 2k 1－k2>0 y1·y2＝ 2k2 1－k2>0 ， 解得 2 2 2，y> 2. 所以所求轨迹方程是 x2－y2－x＝0(x>2，y> 2)． 2.2.1 椭圆及其标准方程 - 60 - 自主预习·探新知 情景引入 椭圆是一种美丽的曲线，它具有形状美和科学美．“神舟”六号载人飞船进入预定轨道 绕地球飞行，其运行的轨道就是以地球中心为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义 及椭圆的方程，这样我们能算出“神舟”六号绕地飞行的轨迹方程． 新知导学 1．椭圆的概念 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的__和__等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做 椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，__两焦点__间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于 |F1F2|时轨迹为__线段 F1F2__，当常数小于|F1F2|时，轨迹__不存在__. 2．椭圆的标准方程 当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为__x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)__；当焦点在 y 轴上时，椭圆 的标准方程为__y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)__. 其中在椭圆的标准方程中 a，b，c 的关系为__a2＝b2＋c2__. 预习自测 1．设 F1 ，F2 为定点，|F1F2|＝6，动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点 M 的轨迹是 ( A ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 [解析] ∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6， 由椭圆定义，动点 M 轨迹为椭圆． 2．设 P 是椭圆x2 4 ＋y2 3 ＝1 上的任意一点，若 F1、F2 是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等 于( A ) A．4 B．2 C．2 3 D． 3 [解析] ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴选 A． 3．椭圆x2 m ＋y2 4 ＝1 的焦距是 2，则 m 的值是( C ) A．5 B．3 或 8 C．3 或 5 D．20 - 61 - [解析] 2c＝2，c＝1，故有 m－4＝1 或 4－m＝1， ∴m＝5 或 m＝3，故选 C． 4．(浙江丽水市 2019－2020 学年高二质监)椭圆x2 2 ＋y2 3 ＝1 的焦点坐标是( A ) A．(0，±1) B．(±1,0) C．(0，± 5) D． (± 5，0) [解析] 椭圆x2 2 ＋y2 3 ＝1，可得 a＝ 3，b＝ 2，可得 c＝1，所以椭圆的焦点(0，±1)．故 选 A． 5．若椭圆x2 25 ＋y2 16 ＝1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是__4__. [解析] 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10， ∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－6＝4. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 椭圆的定义 典例 1 已知圆 A：(x＋3)2＋y2＝100，圆 A 内一定点 B(3,0)，圆 P 过 B 且与圆 A 内切(如图所示)，求圆心 P 的轨迹方程． [规范解答] 设圆 P 的半径为 r， 又圆 P 过点 B，∴|PB|＝r， 又∵圆 P 与圆 A 内切，圆 A 的半径为 10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16. 即点 P 的轨迹方程为x2 25 ＋y2 16 ＝1. 『规律总结』 1.对椭圆定义的三点说明 (1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． - 62 - (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆 的限制条件． 2．椭圆定义的两个应用 (1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点 M 的轨迹是椭圆． (2)若点 M 在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a. ┃┃跟踪练习 1__■ 已知△ABC 的周长是 8，且 B(－1,0)、C(1,0)，则顶点 A 的轨迹方程是( A ) A．x2 9 ＋y2 8 ＝1(x≠±3) B．x2 9 ＋y2 8 ＝1(x≠0) C．x2 4 ＋y2 3 ＝1(y≠0) D．x2 3 ＋y2 4 ＝1(y≠0) [解析] ∵|AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2， ∴顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，设其方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)， 则 a＝3，b＝2 2. 又∵A、B、C 三点不共线， ∴顶点 A 的轨迹方程为x2 9 ＋y2 8 ＝1(x≠±3)． 命题方向❷ 椭圆的标准方程 典例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26； (2)焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，－2)和 B(－2 3，1)两点． [思路分析] (1)由焦点坐标知道椭圆焦点在 y 轴，c＝5，由椭圆定义知 a＝13，所以 b ＝12. (2)由于不知道焦点在 x 轴还是 y 轴，所以设椭圆方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 代入两点坐标，可求得系数． [规范解答] (1)因为焦点在 y 轴上，所以设其标准方程为y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)． 因为 2a＝26,2c＝10，所以 a＝13，c＝5. 所以 b2＝a2－c2＝144. 所以所求椭圆方程为 y2 169 ＋ x2 144 ＝1. (2)设所求椭圆方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， - 63 - 依题意，得 3A＋4B＝1， 12A＋B＝1， 解得 A＝ 1 15 ， B＝1 5 ， 所以所求椭圆的标准方程为x2 15 ＋y2 5 ＝1. 『规律总结』 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程步骤： (1)定位，确定焦点在哪个轴上； (2)定量，依据条件及 a2＝b2＋c2 确定 a、b、c 的值； (3)写出标准方程． 2．求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为x2 m ＋y2 n ＝1(m>0，n>0，m≠n)， 再根据条件确定 m、n 的值． 3．当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，将点的坐标代入 解方程组求得系数． ┃┃跟踪练习 2__■ 根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)经过点 P(1，3 2 )，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上； (2)经过点(2，－3)且与椭圆 9x2＋4y2＝36 有共同的焦点． [解析] (1)设椭圆的标准方程为x2 a2＋y2 b2＝1，(a>b>0)， ∵焦点在 x 轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1， 又椭圆经过点 P 1，3 2 ，∴ 1 b2＋1 ＋ 9 4 b2 ＝1，解之得 b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)∵椭圆 9x2＋4y2＝36 的焦点为(0，± 5)，则可设所求椭圆方程为x2 m ＋ y2 m＋5 ＝1(m>0)， 又椭圆经过点(2，－3)，则有4 m ＋ 9 m＋5 ＝1， 解得 m＝10 或 m＝－2(舍去)， 即所求椭圆的方程为x2 10 ＋y2 15 ＝1. 命题方向❸ 椭圆的焦点三角形 - 64 - 典例 3 已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上一点 P，F1、F2 为椭圆的焦点，若∠F1PF2＝ θ，求△F1PF2 的面积． [规范解答] 由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2 中，由余弦定理得， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ ＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cosθ＝4c2， 即 4a2－4c2＝2|PF1|·|PF2|(1＋cosθ) ∴S△PF1F2＝1 2 |PF1|·|PF2|sinθ＝b2· sinθ 1＋cosθ ＝b2tanθ 2 . 『规律总结』 1.椭圆定义的应用 (1)实现两个焦点半径之间的相互转化． (2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题． 2．椭圆定义解题的整体思想 对于椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的△F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思 想的应用，如已知∠F1PF2，可利用 S＝1 2 absinC 把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2 ＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出 |PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量． ┃┃跟踪练习 3__■ 设 P 是椭圆x2 25 ＋4y2 75 ＝1 上一点，F1，F2 是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2 的面积． [解析] 由余弦定理得 cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－4c2 2|PF1||PF2| ＝|PF1|2＋|PF2|2－25 2|PF1||PF2| ， ∴|PF1|·|PF2|＝|PF1|2＋|PF2|2－25 ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－25 ∴3|PF1|·|PF2|＝(2×5)2－25＝75， ∴|PF1|·|PF2|＝25， ∴S△PF1F2＝1 2 |PF1||PF2|sin60° ＝1 2 ·25· 3 2 - 65 - ＝25 3 4 . 学科核心素养 椭圆的其他方程形式 (1)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)． 方程 Ax2＋By2＝1(其中 A>0，B>0，A≠B)包含椭圆的焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情 况，方程可变形为 x2 1 A ＋ y2 1 B ＝1.①当1 A >1 B ，即 B>A 时，表示焦点在 x 轴上的椭圆；②当1 A <1 B ，即 Bb>0)有公共焦点的椭圆方程为 x2 a2＋λ ＋ y2 b2＋λ ＝1(a>b>0，λ>－b2)；与椭圆y2 a2＋x2 b2＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为 y2 a2＋λ ＋ x2 b2＋λ ＝1(a>b>0，λ>－b2)． 典例 4 (1)若方程 x2＋ky2＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 k 的取值范围； (2)椭圆 8k2x2－ky2＝8 的一个焦点为(0， 7)，求 k 的值． [思路分析] 将椭圆的方程化为标准方程，运用题设中给出的条件求解． [规范解答] (1)原方程可化为x2 2 ＋ y2 2 k ＝1. 因为方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，所以 k>0， 2 k >2， 解得 00， －8 k >1 k2， －8 k －1 k2＝7， 解得 k<0， k<－1 8 ， k＝－1 或 k＝－1 7 . 所以 k 的值为－1 或－1 7 . 『规律总结』 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)，在 求解这类问题时，必须先确定焦点位置，从而可得 a2，b2 的值．当焦点不确定时，应注意分类 讨论，分别求值．另外，应注意当 a2＝b2 时，方程表示圆，应排除这种情况． ┃┃跟踪练习 4__■ 若方程 x2 k－3 ＋ y2 5－k ＝1 表示椭圆，求 k 的取值范围． [解析] 依题意，得 k－3>0， 5－k>0， k－3≠5－k. 解得 3b>c)成等差数列，A、C 两点的坐标分别是(－ 1,0)、(1,0)，求顶点 B 的轨迹方程． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，∴|BC|＋|BA|＝4. 根据椭圆的定义易知， 点 B 的轨迹方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. [辨析] 错误的原因是忽略了题设中的条件 a>b>c，使变量 x 的范围扩大，从而导致错 误．另外一处错误是当点 B 在 x 轴上时，A、B、C 三点不能构成三角形． [正解] ∵a>c，即 x－1 2＋y2> x＋1 2＋y2，解得 x<0.又点 B 不在 x 轴上，∴x≠ －2. 故所求的轨迹方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1(－2b>0) x2 b2＋y2 a2＝1(a>b>0) 图形 性 质 焦点 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 焦距 |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) 范围 __|x|≤a，|y|≤b__ __|x|≤b，|y|≤a__ 对称性 关于__x 轴、y 轴和原点__对称 顶点 __(±a,0)，(0，±b)__ __(0，±a)，(±b,0)__ 轴 长轴长__2a__，短轴长__2b__ 离心率 e＝__c a __ (0b>0)， a＋b＝10 2c＝4 5 a2＝b2＋c2 ⇒ a＝6 b＝4 ∴椭圆方程x2 36 ＋y2 16 ＝1. 4．(2019·北京理，4)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心 率为1 2 ，则( B ) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b - 69 - [解析] 因为椭圆的离心率 e＝c a ＝1 2 ，所以 a2＝4c2. 又 a2＝b2＋c2，所以 3a2＝4b2.故选 B． 5．若焦点在 y 轴上的椭圆x2 m ＋y2 2 ＝1 的离心率为1 2 ，则 m 的值为__3 2 __. [解析] ∵焦点在 y 轴上，∴0b>0)． 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， - 71 - ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， 故所求椭圆的方程为x2 32 ＋y2 16 ＝1. 『规律总结』 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤 为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于 a、b、c 的方程(组)， 求出参数 a、b、c；(3)写出标准方程． 2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解， 可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距． ┃┃跟踪练习 2__■ 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为1 3 ，长轴长为 12，则椭圆方程为( C ) A． x2 144 ＋ y2 128 ＝1 或 x2 128 ＋ y2 144 ＝1 B．x2 6 ＋y2 4 ＝1 C．x2 36 ＋y2 32 ＝1 或x2 32 ＋y2 36 ＝1 D．x2 4 ＋y2 6 ＝1 或x2 6 ＋y2 4 ＝1 [解析] 由条件知 a＝6，e＝c a ＝1 3 ，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选 C． 命题方向❸ 椭圆的离心率 典例 3 设 F1，F2 是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点 M 都满足∠F1MF2 为锐角， 则椭圆离心率的取值范围是( B ) A．(0，1 2 ] B．(0， 2 2 ) C．(0,1) D．[ 2 2 ，1) [思路分析] 由题设条件可知，当点 P 位于(0，b)或(0，－b)处时，∠F1PF2 最大，此时 cos∠F1PF2＝a2＋a2－4c2 2a2 ＝a2－2c2 a2 >0，∴a> 2c，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围． [规范解答] 由题可知，当点 P 位于(0，b)或(0，－b)处时，∠F1PF2 最大， 此时 cos∠F1PF2＝a2＋a2－4c2 2a2 ＝a2－2c2 a2 >0，∴a> 2c. ∴e＝c a < 2 2 . 又∵00，y0>0， 则 x2 0 502＋ y2 0 302＝1，得 y2 0＝302 502(502－x2 0)． 根据矩形 ABCD 的对称性，可知它的面积 S＝4x0y0. 由于 x2 0y2 0＝x2 0·302 502(502－x2 0) ＝(30 50 )2[－(x2 0－502 2 )2＋504 4 ]， 因此当 x2 0＝502 2 时，x2 0y 2 0取得最大值，此时 S 也取得最大值． 这时 x0＝25 2，y0＝15 2. 矩形 ABCD 的周长为 4(x0＋y0)＝4(25 2＋15 2) ＝160 2(m)． 因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且短轴相距 25 2 m 的直线，这两条 直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点；这个矩形区域的周长为 160 2 m. 『规律总结』 (1)解决与椭圆相关的应用题的基本策略：①通过求解椭圆的方程来研究 它们的性质；②应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系，再结合代数 知识来求解． (2)利用椭圆解决实际问题的基本步骤：①建立适当的坐标系；②求出椭圆的标准方程(待 定系数法)；③根据椭圆的方程及性质解决实际问题． ┃┃跟踪练习 4__■ 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点 A 距地面 m km，远地点 B 距 离地面 n km，地球半径为 k km，则飞船运行轨道的短轴长为( A ) A．2 m＋k n＋k B． m＋k n＋k C．m·n D．2mn [解析] 由题意可得 a－c＝m＋k，a＋c＝n＋k，故(a－c)(a＋c)＝(m＋k)(n＋k)．即 a2 － c2 ＝ b2 ＝ (m ＋ k)(n ＋ k) ， 所 以 b ＝ m＋k n＋k ， 所 以 椭 圆 的 短 轴 长 为 2 m＋k n＋k ，故选 A． 学科核心素养 椭圆中的最值问题 典例 5 设 P 为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任意一点，F1 为它的一个焦点，求|PF1| 的最大值和最小值． [规范解答] 设 F2 为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：|PF1|＋|PF2|＝2a， ∵||PF1|－|PF2||≤2c，∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， - 74 - ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c， ∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－c. 『规律总结』 椭圆几何性质的拓展 (1)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上的任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|PO|有最小值，这时 P 在短轴端点处；当 x＝a 时，|PO|有最大值，这时 P 在长轴端点处． (2)椭圆上任意一点 P(x，y)(y≠0)与两焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2 称为焦点 三角形，其周长为 2(a＋c)． (3)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成一个直角三角形，其三边长满足等式 a2 ＝b2＋c2. (4)椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点． ┃┃跟踪练习 5__■ 已知椭圆的焦点 F1、F2 在 x 轴上，它与 y 轴的一个交点为 P，且△PF1F2 为正三角形，且焦 点到椭圆上的点的最短距离为 3，则椭圆的方程为__x2 12 ＋y2 9 ＝1__. [解析] ∵椭圆的焦点在 x 轴上，则设方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，两焦点 F1(－c,0)、 F2(c,0)、P(0，b)． 不妨设 x 轴与椭圆的一个交点为 A(a,0)， ∴c＝ a2－b2， 由△PF1F2 为正三角形可知：|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|， ∴a＝2c① 又焦点到椭圆上的点的最短距离为 a－c， 于是 a－c＝ 3② 由①②可得：a＝2 3，c＝ 3，从而 b2＝a2－c2＝9. ∴所求椭圆方程为x2 12 ＋y2 9 ＝1. 易混易错警示 典例 6 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率 e＝ 3 2 ，且过点 P(2,3)， 求此椭圆的标准方程． [错解] 设椭圆的标准方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，由题意知 c a ＝ 3 2 4 a2＋9 b2＝1 a2＝b2＋c2 ， 解得 b2＝10，a2＝40. - 75 - 所以所求椭圆的标准方程为x2 40 ＋y2 10 ＝1. [辨析] 上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在 x 轴上． [正解] 当焦点在 x 轴上时，解法同上，所求椭圆的标准方程为x2 40 ＋y2 10 ＝1. 当焦点在 y 轴上时，设椭圆方程为y2 a2＋x2 b2＝1(a>b> 0)，由题意，得 c a ＝ 3 2 9 a2＋4 b2＝1 c2＝a2－b2 ，解得 b2＝25 4 ，a2＝25. 故所求椭圆的标准方程为y2 25 ＋4x2 25 ＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x2 40 ＋y2 10 ＝1 或y2 25 ＋4x2 25 ＝1. 2.2.2.2 直线与椭圆的位置关系 自主预习·探新知 情景引入 1．设椭圆的两焦点为点 F1、F2，已知点 P 在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，那么点 P 在椭 圆外时，设直线 PF1 交椭圆于 Q，则|PF1|＋|PF2|与|QF1|＋|QF2|的大小关系如何？ 2．直线与椭圆的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程 联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？ 新知导学 1．点与椭圆的位置关系 点 P(x0，y0)与椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔__x2 0 a2＋y2 0 b2＝1__； 点 P 在椭圆内部⇔__x2 0 a2＋y2 0 b2<1__； 点 P 在椭圆外部⇔__x2 0 a2＋y2 0 b2>1__. 2．直线与椭圆的位置关系 - 76 - 直线 y＝kx＋m 与椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由 y＝kx＋m， x2 a2＋y2 b2＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ__>__0 相切 一解 Δ__＝__0 相离 无解 Δ__<__0 3．直线与椭圆相交弦长 设直线斜率为 k，直线与椭圆两交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2__|x1－x2|__ ＝ 1＋1 k2__|y1－y2|__，一般地，|x1－x2|＝ x1＋x2 2－4x1x2用根与系数关系求解. 预习自测 1．已知点(3,2)在椭圆x2 a2＋y2 b2＝1 上，则( C ) A．点(－3，－2)不在椭圆上 B．点(3，－2)不在椭圆上 C．点(－3,2)在椭圆上 D．无法判断点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)是否在椭圆上 2．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F( 15，0)，直线 y＝x 与椭圆的一个交点的横坐 标为 2，则椭圆方程为( C ) A．x2 16 ＋y2＝1 B．x2＋y2 16 ＝1 C．x2 20 ＋y2 5 ＝1 D．x2 5 ＋y2 20 ＝1 [解析] 由椭圆过点(2,2)，且焦点在 x 轴上，排除 A、B、D，选 C． 3．直线 l：x－2y＋2＝0 过椭圆的左焦点 F1 和一个顶点 B，则该椭圆的离心率为( D ) A．1 5 B．2 5 C． 5 5 D．2 5 5 [解析] 令 x＝0，得 y＝1，令 y＝0，得 x＝－2，由题意知椭圆的半焦距 c＝2，短半轴 长 b＝1，∴a＝ 5，∴离心率 e＝c a ＝2 5 5 . 4．若 F1、F2 分别是椭圆 E：x2＋y2 b2＝1(0b>0)上的一点，若PF1 →·PF2 →＝0，tan∠PF1F2 ＝1 2 ，则此椭圆的离心率为__ 5 3 __. [解析] ∵PF1 →·PF2 →＝0，∴PF1⊥PF2， 在 Rt△PF1F2 中，tan∠PF1F2＝|PF2| |PF1| ＝1 2 ， 设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x， 由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a，∴x＝2a 3 ， ∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴x2＋4x2＝4c2， ∴20 9 a2＝4c2，∴e＝c a ＝ 5 3 . - 78 - 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 直线与椭圆的位置关系 典例 1 已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围； (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程． [思路分析] 求 m 的取值范围，从方程角度看，需将问题转化为关于 x 的一元二次方程 解的判断，而求弦最长时的直线方程，就是将弦长表示成关于 m 的函数，求出当弦长最大时 的 m 值，从而确定直线方程． [规范解答] (1)由 4x2＋y2＝1 y＝x＋m ，消去 y 得， 5x2＋2mx＋m2－1＝0， ∵直线与椭圆有公共点， ∴Δ＝4m2－20(m2－1)≥0， 解得－ 5 2 ≤m≤ 5 2 . (2)设直线与椭圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)． 由(1)知 5x2＋2mx＋m2－1＝0. 由根与系数的关系得 x1＋x2＝－2 5 m，x1x2＝m2－1 5 . ∴|AB|＝ x1－x2 2＋ y1－y2 2 ＝ x1－x2 2＋ x1＋m－x2－m 2 ＝ 2 x1－x2 2＝ 2[ x1＋x2 2－4x1x2] ＝ 2[4m2 25 －4 5 m2－1 ]＝2 5 10－8m2. ∵Δ＝4m2－20(m2－1)>0， ∴－ 5 2 0 时，得－55，直线 l 与椭圆无公共点． 命题方向❷ 中点弦问题 典例 2 P(1,1)为椭圆x2 4 ＋y2 2 ＝1 内一定点，经过 P 引一弦，使此弦在 P 点被平分， 求此弦所在的直线方程． [思路分析] 本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，采用点差法求解较简便． [规范解答] 解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y－1＝k(x－1)， 弦的两端点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由 y－1＝k x－1 x2 4 ＋y2 2 ＝1 ，消去 y 得， (2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0， ∴x1＋x2＝4k k－1 2k2＋1 ， 又∵x1＋x2＝2，∴4k k－1 2k2＋1 ＝2，得 k＝－1 2 .故弦所在直线方程为 y－1＝－1 2 (x－1)， 即 x＋2y－3＝0. 解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，且设弦的两端点坐标为(x1， y1)、(x2，y2)， 则x2 1 4 ＋y2 1 2 ＝1，x2 2 4 ＋y2 2 2 ＝1，两式相减得 x1＋x2 x1－x2 4 ＋ y1＋y2 y1－y2 2 ＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴x1－x2 2 ＋(y1－y2)＝0，∴k＝y1－y2 x1－x2 ＝－1 2 . ∴此弦所在直线方程为 y－1＝－1 2 (x－1)， 即 x＋2y－3＝0. 『规律总结』 解决椭圆中点弦问题的三种方法 - 80 - (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一 元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作 差，构造出中点坐标和斜率的关系． (3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为 P(x0，y0)，设其一交点为 A(x，y)，则 另一交点为 B(2x0－x,2y0－y)，则 x2 a2＋y2 b2＝1， 2x0－x 2 a2 ＋ 2y0－y 2 b2 ＝1， 两式作差即得所求直线方程． ┃┃跟踪练习 2__■ (2019－2020 学年房山区期末检测)已知椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)， 过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为__x2 18 ＋y2 9 ＝ 1__. [解析] 已知 c＝3，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2 1 a2＋y2 b2＝1 ①，x2 2 a2＋y2 2 b2＝1 ②， 已知 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ①－②得 x1＋x2 x1－x2 a2 ＋ y1＋y2 y1－y2 b2 ＝0， ∴y1－y2 x1－x2 ＝－b2 a2·x1＋x2 y1＋y2 ＝－b2 a2×(－1)＝b2 a2， ∵y1－y2 x1－x2 ＝0＋1 3－1 ＝1 2 ， ∴b2 a2＝1 2 ，即 a2＝2b2， 又 a2＝b2＋c2＝b2＋9， ∴b2＝9，a2＝18，即 E 的方程为x2 18 ＋y2 9 ＝1. 命题方向❸ 椭圆中的最值问题 典例 3 已知椭圆 E：x2 25 ＋y2 16 ＝1，点 P(x，y)是椭圆上一点． (1)求 x2＋y2 的最值； (2)若四边形 ABCD 内接于椭圆 E，点 A 的横坐标为 5，点 C 的纵坐标为 4，求四边形面积 的最大值． [思路分析] 只需把 x2、y2 及面积表示成函数关系式，然后求函数的最值即可． - 81 - [规范解答] (1)解法一：由x2 25 ＋y2 16 ＝1，得 y2＝16(1－x2 25 )， ∴x2＋y2＝x2＋16(1－x2 25 )＝16＋9x2 25 . ∵x∈[－5,5]，∴16≤x2＋y2≤25， ∴x2＋y2 的最大值为 25，最小值为 16. 解法二：令 x＝5cosθ y＝4sinθ ，θ∈[0,2π]， 得 x2＋y2＝25cos2θ＋16sin2θ＝16＋9cos2θ. 又∵cos2θ∈[0,1]， ∴x2＋y2 的最大值为 25，最小值为 16. (2)如图所示，易知 A(5,0)、C(0,4)， 设 B(5cosθ，4sinθ)为椭圆上任一点， 又 AC 方程为x 5 ＋y 4 ＝1， 即 4x＋5y－20＝0， 所以点 B 到直线 AC 的距离为 d1＝|20cosθ＋20sinθ－20| 41 ＝ |20 2sin θ＋π 4 －20| 41 ≤20 2－20 41 . 同理可得，点 D 到直线 AC 的距离为 d2≤20 2＋20 41 . 所以四边形 ABCD 的最大面积为 S＝1 2 |AC|(d1＋d2)＝20 2. 『规律总结』 1.解决椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)中的范围问题常用的关系有： ①－a≤x≤a，－b≤y≤b； ②离心率 0b>0)的离心率为 3 2 ，A1，A2 分 别为椭圆 E 的左右顶点，B 为上顶点，△A1BA2 的面积为 2.直线 l 过点 D(1,0)且与椭圆 E 交于 P，Q 两点． (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． [解析] (1)由题意知 e＝c a ＝ 1－b2 a2＝ 3 2 ， ∴b2 a2＝1 4 ，即 a＝2b. ∵△A1BA2 的面积为 2， ∴ab＝2， 解得 a＝2，b＝1， ∴椭圆 E 的标准方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)PQ 斜率不存在时，易知 P(1， 3 2 )，Q(1，－ 3 2 )，此时 S△OPQ＝ 3 2 ， 当直线 PQ 的斜率存在时，设 PQ 的方程为 y＝k(x－1)，k≠0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将 y＝k(x－1)代入x2 4 ＋y2＝1， 整理可得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0， ∴x1＋x2＝ 8k2 1＋4k2，x1x2＝4k2－4 1＋4k2， ∴|x1－x2|＝ x1＋x2 2－4x1x2＝4 3k2＋1 1＋4k2 ， ∴S△OPQ＝1 2 ×1×|y1－y2|＝|k| 2 ·|x1－x2|＝2 3k4＋k2 1＋4k2 ， 令 1＋4k2＝t，t>1， ∴S△OPQ＝2 t 3 16 t－1 2＋1 4 t－1 ＝1 2 －1 t2－2 t ＋3< 3 2 ，综上可知 S△OPQ≤ 3 2 . - 83 - 故△OPQ 面积的最大值 3 2 . 学科核心素养 定点定值问题 解决与椭圆有关的定值、定点问题常利用设而不求的思想，将相关各量设出，然后利用 椭圆的几何性质将所求值或点表示出来，最后说明要求解的量与变量的取值无关即可．解决 此类问题时，偶尔需要先根据题意观察定值、定点，这类特殊位置一般在中点处取得． 典例 4 (2019－2020 学年湖南省长沙市望城区二中月考)椭圆中心为坐标原点 O， 对称轴为坐标轴，且过 M(2， 2)，N( 6，1)两点． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 A，B，且 OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由． [思路分析] (1)由椭圆过点 M(2， 2)，N( 6，1)列出方程组求出 a，b，由此能求出椭 圆 E 的方程． (2)假设存在这样的圆，设该圆的切线为 y＝kx＋m 与椭圆联立，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2 －8＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB|的取值范围． [规范解答] (1) 4 a2＋2 b2＝1 6 a2＋1 b2＝1 ⇒ a2＝8 b2＝4 ， ∴x2 8 ＋y2 4 ＝1. (2)假设存在这样的圆，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，该圆的切线为 y＝kx＋m，与x2 8 ＋y2 4 ＝1 联立消 y 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，当Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4) ＞0， ∴x1＋x2＝－4km 1＋2k2，x1x2＝2m2－8 1＋2k2， 因为OA→⊥OB→，所以 x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， ∴(1＋k2)x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝0 所以 3m2－8k2－8＝0，由Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0 得 Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)＞0，代入化简得 m2＞2， 又 y＝kx＋m 与圆心在原点的圆相切， 所以 r＝ |m| 1＋k2 ⇒r2＝ m2 1＋3m2－8 8 ＝8 3 . - 84 - ∴所求圆 x2＋y2＝8 3 ，直线 AB 斜率不存在时也满足． 当 k≠0 时，|AB|＝ 1＋k2|x2－x1| ＝ 32 4k4＋5k2＋1 3 4k4＋4k2＋1 ＝ 32 3 1＋ 1 4k2＋1 k2＋4 ∈ 4 3 6，2 3 ，当 k＝0 时，|AB|＝4 6 3 ， 即|AB|∈ 4 3 6，2 3 . 『规律总结』 本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等知识． ┃┃跟踪练习 4__■ 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为1 2 ，点( 3，－ 3 2 )在椭圆 C 上． (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若点 P 与点 N 关于 x 轴对称，判断直线 PM 是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明 理由． [解析] (1)由题知 e＝c a ＝1 2 ，即a2－b2 a2 ＝1 4 ，得 b2＝3 4 a2. ∵点( 3，－ 3 2 )在椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1 上， ∴3 a2＋ 3 4b2＝1. 解得 a2＝4，b2＝3. 椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设直线 lMN：x＝ty＋1(t≠0)，联立方程得 x＝ty＋1 3x2＋4y2＝12 ⇒(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0， ∴y1＋y2＝－ 6t 3t2＋4 ① y1y2＝－ 9 3t2＋4 ② 且Δ＝144t2＋144>0. ∵N(x2，y2)， ∴点 N 关于 x 轴的对称点 P(x2，－y2)， ∴kPM＝y1＋y2 x1－x2 ， - 85 - 故直线 PM 的方程为 y－y1＝ y1＋y2 x1－x2 (x－x1)， 由对称性可观察若直线 PM 恒过定点，则定点应在 x 轴上，故令 y＝0 得 x＝x1y2＋x2y1 y1＋y2 ＝ ty1＋1 y2＋ ty2＋1 y1 y1＋y2 ＝2ty1y2＋y1＋y2 y1＋y2 将①②式代入上式得 x＝4，故直线 PM 恒过定点(4,0)． 易混易错警示 典例 5 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长、短轴长之比为 2：1，若圆 x2＋y2－4y＋3＝0 上的点 P 到此椭圆上点 Q 的最大距离为 1＋2 21 3 ，求此椭圆的方程． [错解] 设椭圆方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)， ∵a：b＝2：1，∴a＝2b，∴椭圆方程为 x2 4b2＋y2 b2＝1. 又圆心为 A(0,2)，半径 r＝1， 设 Q(x，y)，则 x2＝4b2－4y2， ∴|QA|2＝x2＋(y－2)2＝－3 y＋2 3 2＋4b2＋16 3 . ∴当 y＝－2 3 时|QA|最大． 由 1＋ 4b2＋16 3 ＝1＋2 21 3 ，得 b＝1. ∴椭圆方程为x2 4 ＋y2＝1. [辨析] 由已知得出方程，设 Q(x，y)，求圆心 A(0,2)到点 Q 的距离，|AQ|的距离加上 圆半径即为|PQ|的最大值，可求得|PQ|的函数关系式转化为二次函数关系式． [正解] 由已知，设椭圆方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)， 则 a：b＝2：1，即 a＝2b.椭圆方程化为 x2 4b2＋y2 b2＝1，其中|y|≤b，|x|≤2b. 已知圆的标准方程为 x2＋(y－2)2＝1，圆心 A(0,2)，半径 R＝1. 设 Q(x，y)，则 x2＝4b2－4y2. |QA|2＝x2＋(y－2)2＝4b2－4y2＋(y－2)2 ＝－3 y＋2 3 2＋4b2＋16 3 . - 86 - 当 b≥2 3 时，∵|y|≤b，∴|AQ|max＝ 4b2＋16 3 . |PQ|max＝R＋|AQ|max＝1＋ 16 3 ＋4b2＝1＋2 21 3 . 解得 b＝1≥2 3 ，符合条件． 当 b<2 3 时，∵|y|≤b， ∴|AQ|max＝|b＋2|，|PQ|max＝R＋|AQ|max＝1＋|b＋2|＝1＋2 21 3 .解得 b＝2 21 3 －2>2 3 (舍 去)． ∴所求椭圆方程为x2 4 ＋y2＝1. 2.3.1 双曲线及其标准方程 自主预习·探新知 情景引入 通过前面的学习，我们已经知道，平面内与两个定点距离之和为常数(大于两定点间的距 离)的点的轨迹是椭圆．如果我们把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么 点的轨迹还存在吗？如果存在，点的轨迹又是什么呢？它的方程又是怎样的呢？ 新知导学 1．双曲线的定义 (1)在平面内到两个定点 F1、F2 距离之__差__的绝对值等于定值 2a(大于 0 且小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点之间的距离叫做双曲线 的__焦距__. (2)定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”． ①在双曲线的定义中，条件 0<2a<|F1F2|不应忽视，若 2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是__两 条射线__；若 2a>|F1F2|，则动点的轨迹是__不存在__. ②双曲线定义中应注意关键词“__绝对值__”，若去掉定义中“__绝对值__”三个字， 动点轨迹只能是__双曲线的一支__. 2．双曲线方程 焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为__x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)__，焦点在 y 轴上的双曲线的 - 87 - 标准方程为__y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)__. 其中在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为__a2＋b2＝c2__. 3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系 椭圆 双曲线 定义|MF1|＋|MF2|＝2a 定义|MF1|－|MF2|＝±2a 因为 a>c>0， 所以令 a2－c2＝b2(b>0) 因为 00) x2 a2＋y2 b2＝1 或y2 a2＋x2 b2＝1 (a>b>0) x2 a2－y2 b2＝1 或y2 a2－x2 b2＝1 (a>0，b>0，a 不一定大于 b) 预习自测 1．双曲线 x2－y2 3 ＝1 的焦点坐标是( B ) A．(0，±2) B．(±2,0) C．(0，± 2) D．(± 2，0) 2．已知两定点 F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点 P 的轨迹中，是双曲 线的是( A ) A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0 [解析] A 中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点 p 的轨迹是双曲线；B 中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点 P 的轨迹是以 F1 或 F2 为端点的射线(含端点)；C 中， ∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点 P 的轨迹不存在；D 中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1| ＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线，故选 A． 3．双曲线x2 10 －y2 2 ＝1 的焦距为( D ) A．3 2 B．4 2 C．3 3 D．4 3 [解析] c＝ a2＋b2＝ 12＝2 3，焦距 2c＝4 3. 4．(2019－2020 学年辽宁葫芦岛协作校考试)若方程 x2 m＋3 ＋ y2 4－m ＝1 表示焦点在 x 轴上的 双曲线，则 m 的取值范围是__(4，＋∞)__. [解析] 由题意可得 m＋3＞0 4－m＜0 ，解得 m＞4.故答案为(4，＋∞)． 5．P 是双曲线 x2－y2＝16 的左支上一点，F1，F2 分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__ －8__. - 88 - [解析] 双曲线方程为x2 16 －y2 16 ＝1， ∴a＝4， ∴||PF1|－|PF2||＝2a＝8， 又∵P 在左支上，F1 为左焦点， ∴|PF1|－|PF2|＝－8. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 双曲线的定义 典例 1 已知动圆 M 与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆 C2：(x－4)2＋y2＝2 内 切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． [思路分析] 利用两圆内、外切的充要条件找出 M 点所满足的几何条件，结合双曲线定 义求解． [规范解答] 设动圆 M 的半径为 r，则由已知|MC1|＝r＋ 2， |MC2|＝r－ 2， ∴|MC1|－|MC2|＝2 2. 又 C1(－4,0)、C2(4,0)， ∴|C1C2|＝8， ∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知，点 M 的轨迹是以 C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a＝ 2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14， ∴点 M 的轨迹方程是x2 2 －y2 14 ＝1(x≥ 2)． 『规律总结』 1.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 2．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 3．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． ┃┃跟踪练习 1__■ (浙江丽水市 2019－2020 学年高二质监)双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的左右焦点分别为 F1，F2，点在 P 双曲线上，若|PF1|＝5，则|PF2|＝( B ) - 89 - A．1 B．9 C．1 或 9 D．7 [解析] 双曲线x2 4 －y2 12 ＝1 的 a＝2，b＝2 3，c＝ 4＋12＝4， 点在 P 双曲线的右支上，可得|PF1|≥a＋c＝6，点在 P 双曲线的左支上，可得|PF1|≥c－ a＝2， 由|PF1|＝5 可得 P 在双曲线的左支上， 可得|PF2|－|PF1|＝2a＝4， 即有|PF2|＝5＋4＝9.故选 B． 命题方向❷ 双曲线的标准方程 典例 2 若θ为三角形的一个内角，且 sinθ＋cosθ＝1 5 ，则曲线 x2sinθ＋y2cosθ ＝1 是( A ) A．焦点在 x 轴上的双曲线 B．焦点在 y 轴上的双曲线 C．焦点在 x 轴上的椭圆 D．焦点在 y 轴上的椭圆 [规范解答] ∵sinθ＋cosθ＝1 5 ，∴sinθcosθ＝－12 25 <0， 又θ为三角形的一个内角，∴θ∈ π 2 ，π ， ∴sinθ>0，cosθ<0，故选 A． ┃┃跟踪练习 2__■ 已知方程 x2 m2＋n － y2 3m2－n ＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范 围是( A ) A．(－1,3) B．(－1， 3) C．(0,3) D．(0， 3) [解析] 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)，代入点的坐标，解方程 组求出 a2、b2，也可以直接设方程 Ax2＋By2＝1(A>0，B<0)． [规范解答] (1)由已知得，c＝5,2a＝8，即 a＝4. ∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9. ∵焦点在 x 轴上， ∴所求的双曲线标准方程是x2 16 －y2 9 ＝1. (2)设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则 16m＋4n＝1 24m＋8n＝1 ，∴ m＝1 8 n＝－1 4 ， ∴双曲线方程为x2 8 －y2 4 ＝1. 『规律总结』 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下： (1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，不能确定时应分类讨论； (2)设方程：根据焦点位置，设方程为x2 a2－y2 b2＝1 或y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦 可设为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)； (3)寻关系：根据已知条件列出关于 a、b(或 m、n)的方程组； (4)得方程：解方程组，将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设方程即为所求． ┃┃跟踪练习 3__■ 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x2 16 －y2 4 ＝1 有相同的焦点，且经过点(3 2，2)； (2)过点 P(3，15 4 )，Q(－16 3 ，5)且焦点在坐标轴上． [解析] (1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在 x 轴上，且 c2＝a2＋b2＝16＋4＝ 20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位 置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解． (1)解法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20，① ∵双曲线经过点(3 2，2)， ∴18 a2 －4 b2＝1.② - 91 - 由①②得 a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为x2 12 －y2 8 ＝1. 解法二：设所求双曲线的方程为 x2 16－λ － y2 4＋λ ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴ 18 16－λ － 4 4＋λ ＝1， 解得λ＝4 或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x2 12 －y2 8 ＝1. (2)解法一：当焦点在 x 轴上时，设标准方程为x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)． ∵点 P，Q 在双曲线上， ∴ 9 a2－225 16b2＝1， 256 9a2 －25 b2 ＝1， 此方程无解． 当焦点在 y 轴上时，设标准方程为y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)． ∵点 P，Q 在双曲线上， ∴ 225 16a2－9 b2＝1， 25 a2 －256 9b2 ＝1， 解得 a2＝9， b2＝16. ∴双曲线的标准方程为y2 9 －x2 16 ＝1. 解法二：设双曲线的方程为x2 m ＋y2 n ＝1，mn<0. ∵点 P，Q 在双曲线上， ∴ 9 m ＋225 16n ＝1， 256 9m ＋25 n ＝1， 解得 m＝－16， n＝9. - 92 - ∴双曲线的标准方程为y2 9 －x2 16 ＝1. 命题方向❹ 焦点三角形问题 典例 4 设双曲线x2 4 －y2 9 ＝1，F1、F2 是其两个焦点，点 P 在双曲线右支上． (1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2 的面积； (2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2 的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2 的面积又是 多少？ [ 思 路 分 析 ] 由 于 三 角 形 面 积 S △ F1PF2 ＝ 1 2 |PF1|·|PF2|·sinθ ， 所 以 只 要 求 出 |PF1|·|PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|. [规范解答] (1)由双曲线方程知 a＝2，b＝3，c＝ 13， 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)， 如图所示．由双曲线定义，有 r1－r2＝2a＝4， 两边平方得 r2 1＋r2 2－2r1r2＝16. ∵∠F1PF2＝90°， ∴r2 1＋r2 2＝4c2＝4×( 13)2＝52. ∴2r1r2＝52－16＝36， ∴S△F1PF2＝1 2 r1r2＝9. (2)若∠F1PF2＝60°， 在△F1PF2 中，由余弦定理得|F1F2|2＝r2 1＋r2 2－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2， 而 r1－r2＝4，|F1F2|＝2 13，∴r1r2＝36. 于是 S△F1PF2＝1 2 r1r2sin60°＝1 2 ×36× 3 2 ＝9 3. 同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝3 3. 『规律总结』 双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点 P 与其两个焦点 F1，F2 连接而成的三角形 PF1F2 称为焦点三角形．令|PF1|＝ r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a. (2)余弦公式：4c2＝r2 1＋r2 2－2r1r2cosθ (3)面积公式：S△PF1F2＝1 2 r1r2sinθ. - 93 - 一般地，在△PF1F2 中，通过以上三个等式，求问题就会顺利解决． ┃┃跟踪练习 4__■ 设 P 为双曲线x2 16 －y2 9 ＝1 上一点，F1，F2 是该双曲线的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则△ PF1F2 的面积为__9 3__. [解析] 由双曲线x2 16 －y2 9 ＝1 知：a＝4，b＝3，故 c＝ 16＋9＝5，所以|F1F2|＝2c＝10. 又由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝8，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝64， ① 在△PF1F2 中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即|PF1|2＋ |PF2|2 － |PF1||PF2| ＝ 100 ， ② ① － ② ， 得 |PF1||PF2| ＝ 36 ， 所 以 S △ PF1F2 ＝ 1 2 |PF1|·|PF2|sin60°＝1 2 ×36× 3 2 ＝9 3.故填 9 3. 命题方向❺ 双曲线的实际应用 典例 5 相距 2 000 m 的两个哨所 A、B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时 的声速是 330 m/s，在 A 哨所听到爆炸声的时间比在 B 哨所听到时间迟 4 s，试判断爆炸点在 什么样的曲线上，并求出曲线的方程． [思路分析] 爆炸点与哨所 A、B 的“距离差”等于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间 差”，且爆炸点距 B 哨所较近． [规范解答] 设爆炸点为 P，由已知可得 |PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0. 因为|AB|＝2 000>1 320，所以点 P 在以 A、B 为焦点的双曲线的靠近 B 处的那一支上． 建立如图平面直角坐标系，使 A、B 两点在 x 轴上，线段 AB 的中点为坐标原点． 由 2a＝1 320,2c＝2 000 得， a＝660，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400. 因此，点 P 所在曲线的方程是 x2 435 600 － y2 564 400 ＝1(x>0)． 『规律总结』 解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点， 某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双 曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． ┃┃跟踪练习 5__■ - 94 - A、B、C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6 km，C 在 B 正北偏西 30°，相距 4 km，P 为 敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B、C 两地比 A 距 P 地远，因此经过 4 s 后，B、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 km/s，A 若炮击 P 地，则炮击的方向 角是__北__(南、北)偏__东__(东、西)__30__度． [解析] 如图，以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系，则 B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2 3)． 因为|PB|＝|PC|，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上． 因为 kBC＝－ 3，BC 中点 D(－4， 3)，所以直线 PD：y－ 3＝ 1 3 (x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4，故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上． 设 P(x，y)，则双曲线方程为x2 4 －y2 5 ＝1(x≥0)② 联立①、②式，得 x＝8，y＝5 3，所以 P(8,5 3)． 因此 kPA＝5 3 8－3 ＝ 3. 故炮击的方向角为北偏东 30°.故答案为：北；东；30. 学科核心素养 双曲线的其他形式 (1)双曲线的一般方程：当 ABC≠0 时，方程 Ax2＋By2＝C 可以变形为 x2 C A ＋ y2 C B ＝1，由此可以 看出方程 Ax2＋By2＝C 表示双曲线的充要条件是 ABC≠0，且 A，B 异号．此时称方程 Ax2＋By2 ＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为 Ax2＋By2＝ 1(AB<0)，将其化为标准方程，即 x2 1 A ＋ y2 1 B ＝1.因此，当 A>0 时，表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 B>0 时，表示焦点在 y 轴上的双曲线． (2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为 x2 a2＋λ － y2 b2－λ ＝1(a>0，b>0)；与双曲线y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为 y2 a2＋λ － x2 b2－λ ＝1(a>0，b>0)． - 95 - 典例 6 下列各选项中，与x2 12 －y2 24 ＝1 共焦点的双曲线是( C ) A．x2 12 ＋y2 14 ＝1 B．y2 24 －x2 12 ＝1 C．x2 10 －y2 26 ＝1 D．x2 10 ＋y2 26 ＝1 [规范解答] 方法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项 A，D；又双曲线x2 12 －y2 24 ＝ 1 的焦点在 x 轴上，所以排除选项 B． 方法二：与x2 12 －y2 24 ＝1 共焦点的双曲线系方程为 x2 12＋λ － y2 24－λ ＝1，对比四个选项中的 曲线方程，发现只有选项 C 中的方程符合条件(此时λ＝－2)．故选 C． ┃┃跟踪练习 6__■ 与双曲线x2 64 －y2 36 ＝1 有相同焦点，且过点 10，4 15 3 的双曲线方程为__x2 60 －y2 40 ＝1__. [解析] 设所求双曲线的方程为 x2 64＋λ － y2 36－λ ＝1(－64<λ<36)．将 x＝10，y＝4 15 3 代 入方程，得 100 64＋λ － 80 3 36－λ ＝1，解得λ＝－4 或λ＝308 3 (舍去)．故所求双曲线的方程 为x2 60 －y2 40 ＝1. 易混易错警示 典例 7 已知双曲线 8kx2－ky2＝8 的一个焦点为(0,3)，求 k 的值． [错解] 将双曲线方程化为标准方程 x2 1 k － y2 8 k ＝1.因为焦点在 y 轴上，所以 a2＝8 k ，b2＝1 k ， 所以 c＝ a2－b2＝ 8 k －1 k ＝3，即7 k ＝9，所以 k＝7 9 . [辨析] 上述解法有两处错误：一是 a2、b2 确定错误，应该是 a2＝－8 k ，b2＝－1 k ；二是 a、 b、c 的关系式用错了．在双曲线中应为 c2＝a2＋b2. [正解] 将双曲线方程化为 kx2－k 8 y2＝1，即 x2 1 k － y2 8 k ＝1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点 在 y 轴上，所以 c＝3，a2＝－8 k ，b2＝－1 k ，所以 a2＋b2＝－8 k －1 k ＝－9 k ＝c2＝9.所以 k＝－1. - 96 - 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第 1 课时 2.3.2.1 双曲线的简单几何性质 自主预习·探新知 情景引入 凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的 曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性． 新知导学 1．双曲线的简单几何性质 标准方程 x2 a2－y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点 __F1(－c,0)，F2(c,0)__ __F1(0，－c)，F2(0，c)__ 焦距 __|F1F2|＝2c__ 范围 __x≤－a__或__x≥a__ __y≤－a__或__y≥a__ 对称性 对称轴：__坐标轴__；对称中心：__原点__ 顶点 __A1(－a,0)，A2(a,0)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)__ 轴 实轴：线段__A1A2__，长：__2a__；虚轴：线段__B1B2__，长：__2b__；半实轴 长：__a__，半虚轴长：__b__ 离心率 e＝__c a __∈__(1，＋∞)__ 渐近线 __y＝±b a x__ __y＝±a b x__ 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__. - 97 - 预习自测 1．双曲线x2 4 －y2＝1 的实轴长为( A ) A．4 B．2 C． 3 D．1 [解析] ∵双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的实轴长为 2a，∴双曲线x2 4 －y2＝1 的实轴长为 2a＝4. 2．(2019·浙江卷，2)渐近线方程为 x±y＝0 的双曲线的离心率是( C ) A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 [解析] 由题意可得b a ＝1，∴ e＝ 1＋b2 a2＝ 1＋12＝ 2.故选 C． 3．(2019－2020 学年房山区期末检测)双曲线y2 4 －x2＝1 的渐近线方程为( A ) A．y＝±2x B．y＝± 2x C．y＝±1 2 x D．y＝± 2 2 x [解析] 因为双曲线的标准方程为y2 4 －x2＝1，则它的渐近线方程为：y＝±2x.故选 A． 4．中心在坐标原点，离心率为5 3 的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方程为( B ) A．y＝±4 3 x B．y＝±3 4 x C．y＝±5 4 x D．y＝±4 5 x 5．已知双曲线x2 a2－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a＝__ 3 3 __. [解析] 双曲线x2 a2－y2＝1(a>0)的渐近线方程为 y＝±1 a x， 3x＋y＝0⇒y＝－ 3x，∵a>0， 则－1 a ＝－ 3，a＝ 3 3 . 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 已知双曲线的方程，研究其几何性质 - 98 - 典例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离 心率和渐近线方程，并作出草图． [思路分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出 a、b、c 的值，然后依据各几何量的定 义作答． [规范解答] 将 9y2－4x2＝－36 变形为x2 9 －y2 4 ＝1， 即x2 32－y2 22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝c a ＝ 13 3 ， 渐近线方程 y＝±b a x＝±2 3 x. 作草图如图： 『规律总结』 1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对 应的 a、b，利用 c2＝a2＋b2 求出 c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、 渐近线方程． 2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a、2b 为两邻边的矩形对角线)和 两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图． ┃┃跟踪练习 1__■ 求双曲线x2 3 －y2 4 ＝1 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标． [解析] 由题意知 a2＝3，b2＝4， 所以 c2＝a2＋b2＝3＋4＝7，解得 a＝ 3，b＝2，c＝ 7. 因此，双曲线的实轴长 2a＝2 3，虚轴长 2b＝4. 顶点坐标为(－ 3，0)、( 3，0)， 焦点坐标为(－ 7，0)、( 7，0)． 命题方向❷ 由双曲线的性质求双曲线的方程 典例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，实轴长与虚轴长之比为 2：3，且经过点 P( 6，2)； - 99 - (2)已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为5 3 ，且经过点 M(－3,2 3)； (3)若双曲线的渐近线方程为 2x±3y＝0，且两顶点间的距离是 6. [规范解答] (1)设双曲线方程为y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)．由题意知a b ＝2 3 .又∵双曲线过点 P( 6，2)，∴4 a2－6 b2＝1， 依题意可得 a b ＝2 3 4 a2－6 b2＝1 ，解得 a2＝4 3 b2＝3 . 故所求双曲线方程为 y2 4 3 －x2 3 ＝1. (2)设所求双曲线方程为 x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)． ∵e＝5 3 ，∴e2＝c2 a2＝a2＋b2 a2 ＝1＋b2 a2＝25 9 ， ∴b a ＝4 3 . 由题意得 b a ＝4 3 9 a2－12 b2 ＝1 ，解得 a2＝9 4 b2＝4 . ∴所求的双曲线方程为 x2 9 4 －y2 4 ＝1. (3)设双曲线方程为 4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即 x2 λ 4 － y2 λ 9 ＝1(λ≠0)，由题意得 a＝3. 当λ>0 时，λ 4 ＝9，λ＝36，双曲线方程为x2 9 －y2 4 ＝1； 当λ<0 时，－λ 9 ＝9，λ＝－81，双曲线方程为y2 9 －4x2 81 ＝1. 故所求双曲线方程为x2 9 －y2 4 ＝1 或y2 9 －4x2 81 ＝1. 『规律总结』 1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样 需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式， 此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求 得． - 100 - 2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为 y＝n m x 的双曲线方程可设为： x2 m2－y2 n2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为 Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2 ＝m(m≠0)；与双曲线x2 a2－y2 b2＝1 共渐近线的双曲线方程可设为x2 a2－y2 b2＝λ(λ≠0)． ┃┃跟踪练习 2__■ 已知双曲线过点(4， 3)且渐近线方程为 y＝±1 2 x，则该双曲线的标准方程是__x2 4 －y2＝ 1__. [解析] 设双曲线方程为 y2－1 4 x2＝λ， 代入点(4， 3)，可得 3－1 4 ×16＝λ， ∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是x2 4 －y2＝1. 故答案为x2 4 －y2＝1. 命题方向❸ 双曲线的离心率 典例 3 (2020·福州市八县市协作校期末)已知 F1，F2 是双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0， b>0)的两个焦点，圆(x－c)2＋y2＝4c2 与双曲线 C 位于 x 轴上方的两个交点分别为 M，N，若 F1M ∥F2N，则双曲线 C 的离心率为__3＋ 17 4 __. [思路分析] 连接 NF1，MF2，由双曲线的定义，可得|NF1|＝2a＋c，|MF1|＝2c－2a， 在△MF1F2 和△NF1F2 中，表示出 cos∠MF1F2，cos∠NF2F1，由 F1M∥F2N，可得∠MF1F2＋∠NF2F1 ＝π，即有 cos∠MF1F2＋cos∠NF2F1＝0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值． [规范解答] 如图 连接 NF1，MF2， 由双曲线的定义，可得|MF2|－|MF1|＝2a， |NF1|－|NF2|＝2a， 由|MF2|＝|NF2|＝2c， 可得|NF1|＝2a＋2c，|MF1|＝2c－2a， - 101 - 在等腰△MF1F2 中，可得 cos∠MF1F2＝c－a 2c ， 在△NF1F2 中， 可得 cos∠NF2F1＝4c2＋4c2－ 2c＋2a 2 2·2c·2c ＝c2－2ac－a2 2c2 ， 由 F1M∥F2N，可得∠MF1F2＋∠NF2F1＝π， 即有 cos∠MF1F2＋cos∠NF2F1＝0， 可得c2－2ac－a2 2c2 ＋c－a 2c ＝0， 化为 2c2－3ac－a2＝0， 得 2e2－3e－1＝0，解得 e＝3＋ 17 4 或 e＝3－ 17 4 (舍去)． 『规律总结』 1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于 a、b、c 的等式，利 用 a2＋b2＝c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式，再利用 e＝c a 化为 e 的方程求解． 2．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相等，两条渐 近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、e 的不同． ┃┃跟踪练习 3__■ (2019·全国Ⅰ卷文，10)双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为 130°， 则 C 的离心率为( D ) A．2sin40° B．2cos40° C． 1 sin50° D． 1 cos50° [解析] 由题意可得－b a ＝tan130°， 所以 e＝ 1＋b2 a2＝ 1＋tan2130°＝ 1＋sin2130° cos2130° ＝ 1 |cos130°| ＝ 1 cos50° . 故选 D． 命题方向❹ 最值问题 典例 4 设双曲线中心是坐标原点，实轴在 y 轴上，离心率为 5 2 ，已知点 P(0,5) - 102 - 到这双曲线上的点的最近距离是 2，求双曲线方程． [规范解答] 设双曲线方程为y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)，因为离心率 e＝c a ＝ 5 2 ，所以 a＝2b， 所以所求双曲线方程为y2 4 －x2＝b2. 设 Q(x，y)为双曲线上一点，依题意 |PQ|＝ x2＋ y－5 2＝ 5 4 y－4 2＋5－b2， 其中 y≥2b，若 2b≤4，当 y＝4 时，|PQ|最小＝2. 从而，5－b2＝4，即 b2＝1， 双曲线方程为y2 4 －x2＝1. 若 2b>4，当 y＝2b 时，|PQ|最小＝2，从而5 4 (2b－4)2＋5－b2＝4，所以 b＝7 2 或 b＝3 2 (与 b>2 矛盾)． 所以双曲线方程为y2 49 －4x2 49 ＝1. 故所求双曲线方程为y2 4 －x2＝1 或y2 49 －4x2 49 ＝1. ┃┃跟踪练习 4__■ (2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线 C：x2 4 －y2 2 ＝1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上， O 为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO 的面积为( A ) A．3 2 4 B．3 2 2 C．2 2 D．3 2 [解析] 双曲线x2 4 －y2 2 ＝1 的右焦点坐标为( 6，0)，一条渐近线的方程为 y＝ 2 2 x，不妨 设点 P 在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点 P 的横坐标为 6 2 ，纵坐标为 2 2 × 6 2 ＝ 3 2 ，即△PFO 的底边长为 6，高为 3 2 ，所以它的面积为1 2 × 6× 3 2 ＝3 2 4 .故选 A． 学科核心素养 双曲线离心率取值范围问题 在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通 过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系 求解；④利用解析式的结构特点，如 a， a，|a|等非负性求解． 典例 5 已知双曲线的中心在原点，焦点 x 轴上，它的一条渐近线与 x 轴的夹角 - 103 - 为α，且π 4 <α<π 3 ，则双曲线的离心率的取值范围是( B ) A．(1， 2) B．( 2，2) C．(1,2) D．(2,2 2) [思路分析] 先表示出渐近线方程，利用求得 tanα＝b a ，根据α的范围确定 tanα范围， 进而确定b a 的范围，同时利用 c＝ a2＋b2转化成 a 和 c 的不等式关系求得c a 的范围，即离心率的 范围． [规范解答] ∵双曲线的焦点在 x 轴上，故其渐近线方程为 y＝b a x，则 tanα＝b a . ∵π 4 <α<π 3 ， ∴11，b>1)的焦距为 2c，直线 l 过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到 直线 l 的距离与点(－1,0)到直线 l 的距离之和 s≥4 5 c，则双曲线的离心率 e 的取值范围为 __[ 5 2 ， 5]__. [解析] 直线 l 的方程为x a ＋y b ＝1，即 bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且 a>1， 得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1＝b a－1 a2＋b2 ，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝b a＋1 a2＋b2 ，s＝ d1＋d2＝ 2ab a2＋b2 ＝2ab c .由 s≥4 5 c，得2ab c ≥4 5 c，即 5a c2－a2≥2c2.于是得 5 e2－1≥2e2，即 4e4 - 104 - －25e2＋25≤0.解不等式，得5 4 ≤e2≤5，由于 e>1，所以 e 的取值范围是 5 2 ≤e≤ 5.故填 5 2 ， 5 . 易混易错警示 典例 6 双曲线的渐近线方程为 y＝±3 4 x，则离心率为( C ) A．5 4 B． 5 2 C．5 3 或5 4 D． 5 2 或 15 3 [错解] 由双曲线的渐近线方程为 y＝±3 4 x， 得b a ＝3 4 ， 所以 e＝c a ＝ 1＋b2 a2＝5 4 ，故选 A． [辨析] 错误的根本原因是误以为焦点只能在 x 轴上，造成失解．实际上本题应该有两 种情况． [正解] 当焦点在 x 轴上时b a ＝3 4 ，∴e＝c a ＝ 1＋b2 a2＝5 4 ， 当焦点在 y 轴上时，a b ＝3 4 ，∴e＝c a ＝ 1＋b2 a2＝5 3 ，故选 C． 2.3.2.2 直线与双曲线的位置关系 自主预习·探新知 情景引入 如图所示，某村在 P 处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路 PA 或 PB 送到成矩形的一块田 ABCD 中去，已知 PA＝100 m，PB＝150 m，BC＝60 m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界 线，使位于界线一侧的点沿道路 PA 送肥较近而另一侧的点则沿 PB 送肥较近？如果能，请说 出这条界线是什么曲线，并求出它的方程． - 105 - 新知导学 1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)① 双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±b a 时，直线 l 与双曲线的渐近线__平行__，直线与双曲线 C 相 交于__一点__. (2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±b a 时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有__两个__公共点，此时称直线与双曲线__相交__； Δ＝0⇒直线与双曲线有__一个__公共点，此时称直线与双曲线__相切__； Δ<0⇒直线与双曲线__没有__公共点，此时称直线与双曲线__相离__. 2．弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2__|x1－ x2|__. ＝ 1＋k2 x1＋x2 2－4x1x2 ＝ 1＋1 k2|y1－y2|＝ 1＋1 k2 y1＋y2 2－4y1y2. 预习自测 1．直线 y＝1 3 (x－7 2 )与双曲线x2 9 －y2＝1 交点个数是( B ) A．0 B．1 C．2 D．4 [解析] 直线与渐近线平行， ∴有一个交点． 2．若直线 x＝a 与双曲线x2 4 －y2＝1 有两个交点，则 a 的值可以是( A ) A．4 B．2 - 106 - C．1 D．－2 [解析] 因为在双曲线x2 4 －y2＝1 中，x≥2 或 x≤－2， 所以若 x＝a 与双曲线有两个交点， 则 a>2 或 a<－2，故只有 A 符合题意． 3．(2020·黑龙江省学业水平考试)若直线 l：x－2y＝0 与双曲线 x2－ay2＝4(a＞0)的右 支仅有一个公共点，则 a 的取值范围是( C ) A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(0,4) D．(0,4] [解析] 由双曲线方程为：x2－ay2＝4(a＞0)，可得渐近线方程：x＝± ay， 直线方程为 l：x－2y＝0 且与双曲线的右支仅有一个公共点， 可得： a＜2，解得：0＜a＜4，故选 C． 4．直线 l 与双曲线 x2－4y2＝4 相交于 A、B 两点，若点 P(4,1)为线段 AB 的中点，则直线 l 的方程是__x－y－3＝0__. [解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， ∵x2 1－4y2 1＝4，x2 2－4y2 2＝4， 两式相减可得：(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴8(x1－x2)－8(y1－y2)＝0， ∴kAB＝1， ∴直线的方程为 y－1＝1(x－4)，即 x－y－3＝0. 5．已知 AB 为过双曲线 C 的一个焦点 F 且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线 C 的实轴长 的 2 倍，则双曲线 C 的离心率为__ 3__. [解析] 设 F(c,0)，由 x＝c x2 a2－y2 b2＝1 ，得 y2＝b4 a2， ∴y＝±b2 a ，∴|AB|＝2b2 a ＝4a，∴b2＝2a2， ∴c2－a2＝2a2，∴c2＝3a2， ∴e2＝c2 a2＝3，∴e＝ 3. H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi 命题方向❶ 直线与双曲线的位置关系 典例 1 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数 k 的取值范围． - 107 - (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点． [思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程 组，对方程解的个数进行讨论． [规范解答] x2－y2＝4 y＝k x－1 ，消去 y 得， (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*) (1)当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，直线 l 与双曲线渐近线平行，方程化为 2x＝5，故此方程 (*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点． (2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． ① 4－3k2>0 1－k2≠0 ，即－2 3 3 2 3 3 时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－2 3 3 2 3 3 时， 直线与双曲线没有公共点． 『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法： (1)方程思想的应用 判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去 y(或 x)，则二次项 系数为 0 时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共 点)；二次项系数不等于 0 时，若Δ>0 则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0 有一个公共点， Δ<0 无公共点． (2)数形结合思想的应用 ①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确 定其位置关系． ②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位 置关系． 2．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系 数的关系求解． - 108 - ┃┃跟踪练习 1__■ 过双曲线 x2－y2 2 ＝1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若|AB|＝4，则这样的直 线 l 有( C ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 [解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝ 3，由 x＝ 3 x2－y2 2 ＝1 ，得 y＝±2， ∴|AB|＝|y1－y2|＝4 满足题意．当直线 l 的斜率存在时，其方程为 y＝k(x－ 3)，由 y＝k x－ 3 x2－y2 2 ＝1 ， 得(2－k2)x2＋2 3k2x－3k2－2＝0. 当 2－k2≠0 时，x1＋x2＝2 3k2 k2－2 ，x1x2＝3k2＋2 k2－2 ， |AB|＝ 1＋k2 x1＋x2 2－4x1x2 ＝ 1＋k2 2 3k2 k2－2 2－12k2＋8 k2－2 ＝ 1＋k2 16 k2＋1 k2－2 2 ＝4 1＋k2 |k2－2| ＝4， 解得 k＝± 2 2 ，故这样的直线有 3 条． 命题方向❷ 弦长问题 典例 2 已知双曲线 3x2－y2＝3，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45°，与双曲 线交于 A，B 两点，试问 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长． [规范解答] 因为双曲线的方程可化为 x2－y2 3 ＝1，所以 a＝1，b＝ 3，c＝2，又直线 l 过点 F2(2,0)，且斜率 k＝tan45°＝1， 所以 l 的方程为 y＝x－2，由 y＝x－2， 3x2－y2＝3， 消去 y 并整理得 2x2＋4x－7＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为 x1x2＝－7 2 <0， 所以 A、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． - 109 - 因为 x1＋x2＝－2，x1x2＝－7 2 ， 所以|AB|＝ 1＋12|x1－x2|＝ 2· x1＋x2 2－4x1x2 ＝ 2· －2 2－4× －7 2 ＝6. 『规律总结』 求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公 式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线 l：y＝kx ＋b(k≠0)与双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2|x1 －x2|＝ 1＋1 k2|y1－y2|. 提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况． ┃┃跟踪练习 2__■ 直线 y＝ax＋1 与双曲线 3x2－y2＝1 相交于 A，B 两点． 求线段 AB 的长． [解析] 由 y＝ax＋1， 3x2－y2＝1， 得(3－a2)x2－2ax－2＝0， 由题意可得 3－a2≠0，且Δ>0，即 a2<6 且 a2≠3， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝ 2a 3－a2，x1x2＝ －2 3－a2. |AB|＝ x1－x2 2＋ y1－y2 2 ＝ 1＋a2 [ x1＋x2 2－4x1x2] ＝ 1＋a2 [ 2a 3－a2 2＋ 8 3－a2] ＝2 1＋a2 6－a2 |3－a2| . 命题方向❸ 中点弦问题 典例 3 已知双曲线的方程为 x2－y2 2 ＝1. 试问：是否存在被点 B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在， 请说明理由． [思路分析] 不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两 支上，其所在直线的倾斜角不可能是 90°. [规范解答] 解法一：设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为 y＝k(x－1)＋1，代入 - 110 - 双曲线方程 x2－y2 2 ＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0. ∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<3 2 ，且 x1＋x2＝2k k－1 k2－2 . ∵B(1,1)是弦的中点，∴k k－1 k2－2 ＝1，∴k＝2>3 2 . 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦． 解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2，y2)． 则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且 x2 1－y2 1 2 ＝1， ① x2 2－y2 2 2 ＝1. ② ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－1 2 (y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴kMN＝y1－y2 x1－x2 ＝2，故直线 MN：y－1＝2(x－1)． 由 y－1＝2 x－1 x2－y2 2 ＝1 ，消去 y 得，2x2－4x＋3＝0， Δ＝－8<0. 这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存在． 『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式 求解；(二)可以用点差法和中点坐标公式求解．注意检验． ┃┃跟踪练习 3__■ 过点 P(8,1)的直线与双曲线 x2－4y2＝4 相交于 A、B 两点，且 P 是线段 AB 的中点，则直 线 AB 的方程为__2x－y－15＝0__. [解析] 设 A、B 坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则 x2 1－4y2 1＝4① x2 2－4y2 2＝4② ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∵P 是线段 AB 的中点， ∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2， ∴y1－y2 x1－x2 ＝ x1＋x2 4 y1＋y2 ＝2. ∴直线 AB 的斜率为 2， ∴直线 AB 的方程为 2x－y－15＝0. - 111 - 学科核心素养 与双曲线有关的综合问题 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与向量、三角函数、 不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力． (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标 问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、 根与系数的关系构造相关数量关系求解． 典例 4 直线 l：y＝kx＋1 与双曲线 C：2x2－y2＝1 的右支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由． [规范解答] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得， (k2－2)x2＋2kx＋2＝0① 依 题 意 ， 直 线 l 与 双 曲 线 C 的 右 支 交 于 不 同 的 两 点 ， 故 k2－2≠0 Δ＝ 2k 2－8 k2－2 >0 － 2k k2－2 >0 2 k2－2 >0 ， 解得 k 的取值范围为－20，b>0)． 由题意可知：点(2,3)在双曲线 C 上， 从而有 a2＋b2＝4， 4 a2－9 b2＝1， 解得 a2＝1， b2＝3. 所以双曲线 C 的标准方程为 x2－y2 3 ＝1. (2)由已知得直线 l 的方程为 y＝－x＋1，即 x＋y－1＝0， 所以原点 O 到直线 l 的距离为 d＝|0＋0－1| 12＋12 ＝ 1 2 . 联立 x2－y2 3 ＝1， y＝－x＋1， 消去 y 可得 x2＋x－2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－1，x1x2＝－2， 所以|AB|＝ 1＋k2· x1＋x2 2－4x1x2＝ 1＋12· －1 2－4× －2 ＝3 2， 所以△OAB 的面积 S＝1 2 |AB|·d＝1 2 ×3 2× 1 2 ＝3 2 . 易混易错警示 典例 5 已知双曲线 x2－y2 4 ＝1，过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点， 求直线 l 的斜率 k 的值． [错解] 设 l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5 - 113 - ＝0.由题意，Δ＝(2k－2k2)2－4(4－k2)·(－k2＋2k－5)＝0，所以 k＝5 2 . [辨析] 错因在于忽视了 4－k2＝0，即 l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一个 交点也符合题意．另外没有考虑直线 l 斜率不存在的情况． [正解] 可分两种情况：(1)直线 l 斜率不存在时，l：x＝1 与双曲线相切，符合题意； (2)直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x －k2＋2k－5＝0，当 4－k2＝0 时，k＝±2，即 l 与双曲线的渐近线平行时，l 与双曲线只有一 个公共点；当 4－k2≠0 时，令Δ＝0，所以 k＝5 2 .综上，k＝5 2 或 k＝±2. 2.4.1 抛物线及其标准方程 自主预习·探新知 情景引入 如图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链 AB 固定在三角板的 一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线， 由画图过程你能给出此曲线的定义吗？ 新知导学 1．抛物线定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(定点不在定直线上)__距离相等__的点的轨迹叫做抛 物线，__定点 F__叫做抛物线的焦点，__定直线 l__叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程的几种形式 同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴 的抛物线有四种形式．请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程 图形 焦点 准线 方程 - 114 - __F(p 2 ，0)__ __x＝－p 2 __ __y2＝2px(p>0)__ __F(－p 2 ，0)__ __x＝p 2 __ __y2＝－2px(p>0)__ __F(0，p 2 )__ __y＝－p 2 __ __x2＝2py(p>0)__ __F(0，－p 2 )__ __y＝p 2 __ __x2＝－2py(p>0)__ 3．焦半径 过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的__焦点弦__. 4．通径 通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于 A、B 两点，线段 AB 称为抛物线的 通径，通径|AB|的长等于__2p__. 预习自测 1．抛物线 y＝－4x2 的准线方程为( D ) A．x＝1 B．y＝1 C．x＝ 1 16 D．y＝ 1 16 [解析] 抛物线 y＝－4x2 的方程可化为 x2＝－1 4 y， 可得 p＝1 8 ，∴准线方程为 y＝ 1 16 . 故选 D． 2．(2020·福州市八县(市)协作校期末)y＝2x2 的焦点坐标是( D ) A．(1,0) B．(1 4 ，0) C．(0，1 4 ) D．(0，1 8 ) [解析] ∵由题意知，p＝1 4 ，p 2 ＝1 8 ，∴焦点坐标是(0，1 8 )．故选 D． 3．已知抛物线 y2＝mx 的焦点坐标为(2,0)，则 m 的值为( D ) - 115 - A．1 2 B．2 C．4 D．8 [解析] ∵抛物线 y2＝mx 的焦点坐标为(2,0)， ∴m>0，且 2p＝m. 又p 2 ＝2，∴p＝4，∴m＝8. 4．(2019－2020 学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线 的方程是( B ) A．y2＝8x B．x2＝8y C．x＝8y2 D．y＝8x2 [解析] 由题意，抛物线的顶点在原点，焦点为 F(0,2)，则设抛物线方程为 x2＝2py，p ＞0，所以，p 2 ＝2，即 p＝4，故抛物线方程为：x2＝8y.故选 B． 5．若点 P 在抛物线 y2＝4x 上，点 A(5,3)，F 为抛物线的焦点，则|PA|＋|PF|的最小值为 __6__. [解析] 如图，抛物线 y2＝4x 的准线 l 的方程为 x＝－1，焦点 F(1,0)，过点 A 作 AA′ ⊥l，A′为垂足，AA′与抛物线的交点 P，|PF|＝|PA′|，∴|PF|＋|PA|的最小值为|AA′| ＝6. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 抛物线的焦点及准线 典例 1 设抛物线的方程为 y＝ax2(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程． [规范解答] 抛物线方程 y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1 a y， 当 a>0 时，则 2p＝1 a ，解得 p＝ 1 2a ，p 2 ＝ 1 4a ， ∴焦点坐标是(0， 1 4a )，准线方程是 y＝－ 1 4a . - 116 - 当 a<0 时，则 2p＝－1 a ，p 2 ＝－ 1 4a . ∴焦点坐标是(0， 1 4a )，准线方程是 y＝－ 1 4a ， 综上，焦点坐标是(0， 1 4a )，准线方程是 y＝－ 1 4a . 『规律总结』 求抛物线的焦点及准线方程的步骤： (1)把抛物线解析式化为标准方程形式． (2)明确抛物线开口方向． (3)求出抛物线标准方程中参数 p 的值． (4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程． ┃┃跟踪练习 1__■ 已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( B ) A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) [解析] 由抛物线 y2＝2px(p＞0)得准线 x＝－p 2 ，因为准线经过点(－1,1)，所以 p＝2， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故选 B． 命题方向❷ 抛物线的标准方程 典例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(－1,2)； (2)焦点在直线 x－2y－4＝0 上． [思路分析] 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p，因此只需一 个条件即可． [规范解答] (1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)或 x2＝2py(p>0)， ∵过点(－1,2)，∴4＝－2p·(－1)或(－1)2＝2p·2. ∴p＝2 或 p＝1 4 . 故所求的抛物线方程为 y2＝－4x 或 x2＝1 2 y， 对应的准线方程分别为 x＝1，y＝－1 8 . (2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p 2 ＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程 y2＝16x； - 117 - 当焦点为(0，－2)时，p 2 ＝|－2|， ∴p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y. 故所求的抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y，对应的准线方程分别是 x＝－4，y＝2. 『规律总结』 1.求抛物线标准方程的方法： ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数 p. ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数 p.当焦点位置不确 定时，应分类讨论或设抛物线方程为 y2＝mx 或 x2＝my. 2．已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定 抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图形及开口方向确定． ┃┃跟踪练习 2__■ 根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为 y＝－1； (2)焦点在 x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是 2. [解析] (1)∵抛物线的准线方程为 y＝－1， ∴焦点在 y 轴正半轴上，且p 2 ＝1，∴p＝2， ∴抛物线的方程为 x2＝4y. (2)∵焦点到准线距离为 2，∴p＝2. 又∵焦点在 x 轴正半轴上，∴抛物线方程为 y2＝4x. 命题方向❸ 抛物线定义的应用 典例 3 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，抛物线上的点 M(3， m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值． [思路分析] 解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点 M 在抛物线上和点 M 到焦点的距离等于 5，列出关于 m、p 的方程组求解；其二利用抛物线的定义，得点 M 到准线 的距离为 5，直接得 p 的关系式，求出 p 值． [规范解答] 解法一：设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，则焦点 F(p 2 ，0)， 由题设可得 m2＝6p m2＋ 3－p 2 2＝5 ， 解之得 p＝4 m＝2 6 ，或 p＝4 m＝－2 6 . 故所求的抛物线方程为 y2＝8x，m 的值为±2 6. 解法二：设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，焦点 F(p 2 ，0)，准线方程 x＝－p 2 ，根据抛物线 - 118 - 定义，点 M 到焦点的距离等于 M 到准线的距离，则 3＋p 2 ＝5，∴p＝4. 因此抛物线方程为 y2＝8x. 又点 M(3，m)在抛物线上，于是 m2＝24，∴m＝±2 6. 『规律总结』 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距 离，这一相互转化关系会给解题带来方便．要注意灵活运用定义解题． ┃┃跟踪练习 3__■ (1)已知抛物线 y2＝4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|＝4，则点 M 的横坐标 x ＝__3__； (2)(湖南浏阳一中醴陵一中 2018 年高二联考)已知抛物线 y2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距 离为 5，则△PFO 的面积为__2__. [解析] (1)抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线为 x＝－1. 根据抛物线的定义，点 M 到准线的距离为 4， 则点 M 的横坐标为 3. (2)由题意得 xp＝5－1＝4⇒yp＝±4，因此△PFO 的面积为1 2 ×4×1＝2. 学科核心素养 抛物线的实际应用 (1)在实际应用问题中，有很多问题与抛物线有关．①抛物线在建筑工程中很有用途，如 拱桥就是抛物线形．②探照灯或手电筒的反射镜的轴截面也是抛物线的一部分．此外，还有 宇宙中的星体轨道等． (2)要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法，建立抛物线方程，利用抛 物线的标准方程进行推理、运算． 典例 4 如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O′P＝1 m，水从喷头 P 喷 出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面 2 m，P 距抛物线的对称轴 1 m， 则水池的直径至少应设计多少米？(精确到 1 m) 图(1) [思路分析] 图(2)是图(1)中位于直线 O′P 右边的部分，故 O′B 为水池的半径，以抛 物线的顶点为原点，对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，则易得 P 点坐标，再由 P 在抛物线 上求出抛物线方程，再由 B 点纵坐标求出 B 点的横坐标即可获解． [规范解答] 如图(2)所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)． 依题意有 P(－1，－1)在此抛物线上，代入得 p＝1 2 . - 119 - 故抛物线方程为 x2＝－y. 图(2) 又 B 在抛物线上，将 B(x，－2)代入抛物线方程得 x＝ 2，即|AB|＝ 2，则|O′B|＝|O′A| ＋|AB|＝ 2＋1， 因此所求水池的直径为 2(1＋ 2)m，约为 5 m， 即水池的直径至少应设计为 5 m. 『规律总结』 抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化 为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论． ┃┃跟踪练习 4__■ 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m，一小船宽 4 m，高 2 m， 载货后船露出水面上的部分高 0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船 开始不能通航？ [思路分析] 建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解． [解析] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点， 以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，由题意可知点 B(4，－5)在抛物线上， 故 p＝8 5 ，得 x2＝－16 5 y. 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航， 设此时船面宽为 AA′，则 A(2，yA)， 由 22＝－16 5 yA，得 yA＝－5 4 . 又知船面露出水面上的部分高为 0.75 m， 所以 h＝|yA|＋0.75＝2(m)． 所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距 2 m 时，小船开始不能通航． 易混易错警示 典例 5 设抛物线 y2＝mx 的准线与直线 x＝1 的距离为 3，求抛物线的方程． - 120 - [错解] 准线方程为 x＝－m 4 ， 因为准线与直线 x＝1 的距离为 3， 所以准线方程为 x＝－2，所以－m 4 ＝－2，所以 m＝8， 故抛物线方程为 y2＝8x. [辨析] 题目条件中未给出 m 的符号，当 m>0 或 m<0 时，抛物线的准线是不同，错解考 虑问题欠周到． [正解] 当 m>0 时，准线方程为 x＝－m 4 ，由条件知 1－ －m 4 ＝3，所以 m＝8. 此时抛物线方程为 y2＝8x； 当 m<0 时，准线方程为 x＝－m 4 ，由条件知－m 4 －1＝3，所以 m＝－16，此时抛物线方程为 y2＝－16x. 所以所求抛物线方程为 y2＝8x 或 y2＝－16x. 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第 1 课时 2.4.2.1 抛物线的简单几何性质 自主预习·探新知 情景引入 大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与椭圆、双曲线 有哪些相似的性质吗？ 新知导学 1．抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) - 121 - 图形 性 质 范围 __x≥0，y∈R__ __x≤0，y∈R__ __x∈R，y≥0__ __x∈R，y≤0__ 对称轴 __x__轴 __y__轴 顶点 __(0,0)__ __(0,0)__ __(0,0)__ __(0,0)__ 焦点 __F(p 2 ，0)__ __F(－p 2 ，0)__ __F(0，p 2 )__ __F(0，－p 2 )__ 准线 __x＝－p 2 __ __x＝p 2 __ __y＝－p 2 __ __y＝p 2 __ 离心率 e＝__1__ 2．通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__. 3．焦半径 抛物线上一点与焦点 F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点 A(x0，y0)，则四种标 准方程形式下的焦半径公式为 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径 |AF| |AF|＝__x0＋p 2 __ |AF|＝__p 2 －x0__ |AF|＝__y0＋p 2 __ |AF|＝__p 2 －y0__ 4．焦点弦问题 如图所示：AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 的 中点 M(x0，y0)，抛物线的准线为 l. (1)以 AB 为直径的圆必与准线 l__相切__； (2)|AB|＝2(x0＋p 2 )＝x1＋x2＋__p__； (3)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1·x2＝__p2 4 __，y1·y2＝__－p2__. 预习自测 1．抛物线 y＝－3x2 的准线方程是( C ) - 122 - A．y＝3 4 B．y＝－3 4 C．y＝ 1 12 D．y＝－ 1 12 [解析] 由抛物线 y＝－3x2 得 x2＝－1 3 y，∴p 2 ＝ 1 12 .可得准线方程为 y＝ 1 12 .故选 C． 2．抛物线 x2＝1 2 y 的焦点到准线的距离是( D ) A．1 B．2 C．1 2 D．1 4 [解析] 因为抛物线的方程为 x2＝1 2 y，即 2p＝1 2 ，所以 p＝1 4 ， 因此焦点到准线的距离是1 4 . 故选 D． 3．已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( C ) A．3 4 B．1 C．5 4 D．7 4 [解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝x1＋1 4 ＋x2＋1 4 ， 因为|AF|＋|BF|＝3，所以 x1＋1 4 ＋x2＋1 4 ＝3，所以 x1＋x2＝5 2 ，即线段 AB 的中点的横坐标 为5 4 ，从而线段 AB 的中点到 y 轴的距离为5 4 ，故选 C． 4．过抛物线 y2＝8x 的焦点，作倾斜角为 45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( B ) A．8 B．16 C．32 D．61 [解析] 由抛物线 y2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 y＝x－2. 代入 y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即 x2－12x＋4＝0. ∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16. 5．顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6 的抛物线方程是__y2＝24x 或 y2＝－24x__. [解析] ∵顶点与焦点距离为 6， 即p 2 ＝6，∴2p＝24， - 123 - 又∵对称轴为 x 轴， ∴抛物线方程为 y2＝24x 或 y2＝－24x. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 抛物线焦点弦的性质 典例 1 斜率为 2 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点 A、B， 求线段 AB 的长． [规范解答] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点 F(1,0)，准线方程 x＝－1. 由题设，直线 AB 的方程为：y＝2x－2. 代入抛物线方程 y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0. 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点 A 到准线 x＝－1 的距离|AA′|， 即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 『规律总结』 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定 义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． ┃┃跟踪练习 1__■ 过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，那 么|AB|的值为( B ) A．6 B．8 C．9 D．10 [解析] 由题意，p＝2，故抛物线的准线方程是 x＝－1，∵过抛物线 y2＝4x 的焦点作直 线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， ∴|AB|＝x1＋x2＋2，又 x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选 B． 抛物线的对称性 命题方向❷ 典例 2 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2＝2px(p>0) 上，求这个正三角形的边长． [规范解答] 如图，设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1) - 124 - 和(x2，y2)则：y2 1＝2px1，y2 2＝2px2. 又|OA|＝|OB|，∴x2 1＋y2 1＝x2 2＋y2 2， 即 x2 1－x2 2＋2px1－2px2＝0， ∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称． 由于 AB 垂直于 x 轴，且∠AOx＝30°. ∴y1 x1 ＝tan30°＝ 3 3 ，而 y2 1＝2px1，∴ y1＝2 3p. 于是|AB|＝2y1＝4 3p. 『规律总结』 1.为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物 线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论． 2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但 抛物线却越来越接近于对称轴的平行线． ┃┃跟踪练习 2__■ 等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y2＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO 的面积 是( B ) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 [解析] 由抛物线的对称性质及 OA⊥OB 知，直线 OA 的方程为 y＝x， 由 y＝x y2＝2px ，解得 A(2p,2p)，则 B(2p，－2p)， ∴|AB|＝4p，∴S△ABO＝1 2 ·4p·2p＝4p2. 学科核心素养 最值问题 求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直 线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到 焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方 程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决． - 125 - 典例 3 设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点． (1)求点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值； (2)若 B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x＝－1，由抛物线的定义 知：点 P 到直线 x＝－1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一 点 P，使点 P 到点 A(－1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小．显然，连 AF 交抛物线于 P 点，故最小值为 22＋12，即 5. (2)如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中，得 y＝± 12，因为 12>2，所以 B 在抛物线内部， 自 B 作 BQ 垂直准线于 Q，交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|. 那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4. 即最小值为 4. 『规律总结』 在求最值时注意抛物线定义的应用． ┃┃跟踪练习 3__■ 定点 M 3，10 3 与抛物线 y2＝2x 上的点 P 之间的距离为 d1，P 到抛物线准线 l 的距离为 d2， 则 d1＋d2 取最小值时，P 点坐标为( C ) A．(0,0) B．(1， 2) C．(2,2) D． 1 8 ，－1 2 [解析] 如下图． 连接 PF，则 d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知 d1＋d2 最小值是|MF|，当且仅当点 P 在线段 - 126 - MF 上时，等号成立，而直线 MF 的方程为 y＝4 3 x－1 2 ，与 y2＝2x，联立求得 x＝2，y＝2 或 x ＝1 8 ，y＝－1 2 (舍去)，所以，P 点坐标为(2,2)． 易混易错警示 典例 4 顶点在原点，焦点在 x 轴上且通径长为 6 的抛物线的标准方程为____y2 ＝±6x. [错解] 由题意知，抛物线的焦点在 x 轴上， 故可设其方程为 y2＝2px(p>0)， 又因为通径长为 6，故 2p＝6， 故方程为 y2＝6x. [辨析] 错解中只考虑了焦点在 x 轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在 x 轴的 负半轴上的情况，故出现漏解． [正解] 由题意，抛物线的焦点在 x 轴上， 故设方程为 y2＝2px(p≠0)， ∵通径长为 6， ∴|2p|＝6，∴p＝±3.∴抛物线方程 y2＝±6x. 2.4.2.2 直线与抛物线的位置关系 自主预习·探新知 情景引入 一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节， 就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？ 提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对 称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线， 经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设 计的． 新知导学 - 127 - 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线公共点的个数可以有__0 个、1 个或 2 个__. 将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线__ 相切__，若Δ>0，则直线与抛物线__相交__，若Δ<0，则直线与抛物线__没有公共点__.特别 地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有__一__个公共点． 预习自测 1．在抛物线 y2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( C ) A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0 C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0 [解析] 设弦两端点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 y1＋y2＝－2. ∵A、B 在抛物线上，∴y2 1＝8x1，y2 2＝8x2， 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)， ∴y1－y2 x1－x2 ＝－4， ∴直线 AB 方程为 y＋1＝－4(x－1)， 即 4x＋y－3＝0. 2．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若点 A、B 在抛物线准线上的射影 分别为 A1，B1，则∠A1FB1 为( C ) A．45° B．60° C．90° D．120° [解析] 设抛物线方为 y2＝2px(p>0)． 如图，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∴∠AA1F＝∠AFA1， ∠BFB1＝∠FB1B. 又 AA1∥Ox∥B1B， ∴∠A1FO＝∠FA1A， ∠B1FO＝∠FB1B， ∴∠A1FB1＝1 2 ∠AFB＝90°. 3．直线 y＝x＋1 与抛物线 y2＝2px 相交，所得弦长为 2 6，则此抛物线方程为( C ) - 128 - A．y2＝2x B．y2＝6x C．y2＝－2x 或 y2＝6x D．以上都不对 [解析] 把 x＝y－1 代入 y2＝2px 得 y2－2py＋2p＝0， ∴y1＋y2＝2p，y1y2＝2p，k＝1， 由弦长 1＋1 k2· y1＋y2 2－4y1y2＝2 6， 可解得 p＝－1 或 3. ∴抛物线方程为 y2＝－2x 或 y2＝6x.故选 C． 4．(2019·黑龙江省学业水平考试)直线 l 过抛物线 C：y2＝2x 的焦点 F，且与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)若|BF|＝2，则|AF|＝( B ) A．2 5 B．2 3 C．12 5 D． 8 3 [解析] 可得抛物线 C：y2＝2x 的焦点 F(1 2 ，0)，准线方程为：x＝－1 2 ， 由抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，故点 B 在第四象限， 设 B(x1，y1)，(x1＞0，y1＜0)， 由|BF|＝2，由抛物线定义可得： x1＋1 2 ＝2，x1＝3 2 ，代入抛物线方程可得： y1＝－ 3，故 B(3 2 ，－ 3)， 设 AB 的直线方程为： y－0 － 3－0 ＝ x－1 2 3 2 －1 2 ， 化简可得：y＝－ 3x＋ 3 2 ， 联立直线与抛物线： y＝－ 3x＋ 3 2 y2＝2x ， 可得 3x2－5x＋3 4 ＝0， 解得：x＝3 2 或 x＝1 6 ，故 A 点的横坐标为 1 6 ， |AF|＝1 6 ＋1 2 ＝2 3 ，故选 B． 5．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线为 l，过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于 A， - 129 - 与 C 的一个交点为 B，若 A M→＝M B→，则 p＝__2__. [解析] 本题考查了抛物线与直线的位置关系． 如图，由斜率为 3，∠BMx＝60°，可得 BP＝1 2 AB， 又AM→＝MB→，∴M 为中点． ∴BP＝BM，∴M 为焦点， 即p 2 ＝1，∴p＝2. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 直线与抛物线的位置关系 典例 1 已知抛物线 C：y2＝－2x，过点 P(1,1)的直线 l 斜率为 k，当 k 取何值时， l 与 C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？ [思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的 个数，由判别式可讨论之． [规范解答] 直线 l：y－1＝k(x－1)，将 x＝－y2 2 代入整理得，ky2＋2y＋2k－2＝0. (1)k＝0 时，把 y＝1 代入 y2＝－2x 得，x＝－1 2 ，直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点(－1 2 ， 1)． (2)k≠0 时，Δ＝4－4k(2k－2)＝－8k2＋8k＋4. 由Δ＝0 得，k＝1± 3 2 ， ∴当 k<1－ 3 2 或 k>1＋ 3 2 时，Δ<0，l 与 C 无公共点． 当 k＝1± 3 2 时，Δ＝0，l 与 C 有且只有一个公共点． - 130 - 当1－ 3 2 0，l 与 C 有两个公共点． 综上知，k<1－ 3 2 或 k>1＋ 3 2 时，l 与 C 无公共点； k＝1± 3 2 或 k＝0 时，l 与 C 只有一个公共点； 1－ 3 2 0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0， ①若 a≠0， 当Δ>0 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0 时，直线与抛物线相离，无交点． ②若 a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合， 因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． ┃┃跟踪练习 1__■ 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 且倾斜角为π 4 的直线与抛物线交于 A，B 两点，则|FA|·|FB| 的值为__8__. [解析] 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 且倾斜角为π 4 的直线方程为 y＝x－1， 联立 y＝x－1， y2＝4x 得 x2－6x＋1＝0， Δ＝36－4＝32>0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则 x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)， |FA|·|FB|＝ x1－1 2＋y2 1· x2－1 2＋y2 2， ＝ x2 1－2x1＋1＋4x1· x2 2－2x2＋1＋4x2 ＝ x1＋1 2· x2＋1 2 ＝(x1＋1)(x2＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 ＝1＋6＋1＝8. 命题方向❷ 与抛物线有关的中点弦问题 典例 2 已知 A、B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为(1,0)，线段 AB 恰被 M(2,1)所平分． - 131 - (1)求抛物线 E 的方程； (2)求直线 AB 的方程． [规范解答] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以p 2 ＝1，p＝2， 所求抛物线方程为 y2＝4x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y2 1＝4x1 ①，y2 2＝4x2 ②， 且 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以y2－y1 x2－x1 ＝2， 所以所求直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－2)，即 2x－y－3＝0. 『规律总结』 “中点弦”问题的两种解题策略 (1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由 k＝y1－y2 x1－x2 求斜率，再由点斜式 求解． (2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去 x(或 y)得关于 y(或 x)的一元二 次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的 2 倍，从而求斜率． ┃┃跟踪练习 2__■ 若本例中条件“线段 AB 恰被 M(2,1)所平分”改为“线段 AB 恰被 M(1,1)所平分”，问这 样的直线 AB 是否存在？若存在，求出直线 AB 的方程，若不存在，说明理由． [解析] 存在． 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y2 1＝4x1 ① y2 2＝4x2 ② 且 y1＋y2＝2， ②－①得 y2 2－y2 1＝4(x2－x1) ∴y2－y1 x2－x1 ＝2， ∴直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－1) 即 2x－y－1＝0. 命题方向❸ 抛物线性质的综合应用 典例 3 已知点 A、B 是抛物线 y2＝2px(p>0)上的两点，且 OA⊥OB. (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线 AB 过定点． [规范解答] (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y2 1＝2px1，y2 2＝2px2，∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0. ∴y2 1y2 2＝4p2x1x2＝－4p2y1y2 - 132 - ∴y1y2＝－4p2 ∴x1x2＝4p2 (2)证明：y2 1＝2px1 ① y2 2＝2px2 ② ②－①得 y2 2－y2 1＝2p(x2－x1) ∴y2－y1 x2－x1 ＝ 2p y1＋y2 ∴直线 AB 的斜率为 2p y1＋y2 ∴直线 AB 的方程为 y－y1＝ 2p y1＋y2 (x－x1) 即 y＝ 2p y1＋y2 x＋ y1y2 y1＋y2 也就是 y＝ 2p y1＋y2 (x－2p) ∴直线 AB 过定点(2p,0 )． 『规律总结』 应用抛物线性质解题的常用技巧 1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便． 2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称 轴所在直线斜率的关系． 3．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很 多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． 4．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运 算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值． ┃┃跟踪练习 3__■ (2019－2020 学年辽宁葫芦岛协作校考试)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准 线方程是 x＝－2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 F 且倾斜角为π 4 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，求|AB|； (3)设点 M 在抛物线 C 上，且|MF|＝6，求△OFM 的面积(O 为坐标原点)． [解析] (1)因为抛物线 C 的准线方程是 x＝－2，所以p 2 ＝2，即 p＝4， 故抛物线 C 的方程为 y2＝8x. (2)因为直线 l 过点 F，且倾斜角为π 4 ，所以直线 l 的方程是 y＝x－2， 联立 y2＝8x y＝x－2 ，整理得 x2－12x＋4＝0， - 133 - 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝12， 故|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16. (3)设 M(x0，y0)，因为|MF|＝6，所以 x0＋p 2 ＝6，所以 x0＝4， 将(4，y0)代入方程 y2＝8x，解得 y0＝±4 2，则△OFM 的面积为 1 2 |OF||y0|＝1 2 ×2×4 2＝4 2. 学科核心素养 与抛物线有关的最值问题的再探究 (1)具备定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题来处理． (2)最值问题常用方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如 利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解． 典例 4 已知点 F(1,0)，点 P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l：x＝－1 的垂线， 垂足为 Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设点 P 的轨迹 C 与 x 轴交于点 M，点 A，B 是轨迹 C 上异于点 M 的不同的两点，且满足 MA→·AB→＝0，求|MB→|的取值范围． [规范解答] (1)设 P(x，y)，则 Q(－1，y)， ∵QP→·QF→＝FP→·FQ→，F(1,0)， ∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， ∴2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2， 即 y2＝4x， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝4x. (2)由(1)知，M(0,0)，设 A(y2 1 4 ，y1)，B(y2 2 4 ，y2)， 则MA→＝(y2 1 4 ，y1)，AB→＝(y2 2－y2 1 4 ，y2－y1)， ∵MA→·AB→＝0， ∴y2 1 y2 2－y2 1 16 ＋y1(y2－y1)＝0， 又 y1≠y2，y1≠0， ∴y2＝－(y1＋16 y1 )， ∴y2 2＝y2 1＋256 y2 1 ＋32≥2 256＋32＝64， - 134 - 当且仅当 y2 1＝256 y2 1 ，即 y1＝±4 时取等号． 又|MB→|＝ y2 2 4 2＋y2 2＝1 4 y2 2＋8 2－64(y2 2≥64)， ∴当 y2 2＝64，即 y2＝±8 时，|MB→|min＝8 5， 故|MB→|的取值范围是[8 5，＋∞)． 『规律总结』 常见题型及处理方法： (1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距 离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距 离问题． (2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再 利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． (3)方法：设 P(x0，y0)是抛物线 y2＝2px(p>0)上一点，则 x0＝y2 0 2p ，即 P(y2 0 2p ，y0)．由两点 间距离公式，点到直线的距离公式表示出所求距离，再用函数求最值的方法求解． (4)此类问题应注意抛物线几何性质的应用，尤其范围的应用．如：y2＝2px(p>0)，则 x≥0， y2≥0. ┃┃跟踪练习 4__■ 已知点 A(2,0)、B(4,0)，动点 P 在抛物线 y2＝－4x 上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点 P 的坐标是__(0,0)__. [ 解 析 ] 设 P －y2 4 ，y ， 则 AP→ ＝ －y2 4 －2，y ， BP→ ＝ －y2 4 －4，y ， AP→ · BP→ ＝ －y2 4 －2 －y2 4 －4 ＋y2＝y4 16 ＋5 2 y2＋8≥8，当且仅当 y＝0 时取等号，此时点 P 的坐标为(0,0)． 易混易错警示 典例 5 求过点 P(0,1)且与抛物线 y2＝2x 只有一个公共点的直线方程． [错解] 设直线方程为 y＝kx＋1， 由方程组 y＝kx＋1 y2＝2x ，消去 y 得，k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 由直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，所以 k＝1 2 ，所以所求直线的 方程为 y＝1 2 x＋1. [辨析] 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜 率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一 - 135 - 次方程的解也符合题意． [正解] (1)若直线斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为 x＝0，由 x＝0 y2＝2x ，得 x＝0 y＝0 .即直线 x＝0 与抛物线只有一个公共点． (2)若直线的斜率存在，设为 k，则过点 P(0,1)的直线方程为 y＝kx＋1，由方程组 y＝kx＋1， y2＝2x. 消去 y，得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 当 k＝0 时，得 x＝1 2 . y＝1. 即直线 y＝1 与抛物线只有一个公共点； 当 k≠0 时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，所以 k＝1 2 ，直线 方程为 y＝1 2 x＋1.综上所述，所求直线方程为 x＝0 或 y＝1 或 y＝1 2 x＋1. 第 2 章 章末整合提升 网络构建·理脉落 知识整合·悟素养 1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝 对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不 经过点 F)距离相等的 点的轨迹 - 136 - 标准 方程 x2 a2＋y2 b2＝1 或y2 a2＋x2 b2＝ 1(a>b>0) x2 a2－y2 b2＝1 或y2 a2－x2 b2＝ 1(a>0，b>0) y2＝2px 或 y2＝－2px 或 x2＝2py 或 x2＝－ 2py(p>0) 关系 式 a2－b2＝c2 a2＋b2＝c2 图形 封闭图形 无限延展，但有渐近 线 y＝±b a x 或 y＝ ±a b x 无限延展，没有渐近 线 变量 范围 |x|≤a，|y|≤b 或 |y|≤a，|x|≤b |x|≥a 或|y|≥a x≥0 或 x≤0 或 y≥0 或 y≤0 对称 性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 e＝c a ，且 01 e＝1 决定形状的因素 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小 2．椭圆的焦点三角形 设 P 为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上任意一点(不在 x 轴上)，F1，F2 为焦点且∠F1PF2＝α，则 △PF1F2 为焦点三角形(如图)． (1)焦点三角形的面积 S＝b2tanα 2 . (2)焦点三角形的周长 L＝2a＋2c. 3．双曲线及渐近线的设法技巧 (1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为x2 a2－y2 b2＝0(a>0， b>0)，即 y＝±b a x；双曲线y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y2 a2－x2 b2＝0(a>0，b>0)，即 y＝ ±a b x. - 137 - (2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0 时，它的双曲线方程可设为x2 a2－y2 b2＝λ(λ≠0)． 4．共轭双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线． (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距． (3)与x2 a2－y2 b2＝1 具有相同渐近线的双曲线系方程为x2 a2－y2 b2＝k(k≠0)． 5．抛物线方程的设法 对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可 设为 y2＝ax(a≠0)或 x2＝ay(a≠0)． 6．抛物线的焦点弦问题 抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论． (1)y2＝2px(p>0)中，|AB|＝x1＋x2＋p (2)y2＝－2px(p>0)中，|AB|＝－x1－x2＋p. (3)x2＝2py(p>0)中，|AB|＝y1＋y2＋p. (4)x2＝－2py(p>0)中，|AB|＝－y1－y2＋p. 7．注意问题 (1)椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a 中，应用 2a>|F1F2|，双曲线定义||PF1|－|PF2||＝2a 中， 应有 2a<|F1F2|，抛物线定义中，定点 F 不在定直线 l 上． (2)椭圆中几何量 a，b，c 满足 a2＝b2＋c2，双曲线中几何量 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2. (3)椭圆离心率 e∈(0,1)，双曲线离心率 e∈(1，＋∞)，抛物线离心率 e＝1. (4)求圆锥曲线的标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式． (5)由标准方程判断椭圆、双曲线的焦点位置时，椭圆看分母的大小，双曲线看 x2，y2 系 数的符号． (6)双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±b a x；双曲线y2 a2－x2 b2＝1(a>0，b>0)的 渐近线方程为 y＝±a b x. (7)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双 曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行． 专题突破·启智能 专题 圆锥曲线定义的应用 椭圆、双曲线、抛物线是三种重要的圆锥曲线，其上动点 M 分别满足以下条件：(1)椭圆： |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2a(2a>|F1F2|) ， 其 中 F1 、 F2 为 定 点 ； (2) 双 曲 线 ： ||MF1| － |MF2|| ＝ 2a(0<2a<|F1F2|)，其中 F1、F2 为定点；(3)抛物线：|MF|＝d(d 为 M 到定直线 l 的距离，F 为 l 外一定点)．凡涉及圆锥曲线上点与焦点的距离问题，一般从定义入手． - 138 - 典例 1 (1)(2019·浙江卷，15)已知椭圆x2 9 ＋y2 5 ＝1 的左焦点为 F，点 P 在椭圆上 且在 x 轴的上方．若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线 PF 的斜 率是__ 15__. (2)设 F1、F2 分别为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A1、A2 分别为这个双曲线的 左、右顶点，P 为双曲线右支上的任一点，求证：以 A1A2 为直径的圆既与以 PF2 为直径的圆外 切，又与以 PF1 为直径的圆内切． [思路分析] (2)设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点，只要证明|OM|＝a＋1 2 |PF2|，并且|ON| ＝1 2 |PF1|－a.因为点 P 在双曲线的右支上，F1、F2 是双曲线的两个焦点，具备了运用定义解题 的条件，故应从双曲线的定义入手去探索证明的途径． [解析] (1)如图，左焦点 F(－2,0)，右焦点 F′(2,0)． 线段 PF 的中点 M 在以 O(0,0)为圆心，2 为半径的圆上，因此 OM＝2. 在△FF′P 中，OM 1 2 PF′， 所以|PF′|＝4. 根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6， 所以|PF|＝2. 又因为|FF′|＝4， 所以在 Rt△MFF′中， tan∠PFF′＝|MF′| |MF| ＝ |FF′|2－|MF|2 |MF| ＝ 15， 即直线 PF 的斜率是 15. (2)如图易知以 A1A2 为直径的圆的圆心为 O，半径为 a，令 M、N 分别是 PF2、PF1 的中点， 由三角形中位线的性质得，|OM|＝1 2 |PF1|，又根据双曲线的定义得，|PF1|＝2a＋|PF2|， - 139 - 从而有|OM|＝1 2 (2a＋|PF2|)＝a＋1 2 |PF2|. ∴两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以 A1A2 为直径的圆与以 PF2 为直径的圆外切． 同理，运用双曲线的定义得， |ON|＝1 2 |PF2|＝1 2 (|PF1|－2a)＝1 2 |PF1|－a. ∴两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以 A1A2 为直径的圆与以 PF1 为直径的圆内切． 专题 圆锥曲线的标准方程 高考往往在选择题或填空题中结合圆锥曲线的几何性质求圆锥曲线方程，在解答题中根 据给出的条件建立圆锥曲线的方程，圆锥曲线的标准方程是高考中解析几何的必考内容． 典例 2 (1)焦点为(0，±3)，且与双曲线x2 2 －y2＝1 有相同的渐近线的双曲线方 程是( B ) A．x2 3 －y2 6 ＝1 B．y2 3 －x2 6 ＝1 C．y2 6 －x2 3 ＝1 D．x2 6 －y2 3 ＝1 (2)若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆x2 9 ＋y2 5 ＝1 的右焦点重合，则该抛物线的标准方程 为 y2＝8x__. [思路分析] (1)先由双曲线x2 2 －y2＝1 求出渐近线方程，再由 c＝3 得出所求双曲线方程． (2)先求出椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，即得所求． [解析] (1)双曲线x2 2 －y2＝1 中，a2＝2，b2＝1，所以渐近线方程为 y＝± 1 2 x，所以所求 双曲线的方程中a b ＝ 1 2 ，c＝3，a2＋b2＝c2，所以 a2＝3，b2＝6，则双曲线方程为y2 3 －x2 6 ＝1，故 选 B． (2)因为 c2＝9－5＝4，所以 c＝2，椭圆x2 9 ＋y2 5 ＝1 的右焦点为(2,0)，所以p 2 ＝2，得 p＝4， 故抛物线的标准方程为 y2＝8x. 『规律总结』 (1)在已知圆锥曲线的类型时，求圆锥曲线方程的关键是根据已知的几何 条件或者代数条件，列出方程或者方程组，求出圆锥曲线的方程中的系数(待定系数法)．(2) 当动点随另一个在已知曲线上运动的点而变化时，建立两个动点坐标之间的关系，代入已知 曲线方程得出圆锥曲线方程(代入法)． 专题 圆锥曲线的几何性质 1．圆锥曲线的主要性质有：范围、对称性、焦点、顶点、离心率，另外椭圆还包括长短 轴，双曲线还包括实虚轴，渐近线，抛物线还包括准线． - 140 - 2．求离心率的主要方法有： (1)定义法：利用平方关系以及 e＝c a ，知道 a，b，c 中任意两个求 e； (2)方程法：建立 a 与 c 的齐次关系式，求离心率 e； (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲 线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系．通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题 更形象、直观． 典例 3 (1)若椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，则双曲线x2 a2－y2 b2＝1 的渐近线 方程为( A ) A．y＝±1 2 x B．y＝±2x C．y＝±4x D．y＝±1 4 x (2)(2017·天津理，5)已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经 过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B ) A．x2 4 －y2 4 ＝1 B．x2 8 －y2 8 ＝1 C．x2 4 －y2 8 ＝1 D．x2 8 －y2 4 ＝1 [思路分析] 由离心率为 2得c a ＝ 2，则 F，P 两点写出直线 PF 的两点式方程，结合直线 平行的性质可得 a，b，c 间的关系式，又双曲线中 a2＋b2＝c2，联立三式可解． [解析] (1)由椭圆的离心率 e＝c a ＝ 3 2 ，可知c2 a2＝a2－b2 a2 ＝3 4 ，∴b a ＝1 2 ，故双曲线的渐近线 方程为 y＝±1 2 x，选 A． (2)由题意可得c a ＝ 2，即 c＝ 2a. 又左焦点 F(－c,0)，P(0,4)． 则直线 PF 的方程为y－0 4－0 ＝x＋c 0＋c ， - 141 - 化简即得 y＝4 c x＋4. 结合已知条件和图形易知直线 PF 与 y＝b a x 平行， 则4 c ＝b a ，即 4a＝bc. 故 c＝ 2a， 4a＝bc， a2＋b2＝c2， 解得 a2＝8， b2＝8， 故双曲线方程为x2 8 －y2 8 ＝1. 故选 B． 专题 直线与圆锥曲线的关系 高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线参与， 这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如直线与 圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值， 动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考考查的重点内容． 典例 4 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)经过点(1， 2 2 )，且两焦点与短轴的一个 端点构成等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为－1 2 的直线分别交椭圆于 M、N 两点，试问：直线 MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由． [思路分析] (1)由条件建立关于 a，b 的方程求解． (2)设出 MN 的方程 y＝kx＋m，与椭圆方程联立，找出 M，N 坐标间的关系，再由 kMA·kNA ＝－1 2 ，求出 k 与 m 的关系，从而判断直线 MN 是否过定点． [解析] (1)根据题意得 b＝c， 1 a2＋ 1 2b2＝1， a2＝b2＋c2 ⇒ a2＝2， b2＝1 . 所以椭圆的方程为x2 2 ＋y2＝1. (2)当 MN 的斜率存在时，设 MN 的方程为 y＝kx＋m， 由 y＝kx＋m， x2＋2y2＝2， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， - 142 - 则 Δ＝8 2k2－m2＋1 >0， x1＋x2＝－ 4km 1＋2k2， x1x2＝2m2－2 1＋2k2， 即 m2<2k2＋1， x1＋x2＝－ 4km 1＋2k2， x1·x2＝2m2－2 1＋2k2， 所以 kMA·kNA＝ y1 x1－ 2 · y2 x2－ 2 ＝kx1＋m x1－ 2 ·kx2＋m x2－ 2 ＝－1 2 . 所以(2k2＋1)x1x2＋(2km－ 2)(x1＋x2)＋2m2＋2＝0， 即 m2＋ 2km＝0⇒m＝0 或 m＝－ 2k(舍去)． 所以 MN：y＝kx 过定点(0,0)． 当 MN 斜率不存在时 M，N 为短轴两端点，显然也符合题意，所以直线 MN 恒过定点(0,0)． 典例 5 (2017·全国Ⅲ理，20)已知抛物线 C：y2＝2x，过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点 O 在圆 M 上； (2)设圆 M 过点 P(4，－2)，求直线 l 与圆 M 的方程． [思路分析] (1)设出 A，B 两点的坐标及直线 l 的方程，与抛物线方程联立，求出两点 横、纵坐标之积，由 OA，OB 的斜率之积为－1，得坐标原点 O 在圆 M 上． (2)由(1)中结论，利用AP→·BP→＝0，求得直线 l 的未知系数，再分类求得圆 M 的方程． [解析] (1)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2， 由 x＝my＋2， y2＝2x 可得 y2－2my－4＝0， 则 y1y2＝－4. 又 x1＝y2 1 2 ，x2＝y2 2 2 ， 故 x1x2＝ y1y2 2 4 ＝4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为y1 x1 ·y2 x2 ＝－4 4 ＝－1. 所以 OA⊥OB， 故坐标原点 O 在圆 M 上． (2)由(1)可得 y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圆心 M 的坐标为(m2＋2，m)， - 143 - 圆 M 的半径 r＝ m2＋2 2＋m2. 由于圆 M 过点 P(4，－2)，因此AP→·BP→＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即 x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可知 y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以 2m2－m－1＝0， 解得 m＝1 或 m＝－1 2 . 当 m＝1 时，直线 l 的方程为 x－y－2＝0，圆心 M 的坐标为(3,1)，圆 M 的半径为 10. 圆 M 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10. 当 m＝－1 2 时，直线 l 的方程为 2x＋y－4＝0，圆心 M 的坐标为(9 4 ，－1 2 )，圆 M 的半径为 85 4 ， 圆 M 的方程为 x－9 4 2＋ y＋1 2 2＝85 16 . 专题 与圆锥曲线有关的最值和范围问题 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法： 1．结合定义利用图形中几何量之间的大小关系． 2．不等式(组)求解法：根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不 等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围． 3．函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、另一个适当的参数作为自变量来表 示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围． 4．利用代数基本不等式：代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构 思． 5．构造一个一元二次方程，利用判别式Δ≥0 来求解． 典例 6 (2019·全国Ⅱ卷文，20)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的两个 焦点，P 为 C 上的点，O 为坐标原点． (1)若△POF2 为等边三角形，求 C 的离心率； (2)如果存在点 P，使得 PF1⊥PF2，且△F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围． [解析] (1)连接 PF1，由△POF2 为等边三角形可知在△F1PF2 中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c， |PF1|＝ 3c，于是 2a＝|PF1|＋|PF2|＝( 3＋1)c，故 C 的离心率为 e＝c a ＝ 3－1. (2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当 1 2 |y|·2c＝16， y x＋c · y x－c ＝－1，x2 a2＋y2 b2＝1， 即 c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② - 144 - x2 a2＋y2 b2＝1.③ 由②③及 a2＝b2＋c2 得 y2＝b4 c2. 又由①知 y2＝162 c2 ，故 b＝4. 由②③及 a2＝b2＋c2 得 x2＝a2 c2(c2－b2)， 所以 c2≥b2，从而 a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故 a≥4 2. 当 b＝4，a≥4 2时，存在满足条件的点 P. 所以 b＝4，a 的取值范围为[4 2，＋∞)． 专题 轨迹问题 求一般的动点的轨迹方程要根据动点满足的条件选择合理的方法(如待定系数法、代入 法、参数法等)，在动点满足一个几何表达式时，一般采用直接把动点坐标代入几何表达式， 得到关于动点坐标的代数方程，化简整理这个方程的方法求解(直接法)，要注意变换过程的 同解性、特殊的点以及动点的变化范围等，使求得的方程恰好是满足几何条件的动点的轨迹 方程． 典例 7 (2019－2020 学年内蒙古赤峰市宁城县期末测试)已知在平面直角坐标系 中，动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到定直线 x＝－2 的距离小 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)若直线 l 与(1)中轨迹 C 交于 A，B 两点，过 A 和原点 O 的直线交直线 x＝－1 于 D，求 证：直线 DB 平行于 x 轴． [思路分析] (1)判断轨迹为抛物线，转化求解抛物线方程即可． (2)画出图形，设直线 AB 的方程为 x＝my＋1 代入抛物线方程，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 取得 BD 的纵坐标，然后推出结果． [解析] (1)动点 P 到 F(1,0)的距离比到定直线 x＝－2 的距离小 1，则与到定直线 x＝－ 1 的距离相等，根据抛物线的定义可知， 所求轨迹为以 F(1,0)为焦点，直线 x＝－1 为准线的抛物线，其方程为 y2＝4x ① (2)证明：设直线 AB 的方程为 x＝my＋1 ② ②代入①，整理得 y2－4my－4＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y2＝－4，所以点 B 的纵坐标 y2＝－4 y1 ③ 因为 y2 1＝4x1，所以直线 OA 的方程为 y＝y1 x1 x＝4 y1 x ④ - 145 - 可得 D 的纵坐标为 yD＝－4 y1 ⑤ 由③⑤知，DB∥x 轴． 典例 8 已知向量OA→＝(2,0)，OC→＝AB→＝(0,1)，动点 M 到定直线 y＝1 的距离等于 d，并且满足OM→·AM→＝k(CM→·BM→－d2)，其中 O 为坐标原点，k 为参数． (1)求动点 M 的轨迹方程，并判断曲线类型； (2)如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率 e 满足 3 3 ≤e≤ 2 2 ，求实数 k 的取值范 围． [解析] (1)设 M(x，y)，则由OA→＝(2,0)，OC→＝AB→＝(0,1)，且 O 为原点，知 A(2,0)、B(2,1)、 C(0,1)．从而OM→＝(x，y)，AM→＝(x－2，y)，CM→＝(x，y－1)，BM→＝(x－2，y－1)，d＝|y－1|. 代入OM→·AM→＝k(CM→·BM→－d2)，得(1－k)x2＋2(k－1)x＋y2＝0 为所求的轨迹方程．当 k＝1 时， 得 y＝0，轨迹为一条直线；当 k≠1 时，得(x－1)2＋ y2 1－k ＝1；若 k＝0，则轨迹为圆；若 k>1， 则轨迹为双曲线；若 00，b>0)的一个焦点 为 F(2,0)，且离心率 e＝2，则双曲线的方程为( D ) A．x2 7 －y2 3 ＝1 B．x2 3 －y2 7 ＝1 C．x2 3 －y2＝1 D．x2－y2 3 ＝1 - 146 - [解析] ∵c＝2，c a ＝2，∴a＝1，b＝ 3，即双曲线的方程为 x2－y2 3 ＝1，选 D． 2．设双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 y＝x2＋1 相切，则该双曲线的离心率 等于( C ) A． 3 B．2 C． 5 D． 6 [解析] 双曲线的渐近线方程为 y＝±b a x. ∵渐近线与 y＝x2＋1 相切， ∴x2＋b a x＋1＝0 有两相等根， ∴Δ＝b2 a2－4＝0，∴b2＝4a2， ∴e＝c a ＝ c2 a2＝ a2＋b2 a2 ＝ 5. 3．设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 e＝1 2 ，右焦点为 F(c,0)，方程 ax2＋bx－c＝0 的 两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x2)( C ) A．必在圆 x2＋y2＝2 上 B．必在圆 x2＋y2＝2 外 C．必在圆 x2＋y2＝2 内 D．以上三种情形都有可能 [解析] e＝1 2 ⇒c a ＝1 2 ⇒c＝a 2 ， a2－b2 a2 ＝1 4 ⇒b2 a2＝3 4 ⇒b a ＝ 3 2 ⇒b＝ 3 2 a. ∴ax2＋bx－c＝0⇒ax2＋ 3 2 ax－a 2 ＝0 ⇒x2＋ 3 2 x－1 2 ＝0，x1＋x2＝－ 3 2 ，x1x2＝－1 2 ， ∴x2 1＋x2 2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝3 4 ＋1＝7 4 <2. ∴在圆 x2＋y2＝2 内，故选 C． 4．如图，设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A、B、C， 其中点 A、B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A ) - 147 - A．|BF|－1 |AF|－1 B．|BF|2－1 |AF|2－1 C．|BF|＋1 |AF|＋1 D．|BF|2＋1 |AF|2＋1 [解析] S△BCF S△ACF ＝|BC| |AC| ＝xB xA ＝|BF|－1 |AF|－1 ，故选 A． 5．(浙江丽水市 2019－2020 学年高二质监)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，P 是抛物线 C 上的点．若线段 PF 被直线 x＝2 平分，则|PF|＝__4__. [解析] 由题意知焦点 F p 2 ，0 ，准线方程：x＝－p 2 ，设 p 的横坐标 x0，由题意 2·2＝p 2 ＋ x0，由抛物线的性质知 PF＝x0＋p 2 ＝4. 6．(2020·天津卷，18)已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个顶点为 A(0，－3)，右焦点为 F， 且|OA|＝|OF|，其中 O 为原点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点 C 满足 3OC→＝OF→，点 B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线 AB 与以 C 为圆心的 圆相切于点 P，且 P 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程． [解析] (1)由已知可得 b＝3.记半焦距为 c，由|OF|＝|OA|可得 c＝b＝3.又由 a2＝b2＋ c2，可得 a2＝18.所以，椭圆的方程为x2 18 ＋y2 9 ＝1. (2)因为直线 AB 与 C 为圆心的圆相切于点 P，所以 AB⊥CP.依题意，直线 AB 和直线 CP 的 斜率均存在．设直线 AB 的方程为 y＝kx－3.由方程组 y＝kx－3， x2 18 ＋y2 9 ＝1， 消去 y，可得 (2k2＋1)x2－12kx＝0，解得 x＝0 或 x＝ 12k 2k2＋1 .依题意，可得点 B 的坐标为 12k 2k2＋1 ，6k2－3 2k2＋1 . 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0，－3)，所以点 P 的坐标为 6k 2k2＋1 ， －3 2k2＋1 .由 3OC→ - 148 - ＝OF→，得点 C 的坐标为(1,0)，故直线 CP 的斜率为 －3 2k2＋1 －0 6k 2k2＋1 －1 ，即 3 2k2－6k＋1 .又因为 AB⊥CP， 所以 k· 3 2k2－6k＋1 ＝－1，整理得 2k2－3k＋1＝0，解得 k＝1 2 或 k＝1. 所以，直线 AB 的方程为 y＝1 2 x－3 或 y＝x－3. 第三章 空间向量与立体几何 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、 工程科学等方面也有着广泛的应用，如鸟巢体育场的钢结构、北斗卫星定位系统示意图等．本 章是在必修 2 中学习了立体几何初步以及必修 4 中学习了平面向量的基础上，学习空间向量 及其运算，把平面向量推广到空间向量，并利用空间向量的运算解决有关的立体几何问题．由 于空间向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个交汇点． 学习目标 1．空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐 标表示． (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 2．空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量． (2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． (3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量 方法在研究立体几何问题中的应用． 本章重点 空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的线面位置 关系；求空间角和空间的距离． 本章难点 用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平 行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题． 3.1 空间向量及其运算 - 149 - 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 自主预习·探新知 情景引入 1987 年 11 月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径 是：台北→香港→上海.2008 年 7 月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如 果把台北→香港的位移记为向量 a，香港→上海的位移记为向量 b，台北→上海的位移记为向 量 c，那么 a＋b 与 c 有怎样的关系呢？ 新知导学 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的__大小__. (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用__有向线段__表示； ②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量的起点是 A，终点是 B，也可记作：__AB→__， 其模记为__|a|__或__|AB→|__. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 __任意__ __0__ __0__ 单位向量 任意 __1__ 相反向量 __相反__ 相等 a 的相反向量：__－a__ AB→的相反向量：__BA→__ 相等向量 相同 __相等__ a＝b 3．空间向量的加减法和运算律 (1)加法：OB→＝__OA→＋AB→__＝a＋b. (2)减法：CA→＝__OA→－OC→__＝a－b. (3)加法运算律： ①交换律：a＋b＝__b＋a__； ②结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__. 4．空间向量的数乘运算 - 150 - (1)定义：实数λ与空间向量 a 的乘积λa 仍然是一个__向量__，称为向量的数乘运算． (2)向量 a 与λa 的关系： λ的 范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向__相同__ λa 的模是 a 的模的__|λ|__倍λ＝0 λa＝__0__其方向是任意的 λ<0 方向__相反__ (3)空间向量的数乘运算律： ①分配律：λ(a＋b)＝__λa＋λb__； ②结合律：λ(μa)＝__(λμ)a__ 5．平行(共线)向量与共面向量 平行(共线)向量 共面向量 定义 位置 关系 表示空间向量的有向线段所在的直 线的位置关系：__互相平行或重合 __ 平行于同一个__平面__的向量 特征 方向__相同或相反__ 特例 零向量与__任意向量__共线 充要 条件 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充 要条件是存在实数λ，使__a＝λb__ 向量 p 与不共线向量 a，b 共面的充 要条件是存在__唯一__的有序实数 对(x，y)使__p＝xa＋yb__ 推论 对空间任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条 件是存在实数 t 满足等式__OP→＝OA→＋ta__，向 量 a 为直线 l 的__方向向量__或在直线 l 上取 向量AB→＝a，则OP→＝__OA→＋tAB→__ 点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是 存在有序实数对(x，y)，使AP→＝ __xAB→＋yAC→__或对空间任意一点 O， 有OP→＝__OA→＋xAB→＋yAC→__ 预习自测 1．下列命题中，假命题的是( D ) A．向量AB→与BA→的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于 0 D．在同一条直线上的单位向量都相等 [解析] 在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反． 2．下列命题中正确的是( C ) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．向量 a、b、c 共面即它们所在的直线共面 - 151 - C．零向量没有确定的方向 D．若 a∥b，则存在唯一的实数λ，使 a＝λb [解析] 由零向量定义知选 C．而 A 中 b＝0，则 a 与 c 不一定共线；D 中要求 b≠0；B 中 a，b，c 所在的直线可能异面． 3．化简下列各式：(1)AB→＋BC→＋CA→；(2)OA→－OD→＋AD→；(3)NQ→＋QP→＋MN→－MP→.结果为零向量 的个数是( D ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 [解析] 对于(1)，AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝0； 对于(2)，OA→－OD→＋AD→＝DA→＋AD→＝0；对于(3)，NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝(NQ→＋QP→)＋(MN→－MP→)＝ NP→＋PN→＝0. 4．(内蒙古赤峰市宁城县 2019－2020 学年高二期末)在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 为 AC 与 BD 的交点，AB→＝a，AD→＝b，A1A→＝c 则下列向量中与B1M→相等的是( A ) A．－1 2 a＋1 2 b＋c B．1 2 a＋1 2 b＋c C．1 2 a－1 2 b＋c D．－1 2 a－1 2 b＋c [解析] 因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出B1M→＝B1B→＋BM→＝ c＋1 2 (AD→－AB→)＝c－1 2 a＋1 2 b，选 A． 5．已知 A、B、C 三点不共线，O 是平面 ABC 外任一点，若由OP→＝1 5 OA→＋2 3 OB→＋λOC→确定的 一点 P 与 A、B、C 三点共面，则λ＝__ 2 15 __. [解析] 由 P 与 A、B、C 三点共面， ∴1 5 ＋2 3 ＋λ＝1，解得λ＝ 2 15 . 互动探究·攻重难 互动探究解疑 - 152 - 命题方向❶ 空间向量的有关概念 典例 1 (1)给出下列命题： ①单位向量没有确定的方向； ②空间向量是不能平行移动的； ③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大； ④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等． 其中正确的是 ( C ) A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ (2)如图，在以长、宽、高分别为 AB＝4，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD－A1B1C1D1 中的八 个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有__8__个，模为 5的所有向量为__AD1 →，D1A→， A1D→，DA1 →，C1B→，BC1 →，B1C→，CB1 →__. [思路分析] (1)依据空间向量的基本概念逐一进行分析；(2)单位向量的模为 1，根据长 方体的左右两侧的对角线长均为 5写出相应向量． [规范解答] (1)①正确，单位向量的方向是任意的． ②错误，空间向量可以平行移动． ③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大． ④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等． (2)由于长方体的高为 1，所以长方体的 4 条高所对应的向量AA1 →，A1A→，BB1 →，B1B→，CC1 →，C1C→，DD1 →， D1D→共 8 个单位向量．而其余向量模均不为 1，故单位向量共 8 个．长方体的左、右两侧面的对 角线长均为 5，故模为 5的向量有AD1 →，D1A→，A1D→，DA1 →，C1B→，BC1 →，B1C→，CB1 →. 『规律总结』 处理向量概念问题需注意两点 ①向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可． ②单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为 1. ┃┃跟踪练习 1__■ 如图所示，以长方体 ABCD－A1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中． (1)试写出与AB→相等的所有向量； - 153 - (2)试写出AA1 →的相反向量； (3)若 AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1 →的模． [解析] (1)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1 → ，DC→及D1C1 → 共 3 个． (2)向量AA1 →的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→. (3)|AC1 →|＝|AB→＋AD→＋AA1 →| ∴|AC1 →|2＝AB→2＋AD→2＋AA1 → 2＝9 ∴|AC1 →|＝3. 命题方向❷ 空间向量的加减运算 典例 2 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图 中标出化简结果的向量． (1)AA′→ －CB→；(2)AA′→ ＋AB→ ＋B′C′→ . [思路分析] (1)分析题意，将CB→等价转化为DA→，DA→转化为－AD→，平行四边形法则得出结 论． (2)应用平行四边形法则先求AA′→ ＋AB→，再应用三角形法则求AB′→ ＋B′C′→ . [规范解答] (1)AA′→ －CB→＝AA′→ －DA→＝AA′→ ＋AD→＝AD′→ . (2)AA′→ ＋AB→＋B′C′→ ＝(AA′→ ＋AB→)＋B′C′→ ＝AB′→ ＋B′C′→ ＝AC′→ . 向量AD′→ 、AC′→ 如图所示． 『规律总结』 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在 化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法 之间可相互转化． ┃┃跟踪练习 2__■ (山东潍坊 2018－2019 学年高二期末)已知四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形， 设PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，则PD→＝( B ) - 154 - A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．－a＋b＋c [解析] 如图所示， 四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，则PD→＝PA→＋AD→＝PA→＋ BC→＝PA→＋(PC→－PB→)＝PA→－PB→＋PC→＝a－b＋c.故选 B． 命题方向❸ 空间向量的数乘运算 典例 3 已知四边形 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值： (1)OQ→＝PQ→＋xPC→＋yPA→； (2)PA→＝xPO→＋yPQ→＋PD→. [思路分析] 由题目可以获取以下主要信息： ①四边形 ABCD 是正方形，O 为中心，PO⊥平面 ABCD，Q 为 CD 中点； ②用已知向量表示指定向量． 解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向 量的系数相等，求出 x、y 即可． [规范解答] 如图， (1)∵OQ→＝PQ→－PO→ ＝PQ→－1 2 (PA→＋PC→)＝PQ→－1 2 PA→－1 2 PC→， ∴x＝y＝－1 2 . (2)∵PA→＋PC→＝2PO→，∴PA→＝2PO→－PC→. 又∵PC→＋PD→＝2PQ→，∴PC→＝2PQ→－PD→. 从而有PA→＝2PO→－(2PQ→－PD→)＝2PO→－2PQ→＋PD→. - 155 - ∴x＝2，y＝－2. 『规律总结』 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习 的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律． 2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致． ┃┃跟踪练习 3__■ 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设AA1 →＝a，AB→＝b，AD→＝c，M、N、P 分别是 AA1、BC、C1D1 的中点，试用 a、b、c 表示以下各向量： (1)AP→； (2)A1N→； (3)MP→＋NC1 →. [解析] (1)∵P 是 C1D1 的中点， ∴AP→＝AA1 →＋A1D1 → ＋D1P→＝a＋AD→＋1 2 D1C1 → ＝a＋c＋1 2 AB→＝a＋c＋1 2 b. (2)∵N 是 BC 的中点， ∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→ ＝－a＋b＋1 2 BC→＝－a＋b＋1 2 AD→＝－a＋b＋1 2 c. (3)∵M 是 AA1 的中点， ∴MP→＝MA→＋AP→＝1 2 A1A→＋AP→ ＝－1 2 a＋(a＋c＋1 2 b)＝1 2 a＋1 2 b＋c. 又NC1 →＝NC→＋CC1 →＝1 2 BC→＋AA1 →＝1 2 AD→＋AA1 →＝1 2 c＋a， ∴MP→＋NC1 →＝(1 2 a＋1 2 b＋c)＋(a＋1 2 c) ＝3 2 a＋1 2 b＋3 2 c. 命题方向❹ 共线向量 典例 4 如图所示，ABCD－ABEF 都是平行四边形，且不共面，M、N 分别是 AC、 - 156 - BF 的中点，判断CE→与MN→是否共线？ [思路分析] 要判断CE→与MN→是否共线，由共线向量定理就是判定是否存在实数λ，使CE→＝ λMN→.若存在，则CE→与MN→共线，否则CE→与MN→不共线． [规范解答] M、N 分别是 AC、BF 的中点，而四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形， ∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝1 2 CA→＋AF→＋1 2 FB→. 又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→ ＝－1 2 CA→＋CE→－AF→－1 2 FB→， ∴1 2 CA→＋AF→＋1 2 FB→＝－1 2 CA→＋CE→－AF→－1 2 FB→. ∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)． ∴CE→＝2MN→，∴CE→∥MN→，即CE→与MN→共线． 『规律总结』 1.判断向量共线的策略 (1)熟记共线向量充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ使 a＝λb；②若存在唯一 实数λ，使 a＝λb，b≠0，则 a∥b. (2)判断向量共线的关键是找到实数λ. 2．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点 P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使PA→＝λPB→成立． (2)对空间任一点 O，有OP→＝OA→＋tAB→(t∈R)． (3)对空间任一点 O，有OP→＝xOA→＋yOB→(x＋y＝1)． ┃┃跟踪练习 4__■ e1，e2 为不共线的非零向量，如果 a＝4e1－2 5 e2，b＝e1－ 1 10 e2，试判断 a，b 是否共线． [解析] ∵a＝4e1－2 5 e2，b＝e1－ 1 10 e2， ∴a＝4(e1－ 1 10 e2)＝4b， ∴a，b 为共线向量． 命题方向❺ 共面问题 - 157 - 典例 5 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N、P、Q 分别为 A1D1、D1C1、AA1、CC1 的中点， 用向量方法证明 M、N、P、Q 四点共面． [思路分析] 要证 M、N、P、Q 四点共面，只需证明MP→、MN→、MQ→共面，即寻求实数λ、μ、 k，使得λMP→＋μMN→＋kMQ→＝0.为此，令D1A1 → ＝a，D1C1 → ＝b，D1D→＝c，将MP→、MN→、MQ→都用 a、b、c 线性表示，再寻求它们系数之间关系或者令MQ→＝λMP→＋μMN→，建立λ、μ的方程组解之． [规范解答] 令D1A1 → ＝a，D1C1 → ＝b，D1D→＝c， ∵M、N、P、Q 均为棱的中点， ∴MN→＝1 2 b－1 2 a，MP→＝MA1 →＋A1P→＝1 2 a＋1 2 c， MQ→＝MD1 →＋D1C1 → ＋C1Q→＝－1 2 a＋b＋1 2 c. 令MQ→＝λMN→＋μMP→，则 －1 2 a＋b＋1 2 c＝1 2 (μ－λ)a＋1 2 λb＋1 2 μc， ∴ 1 2 μ－λ ＝－1 2 1 2 λ＝1 1 2 μ＝1 2 ，∴ λ＝2 μ＝1 . ∴MQ→＝2MN→＋MP→，因此向量MQ→、MN→、MP→共面， ∴四点 M、N、P、Q 共面． 『规律总结』 1.证明点 P 在平面 ABC 内，可以用AP→＝xAB→＋yAC→，也可以用OP→＝OA→＋xAB→ ＋yAC→，若用OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则必须满足 x＋y＋z＝1. 2．判定三个向量共面一般用 p＝xa＋yb，证明点线共面常用AP→＝xAB→＋yAC→，证明四点共 面常用OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中 x＋y＋z＝1)． ┃┃跟踪练习 5__■ 如图，已知 E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点，用向量法 - 158 - 证明 E、F、G、H 四点共面． [思路分析] 要证 E、F、G、H 四点共面，根据共面向量定理，只需探求存在实数 x，y， 使EG→＝xEF→＋y EH→成立． [解析] 如图，连接 BG、EG，则BF→＝1 2 BC→， EH→＝1 2 BD→，BG→＝1 2 (BC→＋BD→)，所以EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋1 2 (BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→. 由共面向量定理的推论知 E、F、G、H 四点共面． 学科核心素养 空间向量的线性运算在立体几何中的应用 (1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证 明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特 别地，线面平行可转化为该直线的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示． (2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行 的关键是构造向量之间的线性关系． (3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需 向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目 标要求为止． 典例 6 如图所示，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 M，N 分别 在对角线 BD，AE 上，且 BM＝1 3 BD，AN＝1 3 AE.求证：MN∥平面 CDE. [思路分析] 根据共面向量定理，证明向量MN→平面 CDE 内两个不共线的向量共面即说明 MN∥平面 CDE. - 159 - [规范解答] ∵点 M 在 BD 上，且 BM＝1 3 BD， ∴MB→＝1 3 DB→＝1 3 DA→＋1 3 AB→. 同理，AN→＝1 3 AD→＋1 3 DE→. ∴MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝ 1 3 DA→＋1 3 AB→ ＋BA→＋ 1 3 AD→＋1 3 DE→ ＝2 3 BA→＋1 3 DE→＝2 3 CD→＋1 3 DE→. 由于CD→与DE→不共线， 根据向量共面的充要条件可知MN→，CD→，DE→共面． 因为 MN 不在平面 CDE 内，所以 MN∥平面 CDE. 『规律总结』 解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充 分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉 MN 不在平面 CDE 内而致错． ┃┃跟踪练习 6__■ 已知 AB，CD 是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N 分别是 AC，BD 的中点．求证 MN∥α. [思路分析] 运用共面向量定理先证出MN→与平面α内两个不共线的向量共面，进而说明 MN∥α. [证明] 因为 CD⊂α，AB∥α，且 AB，CD 是异面直线， 所以在平面α内存在向量 a，b，使得AB→＝a，CD→＝b，且两个向量不共线． 由 M，N 分别是 AC，BD 的中点， 得MN→＝1 2 (MA→＋AB→＋BN→＋MC→＋CD→＋DN→) ＝1 2 (AB→＋CD→)＝1 2 (a＋b)． 所以MN→，a，b 共面，所以 MN∥α或 MN⊂α. 若 MN⊂α，则 AB，CD 必在平面α内，这与已知 AB，CD 是异面直线矛盾．故 MN∥α. 易混易错警示 典例 7 如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则 x，y，z 的值分别为__1 6 ， 1 3 ，1 3 __. - 160 - [错解] 因为 M 为 OA 的中点，所以OM→＝1 2 OA→， 因为MG→＝2GN→，所以MG→＝2 3 MN→， 所以OG→＝OM＋MG→＝OM→＋2 3 MN→ ＝OM→＋2 3 (ON→－OM→) ＝1 3 OM→＋2 3 ON→ ＝1 3 ×1 2 OA→＋2 3 (OB→＋OC→) ＝1 6 OA→＋2 3 OB→＋2 3 OC→ 所以 x，y，z 的值分别为1 6 ，2 3 ，2 3 . [辨析] 错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不 当．实际上，本题中由 N 是 BC 的中点知ON→＝1 2 (OB→＋OC→)． [正解] ∵M 为 OA 中点，∴OM→＝1 2 OA→， ∵MG→＝2GN→ ，∴MG→＝2 3 MN→ ∴OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋2 3 M N→＝1 3 OM→＋2 3 ON→ ＝1 3 ·1 2 OA→＋2 3 ·1 2 (OB→＋OC→) ＝1 6 OA→＋1 3 OB→＋1 3 OC→ ∴x，y，z 的值为1 6 ，1 3 ，1 3 . 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及 其坐标表示 - 161 - 自主预习·探新知 情景引入 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一 个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我 们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积该如何规定，向量的数量 积又满足哪些运算律呢？ 新知导学 1．向量 a 与 b 的夹角 已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作OA→＝a，OB→＝b，则__∠AOB__叫做向量 a 与 b 的夹角，记作__〈a，b〉__. 通常规定 0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉， 如果〈a，b〉＝__90°__，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b. 2．向量 a，b 的数量积 空间两个非零向量 a、b，a·b＝__|a||b|cos〈a，b〉__ 叫做向量 a、b 的数量积(或内积)． 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如 下性质： (1)a⊥b⇔__a·b＝0__； (2)|a|2＝__a·a__； 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律： (1)(λa)·b＝λ(a·b)； (2)a·b＝b·a；(交换律) (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(分配律) 3．三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的__一条斜线的射影___垂直，那么它也和这条斜 线垂直． 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的__一条斜线垂直__，那 么它也和__这条斜线在平面内的射影__垂直． 即与斜线垂直⇔与射影垂直． 4．数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ①a∥b 时，θ＝__0 或π__，θ＝__0__时，a 与 b 同向； θ＝__π__时，a 与 b 反向． - 162 - ②a⊥b⇔θ＝__π 2 __⇔a·b＝0. ③θ为锐角时，a·b__>__0，但 a·b>0 时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0， 但 a·b<0 时，θ可能为__π__. ④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b ＝－|a|·|b|. ⑤对于实数 a、b、c，若 ab＝ac，a≠0，则 b＝c；对于向量 a、b、c，若 a·b＝a·c， a≠0，却推不出 b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__. ⑥a·b＝0⇒/ a＝0 或 b＝0，但 a＝0 时，一定有 a·b＝__0__. ⑦不为零的三个实数 a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量 a、b、c， (a·b)c__≠__a(b·c)，因为 a·b 是一个实数，(a·b)c 是与 c 共线的向量，而 a(b·c)是 与 a 共线的向量，a 与 c 却不一定共线． 5．空间向量基本定理 (1)如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}， 使得 p＝__xa＋yb＋zc__. (2)如果三个向量 a、b、c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc， x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量 a、b、c 生成的，我们把{__a，b，c__}叫做空间的 一个基底，a、b、c 都叫做__基向量__，空间任何三个__不共面__的向量都可构成空间的一个 基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐标__不同__，在同一基底下的坐标__相同__. 6．空间向量的正交分解及其坐标表示 设 e1、e2、e3 为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)．以 e1、e2、e3 的公共起点 O 为原点，分别以__e1，e2，e3__的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建 立空间直角坐标系 O－xyz.对于空间任意一个向量 p 一定可以把它平移，使它的__起点__与原 点 O 重合，得到向量OP→＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p ＝__xe1＋ye2＋ze3__.我们把__x、y、z__称作向量 p 在单位正交基底 e1、e2、e3 下的坐标，记 作 p＝__(x，y，z)__. 预习自测 1．下列式子中正确的是( D ) A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b| [解析] |a|·a 是与 a 共线的向量，a2 是实数，故 A 不对； (a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故 B 错； (a·b)c 与 c 共线，a(b·c)与 a 共线，故 C 错． |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|. 2．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于( A ) - 163 - A．22 B．48 C． 46 D．32 [解析] ∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b， |a－b|2＝a2＋b2－2a·b， ∴|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2 ＝2×(132＋192)－242＝484， ∴|a－b|＝22.故选 A． 3．以下四个命题中正确的是( B ) A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则 a、b、c 全不是零向量 C．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 [解析] 由空间基底的概念知，构成基底的三个基向量一定不共面，因此必定不共线， 都是非零向量，∴A 错，D 错，B 正确；△ABC 为直角三角形时不一定角 A 为直角，故 C 错． 4．(内蒙古赤峰市宁城县 2019－2020 学年高二期末)设 A，B，C，D 是空间内不共面的四 点，且满足AB→·AC→＝0，AD→·AC→＝0，AB→·AD→＝0，则△BCD 是( B ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 [解析] ∵BC→·BD→＝(AC→－AB→)(AD→－AB→)＝AC→·AD→－AC→·AB→－AB→·AD→＋(AB→)2， AB→·AC→＝0，AD→·AC→＝0，AB→·AD→＝0， ∴BC→·BD→＝(AB→)2＞0， ∴cosB＝ BC→·BD→ |BC→|·|BD→| ＞0， ∴∠B 是锐角，同理∠D，∠C 是锐角，则△BCD 是锐角三角形． 5．设{i，j，k}是空间向量的一组单位正交基底，且 m＝2i＋3j－4k，n＝－i＋2j－5k， 则向量 m 的坐标为__(2,3，－4)__，n 的坐标为__(－1,2，－5)__. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 向量的数量积的概念与运算 典例 1 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，计算 - 164 - (1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)BF→·CE→. [思路分析] 求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示， 然后据定义进行计算，特别注意 a 与 b 的夹角是其方向的夹角．如〈BD→，DC→〉＝120°，易错 认为〈BD→，DC→〉＝60°. [规范解答] (1)EF→·BA→＝1 2 BD→·BA→＝1 2 |BD→|·|BA→|·cos〈BD→，BA→〉＝1 2 ×1×1×cos60°＝ 1 4 . (2)EF→·BD→＝1 2 |BD→|·|BD→|cos〈BD→，BD→〉 ＝1 2 ×1×1×cos0°＝1 2 . (3)BF→·CE→＝1 2 (BD→＋BA→)·1 2 (CB→＋CA→) ＝1 4 [BD→·(－BC→)＋BA→·(－BC→)＋BD→·CA→＋BA→·CA→] ＝1 4 [－BD→·BC→－BA→·BC→＋(CD→－CB→)·CA→＋AB→·AC→] ＝1 4 [－1 2 －1 2 ＋1 2 －1 2 ＋1 2 ]＝－1 8 . 『规律总结』 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角， 再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． ┃┃跟踪练习 1__■ (湖南师大附中 2019－2020 学年高二期中)如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面是 边长为 1 的正方形，若∠A1AB＝∠A1AD＝60°，且 A1A＝3，则 A1C 的长为( A ) - 165 - A． 5 B．2 2 C． 14 D． 17 [解析] 因为A1C→＝A1B1 → ＋A1D1 → ＋A1A→， 所以|A1C→|2＝(A1B1 → ＋A1D1 → ＋A1A→)2 ＝|A1B1 → |2＋|A1D1 → |2＋|A1A→|2＋2(A1B1 → ·A1D1 → ＋A1B1 → ·A1A→＋A1D1 → ·A1A→) ＝1＋1＋9＋2(0＋1×3×cos120°＋1×3×cos120°) ＝5，故 A1C 的长为 5，故选 A． 命题方向❷ 利用数量积求夹角和模 典例 2 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2， 点 N 为 AA1 的中点． (1)求BN→的长； (2)求 cos〈BA1 →，CB1 →〉的值． [规范解答] (1)在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90° ∴AB＝ 2， BN→＝BA→＋AN→，BN→2＝(BA→＋1 2 AA1 →)2 ＝BA→2＋BA→·AA1 →＋1 4 AA1 → 2＝2＋1 4 ×4＝3. ∴|BN→|＝ 3. (2)BA1 →·CB1 →＝(BA→＋BB1 →)(CB→＋CC1 →) ＝BA→·CB→＋BA→·CC1 →＋BB1 →·CB→＋BB1 →·CC1 →， BA→·CB→＝|BA→||CB→|·cos(π－∠ABC)＝ 2×1×cos135°＝－1， - 166 - BA→·CC1 →＝0，BB1 →·CB→＝0， BB1 →·CC1 →＝4， ∴BA1 →·CB1 →＝－1＋0＋0＋4＝3， |BA1 →|·|CB1 →|＝ 6· 5＝ 30 ∴cos〈BA1 →，CB1 →〉＝ 3 30 ＝ 30 10 . 『规律总结』 1.空间向量中，求两向量夹角与平面向量求法完全相同，都是应用公式 cos〈a，b〉＝ a·b |a|·|b| ，解题的关键就是求 a·b 和|a|、|b|.求模时主要应用|a|2＝a·a 解 决． 2．在几何图形中计算两向量的数量积时，关键是弄清两向量的夹角，特别注意在△ABC 中，〈AB→，BC→〉＝π－∠ABC. ┃┃跟踪练习 2__■ 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求异面直线 A1B 与 AC 所成的角． [解析] 不妨设正方体的棱长为 1, 设AB→＝a，AD→＝b，AA1 →＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c＝c·a＝0， A1B→＝a－c，AC→＝a＋b. ∴A1B→·AC→＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，而|A1B→|＝|AC→|＝ 2. ∴cos〈A1B→，AC→〉＝ 1 2× 2 ＝1 2 ，又∵〈A1B→，AC→〉∈[0，π]，∴〈A1B→，AC→〉＝60°. 因此，异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 60°. 命题方向❸ 利用数量积解决垂直问题 典例 3 已知三棱锥 O－ABC 中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且 OA＝OB＝OC.M、N 分 别是 OA、BC 的中点，G 是 MN 的中点，求证：OG⊥BC. [思路分析] 要证 OG⊥BC，只要证OG→·BC→＝0，关键是把OG→、BC→用一组基向量OA→、OB→、OC→表 示出来． [规范解答] 如图所示，连接 ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， - 167 - 又设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则|a|＝|b|＝|c|， ∴a·b＝b·c＝a·c ＝|a|2cosθ， 又OG→＝1 2 (OM→＋ON→) ＝1 2 [1 2 OA→＋1 2 (OB→＋OC→)]＝1 4 (a＋b＋c)． BC→＝c－b， ∴OG→·BC→＝1 4 (a＋b＋c)(c－b)，＝1 4 (a·c－a·b－b2＋c2)＝0. ∴OG⊥BC. 『规律总结』 证明两直线垂直，求两直线夹角，其关键环节都是取两直线的方向向量， 将其用一组容易求数量积的不共面向量线性表示，证明两直线垂直，即证两直线方向向量的 数量积为 0；求两直线夹角利用两向量的夹角公式求解，需注意两向量夹角范围是[0，π]． ┃┃跟踪练习 3__■ 已知空间四边形 OABC 中，M、N、P、Q 分别为 BC、AC、OA、OB 的中点，若 AB＝OC，求证： PM⊥QN. [证明] 如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c， 又 P、M 分别为 OA，BC 的中点． ∴PM→＝OM→－OP→＝1 2 (b＋c)－1 2 a ＝1 2 [(b－a)＋c]． 同理，QN→＝1 2 (a＋c)－1 2 b ＝－1 2 [(b－a)－c]． - 168 - ∴PM→·QN→＝－1 4 [|b－a|2－|c|2]， 又 AB＝OC，即|b－a|＝|c|. ∴PM→·QN→＝0.∴PM→⊥QN→，即 PM⊥QN. 命题方向❹ 空间向量基本定理及其应用 典例 4 如图所示，空间四边形 OABC 中，G、H 分别是 △ ABC、△OBC 的重心，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用向量 a、b、c 表示向量GH→. △ [思路分析] 要用向量 a、b、c 表示向量GH→，就是要找到一组有序实数 x、y、z，使GH→＝ xa＋yb＋zc，可从GH→入手，按向 量加减运算的三角形法则及其线性运算性质，利用线性运算逐步向 a，b，c 靠拢． [规范解答] ∵OG→＝OA→＋AG→＝OA→＋2 3 AD→ ＝OA→＋2 3 ·(OD→－OA→)＝1 3 OA→＋2 3 OD→ ＝1 3 OA→＋2 3 ·1 2 (OB→＋OC→)＝1 3 (a＋b＋c)， 又OH→＝2 3 OD→＝2 3 ×1 2 (OB→＋OC→)＝1 3 (b＋c)， ∴GH→＝OH→－OG→＝1 3 (b＋c)－1 3 (a＋b＋c) ＝－1 3 a. 『规律总结』 1.用基底表示空间向量，一般要结合图形用向量的加法、减法的三角形 法则、平行四边形法则及数乘的运算法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．若 a、b、c 不共面，则对空间任一向量 p，p＝xa＋yb＋zc，(x、y、z)是唯一的． ┃┃跟踪练习 4__■ 如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，已知AA′→ ＝a，AB→＝b，AC→＝c，点 M、N 分别是 BC′、 B′C′ 的中点，试用基底{a，b，c}表示向量AM→，AN→. - 169 - [解析] AM→＝A B→＋B M→＝AB→＋1 2 BC′→ ＝AB→＋1 2 (BB′→ ＋BC→)＝AB→＋1 2 AA′→ ＋1 2 (A C→－AB→)＝ 1 2 A B→＋1 2 AA′→ ＋1 2 AC→＝1 2 (a＋b＋c) AN→＝AB′→ ＋B′N→ ＝AB′→ ＋1 2 B′C′→ ＝AB→＋AA′→ ＋1 2 (AC→－AB→)＝1 2 A B→＋AA′→ ＋1 2 AC→＝a＋1 2 b＋ 1 2 c. 学科核心素养 空间向量的坐标表示 1．建立空间直角坐标系时，必须寻求三条两两垂直的直线． 2．空间向量坐标表示的方法与步骤： (1)观图形：充分观察图形特征． (2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系． (3)用运算：综合利用向量的加减及数乘运算． (4)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标． 典例 5 棱长为 1 的正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G 分别为棱 DD′、D′C′、 BC 的中点，以{AB→，AD→，AA′→ }为基底，求下列向量的坐标． (1)AE→、AG→、AF→；(2)EF→、EG→、DG→. [思路分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y，z)就 是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标． [规范解答] (1)AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋1 2 DD′→ ＝AD→＋1 2 AA′→ ＝(0,1，1 2 )， AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋1 2 AD→＝(1，1 2 ，0)， AF→＝AA′→ ＋A′D′→ ＋D′F→ ＝AA′→ ＋AD→＋1 2 AB→＝(1 2 ，1,1)． (2)EF→＝AF→－AE→ - 170 - ＝ AA′→ ＋AD→＋1 2 AB→ － AD→＋1 2 AA′→ ＝1 2 AA′→ ＋1 2 AB→ ＝ 1 2 ，0，1 2 ， EG→＝AG→－AE→ ＝(AB→＋1 2 AD→)－ AD→＋1 2 AA′→ ＝AB→－1 2 AD→－1 2 AA′→ ＝ 1，－1 2 ，－1 2 ， DG→＝AG→－AD→＝AB→＋1 2 AD→－AD→ ＝AB→－1 2 AD→ ＝ 1，－1 2 ，0 . 『规律总结』 1.求 a 在单位正交基底下的坐标，关键先依据条件结合图形建立空间直 角坐标系，将 a 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则 a 的坐标为(x，y，z)． 2.AB→的坐标等于终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标． ┃┃跟踪练习 5__■ 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M，N 分别是 AB，PC 的三等分点，且 PN＝2NC， AM＝2MB，PA＝AB＝1，求MN→的坐标． [分析] 求MN→坐标的关键是设法利用正交基底的向量表示向量MN→. [解析] 因为 PA＝AB＝AD＝1，且 PA 垂直于平面 ABCD，AD⊥AB， 所以可设AD→＝i，AB→＝j，AP→＝k. 以{i，j，k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 因为MN→＝MA→＋AP→＋PN→ - 171 - ＝－2 3 A B→＋A P→＋2 3 P C→ ＝－2 3 A B→＋A P→＋2 3 (－AP→＋A D→＋A B→) ＝1 3 A P→＋2 3 A D→＝2 3 i＋1 3 k 所以MN→＝(2 3 ，0，1 3 )． 易混易错警示 典例 6 在四面体 OABC 中，各棱长都相等，E、F 分别为 AB、OC 的中点，求异面 直线 OE 与 BF 所夹角的余弦值． [错解] 取OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则 a·b＝b·c＝c·a＝1 2 . 又∵OE→＝1 2 (a＋b)，BF→＝1 2 c－b，|OE→|＝ 3 2 ，|BF→|＝ 3 2 . ∴OE→·BF→＝1 2 (a＋b)·(1 2 c－b) ＝1 4 a·c＋1 4 b·c－1 2 a·b－1 2 |b|2＝－1 2 . ∴cos〈OE→，BF→〉＝ OE→·BF→ |OE→||BF→| ＝－2 3 . ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为－2 3 . [辨析] 错解的原因是对两向量的夹角理解不透彻，事实上，两向量夹角的取值范围是 [0，π]，异面直线所成的角的范围是 0，π 2 ，异面直线 l1、l2 所成的角为θ，方向向量为 a， b，当 0<〈a，b〉≤π 2 时，θ＝〈a，b〉，即 cosθ＝cos〈a，b〉，当π 2 <〈a，b〉<π时，θ ＝π－〈a，b〉，即 cosθ＝|cos〈a，b〉|. [正解] 取OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c， - 172 - 且|a|＝|b|＝|c|＝1，则 a·b＝b·c＝c·a＝1 2 . 又∵OE→＝1 2 (a＋b)，BF→＝1 2 c－b， |OE→|＝ 3 2 ，|BF→|＝ 3 2 . ∴OE→·BF→＝1 2 (a＋b)·(1 2 c－b) ＝1 4 a·c＋1 4 b·c－1 2 a·b－1 2 |b|2＝－1 2 . ∴cos〈OE→，BF→〉＝ OE→·BF→ |OE→||BF→| ＝－2 3 . ∵异面直线夹角范围(0，π 2 ]． ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为2 3 . 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 自主预习·探新知 情景引入 向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷，那么将向量坐标化之后，向量的线性运 算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？ 新知导学 1．空间向量运算的坐标表示 设{i，j，k}为单位正交基底，即 i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下， a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即 a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，根据向量线性运 数与数量积运算的定义及运算律，可得出 a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及 cos〈a，b〉 的坐标表示． (1)空间向量的线性运算及数量积的坐标表示 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__； ②a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__； ③λa＝__(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)__； - 173 - ④a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__. (2)向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示： 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①若 a∥b(b≠0)，则__ a1＝λb1， a2＝λb2， a3＝λb3. __ ②若 a⊥b，则 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. ③|a|＝ a·a＝__ a2 1＋a2 2＋a3 3__； ④cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a2 1＋a2 2＋a2 3· b2 1＋b2 2＋b2 3 . 2．向量的坐标及两点间的距离公式 设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝__(x2－x1，y2－y1，z2－z1)__，dAB＝|AB→|＝ __ x2－x1 2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2__. 预习自测 1．已知向量 a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( D ) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 [解析] a＋b＝(10，－5，－2)，A 错误；a－b＝(－2,1，－6)，B 错误；a·b＝4×6＋ (－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C 错误；|a|＝ 42＋ －2 2＋42＝6，故选 D. 2．(2019－2020 学年北京市房山区期末检测)已知向量 a＝(2，－3,5)与向量 b＝(4，x， －1)垂直，则实数 x 的值为( B ) A．－1 B．1 C．－6 D．6 [解析] 向量 a＝(2，－3,5)，与向量 b＝(4，x，－1)垂直，则 a·b＝0， 由数量积的坐标公式可得：2×4＋(－3)×x＋5×(－1)＝0，解得 x＝1，故选 B. 3．(安徽省蚌埠市 2019－2020 学年高二期末)空间直角坐标系中，点 P(1,2,3)关于平面 xOz 对称的点的坐标为( B ) A．(－1,2,3) B．(1，－2,3) C．(1,2，－3) D．(－1，－2，－3) [解析] 点 P(1,2,3)关于平面 xOz 对称的点的坐标为(1，－2,3)，选 B. 4．(福建厦门市 2019－2020 学年高二质检)已知命题 p：若 a＝(1，－2,3)，b＝(－2,4， －6)，则 a∥b；命题 q：若 a＝(1，－2,1)，b＝(1,0,1)，则 a⊥b.下列命题为真命题的是 ( D ) A．p∧q B．(¬p)∧(¬q) C．(¬p)∨q D. p∧(¬q) - 174 - [解析] 命题 p：若 a＝(1，－2,3)， b＝(－2,4，－6)， 可知 b＝－2a， ∴a∥b， ∴命题 p 是真命题；又命题 q： 若 a＝(1，－2,1)，b＝(1,0,1)， ∴a·b＝1＋0＋1＝2≠0，则 a 与 b 不垂直， ∴命题 q 是假命题． ∴p∧(¬q)为真命题．故选 D. 5．已知 A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标是(1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA→ 与OB→的夹角是__π__. [解析] OA→＝(－1，－2,6)，OB→＝(1,2，－6)，cos〈OA→，OB→〉＝ OA→·OB→ |OA→||OB→| ＝－1，∵〈OA→， OB→〉∈[0，π]，∴〈OA→，OB→〉＝π. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 向量运算的坐标表示 典例 1 已知 a＝(2，－1,3)、b＝(0，－1,2)，求： (1)a＋b； (2)2a－3b； (3)a·b; (4)(a＋b)·(a－b)． [规范解答] (1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2) ＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)． (2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)． (3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7. (4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－0－1－4＝9. 『规律总结』 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用 的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具． ┃┃跟踪练习 1__■ 已知向量 a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)、c＝(0,0,2)，则： - 175 - (1)a·(b＋c)＝__9__； (2)(a＋2b)·(a－2b)＝__－38__. [解析] (1)b＋c＝(2,0,5)，a·(b＋c) ＝(2，－3,1)·(2,0,5)＝9. (2)|a|＝ 14，|b|＝ 13， (a＋2b)·(a－2b) ＝|a|2－4|b|2＝－38. 命题方向❷ 向量平行与垂直的坐标表示 典例 2 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1、BD 上的点，且 3B1P＝D1P，BD＝4DQ，求证：PQ⊥AE. [规范解答] 如图所示，以 D 为原点，DA→、DC→、DD1 →的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向 建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为 1，则 A(1,0,0)、E(0,0，1 2 )，Q(1 4 ，1 4 ，0)、P(3 4 ，3 4 ，1)， ∴AE→＝(－1,0，1 2 )，QP→＝(1 2 ，1 2 ，1)． ∵AE→·QP→＝(－1,0，1 2 )·(1 2 ，1 2 ，1)＝0， ∴AE→⊥QP→，即 AE⊥PQ. 『规律总结』 向量平行与垂直的坐标表示是重要知识点，应熟练掌握．含参数的向量 平行，应用比例式求参数值时，要注意其前提条件． ┃┃跟踪练习 2__■ 设 a＝(1,5，－1)、b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则 k＝__－1 3 __. [解析] ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)． 因为(ka＋b)∥(a－3b)， 所以k－2 7 ＝5k＋3 －4 ＝－k＋5 －16 ，解得 k＝－1 3 . 学科核心素养 向量的夹角与长度 1．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐 标相同，不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． - 176 - 2．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题 中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用 坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量 的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算的结果转化为几何结论；当图形 中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为 基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算，最后转化为相应 几何结论． 3．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围时，要注意共线的情形． 典例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 D1D、BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝1 4 CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成的角的余弦值． [规范解答] 如图所示，建立空间直角坐标系 D－xyz，则有 E(0,0，1 2 )、F(1 2 ，1 2 ，0)、 C(0,1,0)、C1(0,1,1)、B1(1,1,1，)、G(0，3 4 ，0)． (1)EF→＝(1 2 ，1 2 ，0)－(0,0，1 2 )＝(1 2 ，1 2 ，－1 2 )， B1C→＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1，0，－1)． ∴EF→·B1C→＝1 2 ×(－1)＋1 2 ×0＋(－1 2 )×(－1)＝0，∴EF→⊥B1C→，即 EF⊥B1C. (2)∵C1G→＝(0，3 4 ，0)－(0,1,1)＝(0，－1 4 ，－1)． ∴|C1G→|＝ 17 4 . 又EF→·C1G→＝1 2 ×0＋1 2 ×(－1 4 )＋(－1 2 )×(－1)＝3 8 ，|EF→|＝ 3 2 ， ∴cos＝ EF→·C1G→ |EF→|·|C1G→| ＝ 51 17 . 即异面直线 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 51 17 . - 177 - 『规律总结』 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量 的坐标，应用数量积、夹角公式即可． ┃┃跟踪练习 3__■ (2020·福州市八县市协作校期末)在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F 分别是 AB，AD 的中点，PF⊥平面 ABCD，且 AB＝BC＝PF＝1 2 AD＝2，则异面直线 PE，CD 所成的角为 ( B ) A．30° B．45° C．60° D．90° [解析] 将该几何补形为一个长宽高分别为 4,2,2 的长方体，建立空间直角坐标系如图 所示， 则：P(0,2,2)，E(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)． 据此计算可得：PE→＝(1，－2，－2)，CD→＝(－2,2,0)， PE→·CD→＝－2－4＋0＝－6， |PE→|＝ 1＋4＋4＝3，|CD→|＝ 4＋4＋0＝2 2， 设异面直线 PE，CD 所成的角为θ，则 cosθ＝ |PE→·CD→| |PE→|×|CD→| ＝ 2 2 ，∴θ＝45°.故选 B. 易混易错警示 典例 4 已知 a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且 a 与 b 的夹角为钝角， 则 x 的取值范围是( B ) A．(－2，＋∞) B．(－2，5 3 )∪(5 3 ，＋∞) C．(－∞，－2) D．(5 3 ，＋∞) [错解] 因为 a 与 b 的夹角为钝角， 所以 a·b＝(3，－2，－3)·(－1，x－1,1) ＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0 解得 x>－2. 所以 x 的取值范围是(－2，＋∞)． - 178 - [辨析] 错误的根本原因是忽视了 a·b<0 包括了〈a，b〉＝180°的情况，实际上，a 与 b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且〈a，b〉≠180°. [正解] ∵a 与 b 的夹角为钝角， ∴a·b<0 且〈a，b〉≠180°， ∴a·b＝(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)， ＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0， ∴x>－2. ∵〈a，b〉≠180°即 x≠5 3 ，∴x>－2，且 x≠5 3 ，故选 B. 3.2 立体几何中的向量方法 第 1 课时 3.2.1 空间向量与平行关系 自主预习·探新知 情景引入 任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的发明推动了工业革命；计算机 的出现解决了复杂的运算问题，提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与 地球村的形成．向量作为一种工具，它的应用又体现在了哪些方面呢？ 新知导学 1．用向量表示点的位置 (1)基点：在空间中，我们取__一定点 O__作为基点． (2)向量表示：空间中任意一点 P 的位置可以用__向量OP→__来表示． (3)点的位置向量：点 P 的位置向量为__向量OP→__. 2．用向量表示直线的位置 条件 直线 l 上一点 A 表示直线 l 方向的向量 a(即直线的__方向向量__) 形式 在直线 l 上取AB→＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t，使得AP→ ＝__tAB→__. 作用 定位置 点 A 和向量 a 可以确定直线的__位置__； 定点 可以具体表示出 l 上的任意__一点__. 3．用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定. - 179 - 条件 平面α内两条相交直线的方向向量 a，b 和交点 O 形式 对于平面α上任意一点 P，存在有序实数对(x，y)使得OP→＝xa＋yb (2)通过平面α上的一个定点 A 和法向量来确定. 平面的法向量 直线 l⊥α，直线 l 的__方向向量 a__，叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的 4．用向量描述空间平行关系 设空间两条直线 l、m 的方向向量分别为 a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，两个平面α， β的法向量分别为 u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论： 位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系 l∥m __a∥b__ a＝kb，k∈R a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 l∥α __a⊥u__ __a·u＝0__ __a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__ α∥β __u∥v__ u＝kv，k∈R u1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3 预习自测 1．若 A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量是( A ) A．(2,2,6) B．(－1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) [解析] AB→＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，∴选 A． 2．设直线 l 的方向向量为 a，平面α的法向量为 b，若 a·b＝0，则( D ) A．l∥α B．l⊂α C．l⊥α D．l⊂α或 l∥α 3．若平面α的法向量 u＝(1,2，－1)，平面β的法向量 v＝(－3，－6,3)，则α与β的 关系为( A ) A．α∥β B．α与β相交但不垂直 C．α⊥β D．以上均不正确 4．给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的；②一个平面的所有法向量都是同向的； ③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的；④与一个平面的法向量共线的所有非零 向量都是该平面的法向量．其中正确的说法是__③④__. 5．已知平面α外一直线 l 的方向向量 u＝(1,3，－4)，平面α的法向量 u＝(2，－2，－ 1)，则 l 与α的位置关系为__l∥α__. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 直线的方向向量，平面的法向量 - 180 - 典例 1 如图所示，在多面体 A1B1D1DCBA 中，四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正 方形，E 为 B1D1 的中点，过 A1，D，E 的平面交 CD1 于 F，求平面 A1DE、平面 A1B1CD 的一个法向 量． [思路分析] 先设出平面 A1DE、平面 A1B1CD 的法向量，利用法向量与平面内的两个向量 的数量积为零，列出方程组求解． [规范解答] ∵四边形 AA1B1B，ADD1A1，ABCD 均为正方形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD 且 AA1＝AB＝AD，以 A 为原点，分别以AB→，AD→，AA1 →为 x 轴，y 轴和 z 轴建立如图空间直角坐标系， 设 AB＝AD＝AA1＝1，可得 A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)， 而 E 为 B1D1 的中点， ∴E(1 2 ，1 2 ，1)． 设平面 A1DE 的法向量 n1＝(x1，y1，z1)， 又A1E→＝(1 2 ，1 2 ，0)，A1D→＝(0,1，－1)， 由 n1⊥A1E→，n1⊥A1D→， 得 1 2 x1＋1 2 y1＝0， y1－z1＝0， 取 z1＝1， 则 x1＝－1， y1＝1， z1＝1， 则 n1＝(－1,1,1)． 设平面 A1B1CD 的法向量 n2＝(x2，y2，z2)， 由A1B1 → ＝(1,0,0)，A1D→＝(0,1，－1)， - 181 - 而 n2⊥A1B1 → ，n2⊥A1D→，所以 x2＝0， y2－z2＝0， 令 z2＝1，则 x2＝0， y2＝1， z2＝1， ，∴n2＝(0,1,1)． ┃┃跟踪练习 1__■ (山西太原市 2018－2019 学年高二期末)若直线 l 的方向向量为 m，平面α的法向量为 n， 则可能使 l∥α的是( D ) A．m＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．m＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．m＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．m＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) [解析] A 中，m·n＝－2≠0，所以排除 A；B 中 m·n＝1＋5＝6≠0，所以排除 B；C 中， m·n＝－1，所以排除 C；D 中，m·n＝0，所以 m⊥n，能使 l∥α.故选 D． 命题方向❷ 空间向量证明线面平行 典例 2 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求 证：MN∥平面 A1BD. [证明] 证法一：如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 M 0，1，1 2 、N 1 2 ，1，1 、D(0，0,0)、 A1(1,0,1)、B(1,1,0)， 于是MN→＝ 1 2 ，0，1 2 、DA1 →＝(1,0,1)、DB→＝(1,1,0)． 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． 则 n·DA1 →＝0，且 n·DB→＝0，∴ x＋z＝0 x＋y＝0 ， - 182 - 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)． 又MN→·n＝ 1 2 ，0，1 2 ·(1，－1，－1)＝0， ∴MN→⊥n，∵MN⊄ 平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD. 证法二：∵MN→＝C1N→－C1M→＝1 2 C1B1 → －1 2 C1C→ ＝1 2 (D1A1 → －D1D→)＝1 2 DA1 →， ∴MN→∥DA1 →，又∵MN⊄ 平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD. 证法三：由证法二知，MN→＝1 2 DA1 →＋0·DB→， 即MN→可用DA1 →与DB→线性表示，故MN→与DA1 →、DB→是共面向量． ∴MN→∥平面 A1BD，又 MN⊄ 平面 A1BD，即 MN∥平面 A1BD. 『规律总结』 证明直线 l∥平面α的方法： (1)可取直线 l 的方向向量 a 与平面α的法向量 n，证明 a·n＝0； (2)可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明存在实数λ1，λ2，使直线 l 的方向向量 a＝λ1e1 ＋λ2e2，然后说明 l 不在平面α内即可； (3)在平面α内若能找到两点 A、B，直线 l 的方向向量 n∥AB→，则 l∥α. ┃┃跟踪练习 2__■ 在底面为正方形的四棱锥 P－ABCD 中，E 是 PC 中点，求证：PA∥平面 EDB. [证明] 设DA→＝a，DC→＝b，DP→＝c，则DE→＝1 2 (b＋c)，DB→＝a＋b，PA→＝a－c， ∴PA→＝DB→－2DE→， ∴PA→与DB→、DE→共面， ∵DB→、DE→不共线，PA⊄ 平面 BDE. ∴PA∥平面 BDE. 命题方向❸ 空间向量证明面面平行 典例 3 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中．求证：平面 A1BD∥平面 CD1B1. - 183 - [思路分析] 按照两平面平行的条件，要证明平面 A1BD∥平面 CD1B1，只需证明两个平面 的法向量平行． [证明] 以 D 为原点，分别以DA→、DC→、DD1 →为 x、y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设 棱长为 1，则 A1(1，0,1)、B(1,1,0)、D1(0,0,1)、B1(1,1,1)、C(0,1,0)、D(0，0,0)， ∴A1D→＝(－1,0，－1)、A1B→＝(0,1，－1)， D1B1 → ＝(1,1,0)、D1C→＝(0,1，－1)， 设平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)， 则 n1·A1D→＝0 n1·A1B→＝0 ⇒ －x1－z1＝0 y1－z1＝0. ， 令 z1＝1，得 x1＝－1，y1＝1. ∴平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝(－1,1,1)． 设平面 CD1B1 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 则 n2·D1B1 → ＝0 n2·D1C→＝0 ⇒ x2＋y2＝0 y2－z2＝0 ， 令 y2＝1，得 x2＝－1，z2＝1， ∴n2＝(－1,1,1)．∴n1＝n2，即 n1∥n2. ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. 『规律总结』 证明二面平行时，分别找(或求)出两个平面的法向量 u、v，验证 u∥v 成 立． ┃┃跟踪练习 3__■ 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F 分别为棱 A1D1、 A1B1、D1C1、B1C1 的中点． 求证：平面 AMN∥平面 EFBD. - 184 - [证明] 证法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0，)、B(2,3,0)、M(1,0,4)、 N(2，3 2 ，4)、E(0，3 2 ，4)、F(1,3,4)． ∴MN→＝(1，3 2 ，0)、EF→＝(1，3 2 ，0)、AM→＝(－1,0,4)、BF→＝(－1,0,4)． ∴MN→＝EF→，AM→＝BF→.∴MN∥EF，AM∥BF. ∴MN∥平面 EFBD，AM∥平面 EFBD.又 AM，MN⊂平面 AMN，AM∩MN＝N， ∴平面 AMN∥平面 EFBD. 证法二：由证法一可知，A(2,0,0)、M(1,0,4)、N(2，3 2 ，4)、D(0,0,0)、E(0，3 2 ，4)、F(1,3,4)， 则AM→＝(－1,0,4)、AN→＝(0，3 2 ，4)、DE→＝(0，3 2 ，4)、DF→＝(1,3,4)． 设平面 AMN，平面 EFBD 的法向量分别为 n1＝(x1，y1，z1)、n2＝(x2，y2，z2)，则 n1·AM→＝0 n1·AN→＝0 ，即 －x1＋4z1＝0 3 2 y1＋4z1＝0 ， 令 x1＝1，得 z1＝1 4 ，y1＝－2 3 . 又 n2·DE→＝0 n2·DF→＝0 ，即 3 2 y2＋4z2＝0 x2＋3y2＋4z2＝0 ， 令 y2＝－1，得 z2＝3 8 、x2＝3 2 . ∴n1＝(1，－2 3 ，1 4 )、n2＝(3 2 ，－1，3 8 )． ∴n1＝2 3 n2，即 n1∥n2，∴平面 AMN∥平面 EFBD. 学科核心素养 向量方法解决平行问题 有关空间中的平行关系是历年高考的必考内容，它包括线线平行、线面平行和面面平 行．其中高考考查频率最高的是线面平行，偶尔也考查线线平行，几乎不考查面面平行，其 基本做法是将这些关系转化到直线的方向向量与平面的法向量，通过向量的线性运算达到解 题的目的． 典例 4 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点． - 185 - (1)求证：MN∥平面 A1BD； (2)求证：平面 A1BD∥平面 CB1D1. [证明] (1)以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1， 则可求得 M(0,1，1 2 )，N(1 2 ，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是MN→＝(1 2 ，0，1 2 )，DA1 →＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)． 设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 n·DA1 →＝0 且 n·DB→＝0， 得 x＋z＝0， x＋y＝0， 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. 故 n＝(1，－1，－1)． 又MN→·n＝(1 2 ，0，1 2 )·(1，－1，－1)＝0， 故MN→⊥n. 又 MN⊄ 平面 A1BD， 因此 MN∥平面 A1BD. (2)由(1)知 D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)， 则D1B1 → ＝(1,1,0)，D1C→＝(0,1，－1)． 设平面 CB1D1 的一个法向量为 m＝(x′，y′，z′)． 则 m·D1B1 → ＝0， m·D1C→＝0， 即 x′＋y′＝0， y′－z′＝0， 令 x′＝1，则 y′＝z′＝－1， 故 m＝(1，－1，－1)． 从而 n＝m，即 n∥m. 又 D1∉ 平面 A1BD， 故平面 A1BD∥平面 CB1D1. 『规律总结』 - 186 - 用向量法解决线面平行，面面平行问题的关键是求平面的法向量． ┃┃跟踪练习 4__■ 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 在棱 BB1 上，且|BM|＝2|MB1|，点 S 在 DD1 上，且|SD1|＝ 2|SD|，点 N，R 分别为 A1D1，BC 的中点，求证：MN∥RS. [证明] 设AB→＝a，AD→＝b，AA1 →＝c，则由题意可知MN→＝MB1 →＋B1A1 → ＋A1N→＝1 3 c－a＋1 2 b，RS→＝RC→ ＋CD→＋DS→＝1 2 b－a＋1 3 c，∴MN→＝RS→，∴MN→∥RS→，又∵R∉ MN，∴MN∥RS. 易混易错警示 典例 5 直线 l 的方向向量为 a＝(2，－1,1)，平面α的法向量为 e＝ 1 2 ，0，－1 ， 则 l 与α的位置关系为__________. [错解] l∥α [辨析] ∵a＝(2，－1,1)，e＝(1 2 ，0，－1)， ∴a·e＝(2，－1,1)·(1 2 ，0，－1) ＝2×1 2 －1×0－1×1＝0. ∴a⊥e，所以 l∥α或 l⊂α. [正解] l∥α或 l⊂α 3.2.2 空间向量与垂直关系 自主预习·探新知 情景引入 1．两向量垂直时，它们所在的直线垂直吗？ 2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？ 3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系？ 新知导学 空间垂直关系的向量表示 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量 分别为 u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则 - 187 - 位置关系 向量关系 向量运算关系 坐标关系 l⊥m __a⊥b__ __a·b＝0__ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 l⊥α __a∥u__ __a＝λu，λ∈R__ a1＝λu1，a2＝λu2，a3 ＝λu3 α⊥β __u⊥v__ u·v＝0 u1v1＋u2v2＋u3v3＝0 预习自测 1．设直线 l1，l2 的方向量分别为 a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若 l1⊥l2，则 m 等于( D ) A．－2 B．2 C．6 D．10 [解析] l1⊥l2，则 a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选 D． 2．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是( A ) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) 3．(2019－2020 学年北京市房山区期末检测)已知直线 l 的方向向量 a＝(－1,2,1)，平 面α的法向量 b＝(－2,4,2)，则直线 l 与平面α的位置关系是( B ) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l∈α [解析] ∵直线 l 的方向向量 a＝(－1,2,1)，平面α的法向量 b＝(－2,4,2)， ∴b＝2a，∴则 b 与 a 共线，可得：l⊥a.故选 B． 4．已知平面α和平面β的法向量分别为 a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则 x ＝__－4__. [解析] α⊥β，则 a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4. 5．已知平面α内有一点 M(1，－1,2)，平面α的一个法向量 n＝(6，－3,6)，则点 P(2,3,3) 与平面α的位置关系是__P∈α__. [解析] ∵MP→＝(1,4,1)，∴MP→·n＝1×6－3×4＋1×6＝0，∴MP→⊥n， 又∵点 M∈α，∴P∈α. 互动探究·攻重难 互动探究解疑 命题方向❶ 线线垂直 典例 1 已知正方体 ABCD－A′B′C′D′中，点 M、N 分别是棱 BB′与对角线 CA′ - 188 - 的中点． 求证：MN⊥BB′，MN⊥A′C. [思路分析] 正方体是特殊几何体，从一顶点出发的三条棱相互垂直，故方便建系，求 出点的坐标，然后只要验证MN→·BB′→ ＝0，MN→·A′C→ ＝0 即可． [证明] 设正方体棱长为 1，以 A 为原点，AB→、AD→、AA′→ 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系， 则 M 1，0，1 2 、B(1,0,0)、C(1,1,0)、A′(0,0,1)、N 1 2 ，1 2 ，1 2 、B′(1,0,1)， MN→＝ －1 2 ，1 2 ，0 、A′C→ ＝(1,1，－1)、BB′→ ＝(0,0,1)． ∵MN→·A′C→ ＝ －1 2 ，1 2 ，0 ·(1,1，－1)＝0， MN→·BB′→ ＝ －1 2 ，1 2 ，0 ·(0,0,1)＝0， ∴MN⊥A′C，MN⊥BB′. 『规律总结』 用向量方法证明直线 l1 与 l2 垂直，取 l1、l2 的方向向量 e1、e2，则 e1·e2 ＝0 或 cos〈e1，e2〉＝0. ┃┃跟踪练习 1__■ 已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 的各棱长都为 1，M 是底面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC1 上的点， 且 CN＝1 4 CC1.求证：AB1⊥MN. [证明] 如图，以平面 ABC 内垂直于 AC 的直线为 x 轴，AC→，AA1 →所在直线为 y 轴、z 轴建立 空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B1( 3 2 ，1 2 ，1)，M( 3 4 ，3 4 ，0)，N(0,1，1 4 )． 即AB1 →＝( 3 2 ，1 2 ，1)，MN→＝(－ 3 4 ，1 4 ，1 4 )． - 189 - 故AB1 →·MN→＝－3 8 ＋1 8 ＋1 4 ＝0. 因此AB1 →⊥MN→，即 AB1⊥MN. 命题方向❷ 线面垂直 典例 2 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1、D1B1 的中点． 求证：EF⊥平面 B1AC. [思路分析] 证法一： 选取基向量AB→＝a，AD→＝b，AA1 →＝c，用 a，b，c 表示EF→，AB1 →，B1C→，EF→·AB1 →＝0，EF→·B1C→＝0， 得出结论． 证法二：建系求出 A、C、E、F、B1 各点坐标，求出EF→，AB1 →，AC→的坐标，利用向量的坐标运 算求得EF→·AB1 →＝0，EF→·AC→＝0，得出结论． [证明] 证法一：设AB→＝a、AD→＝b、AA1 →＝c， 则EF→＝EB1 →＋B1F→＝1 2 (BB1 →＋B1D1 → )＝1 2 (AA1 →＋BD→) ＝1 2 (AA1 →＋AD→－AB→)＝－a＋b＋c 2 ， AB1 →＝AB→＋AA1 →＝a＋c. ∴EF→·AB1 →＝－a＋b＋c 2 ·(a＋c) ＝－a2＋a·b＋a·c－a·c＋b·c＋c2 2 ＝－a2＋a·b＋b·c＋c2 2 ＝－|a|2＋0＋0＋|c|2 2 ＝0， ∴EF→⊥AB1 →，即 EF⊥AB1.同理 EF⊥B1C. 又 AB1∩B1C＝B1， ∴EF⊥平面 B1AC. 证法二：设正方体的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、 B1(2,2,2)、E(2,2,1)、F(1,1,2)． - 190 - ∴EF→＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，AB1 →＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC→＝(0,2,0) －(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF→·AB1 →＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF→·AC→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF→⊥AB1 →，EF→⊥AC→，即 EF⊥AB1，EF⊥AC. 又 AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面 B1AC. 『规律总结』 证明直线 l⊥平面α，(一)取直线的方向向量 e 和平面的法向量 n，验证 e∥n；(二)取直线的方向向量 e 和与平面α平行的两不共线向量 a、b，验证 e·a＝0 且 e·b ＝0.可以选取基向量表示方便建系时一般用坐标法证明． ┃┃跟踪练习 2__■ 如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点． 求证：AB1⊥平面 A1BD. [证明] 如图所示，取 BC 的中点 O，连接 AO.因为△ABC 为正三角形，所以 AO⊥BC.因为 正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 BCC1B1， 所以 AO⊥平面 BCC1B1. 取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，以OB→，OO1 →，OA→分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间 直角坐标系，则 B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0)． 所以AB1 →＝(1,2，－ 3)，BA1 →＝(－1,2， 3)，BD→＝(－2,1,0)． 方法一：因为AB1 →·BA1 →＝1×(－1)＋2×2＋(－ 3)× 3＝0， AB1 →·BD→＝1×(－2)＋2×1＋(－ 3)×0＝0. 所以AB1 →⊥BA1 →，AB1 →⊥BD→，即 AB1⊥BA1，AB1⊥BD. - 191 - 又因为 BA1∩BD＝B，所以 AB1⊥平面 A1BD. 方法二：设平面 A1BD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则有 n⊥BA1 →，n⊥BD→， 故 n·BA1 →＝0， n·BD→＝0 ⇒ －x＋2y＋ 3z＝0， －2x＋y＝0， 令 x＝1，则 y＝2，z＝－ 3， 故 n＝(1,2，－ 3)为平面 A1BD 的一个法向量， 而AB1 →＝(1,2，－ 3)，所以AB1 →＝n， 所以AB1 →∥n，故 AB1⊥平面 A1BD. 学科核心素养 面面垂直 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将 面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明 两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 典例 3 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、G 分别是 BB1、DD1、DC 的 中点，求证： (1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE. [规范解答] 以 D 为原点，DA→、DC→、DD1 → 为正交基底建立空间直角坐标系 O－xyz，则 D(0,0,0)、D1(0,0,2)、A(2,0,0)、A1(2,0,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1)、G(0,1,0)、B1(2,2,2)、 C1(0,2,2)． (1)设 n1＝(x1，y1，z1)、n2＝(x2，y2，z2)分别是平面 ADE、平面 B1C1F 的法向量，则 n1⊥DA→， n1⊥AE→. ∴ n1·DA→＝0 n1·AE→＝0 ，∴ 2x1＝0 2y1＋z1＝0 ， 取 y1＝1，z1＝－2，∴n1＝(0,1，－2)． 同理可求 n2＝(0,1，－2)． ∵n1∥n2，∴平面 ADE∥平面 B1C1F. - 192 - (2)∵DA→·D1G→＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0， ∴DA→⊥D1G→. ∵AE→·D1G→＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0，∴AE→⊥D1G→. ∵DA→、AE→不共线，∴D1G⊥平面 ADE. 又∵D1G⊂平面 A1D1G， ∴平面 ADE⊥平面 A1D1G. (3)由于点 M 在 AE 上， 所以可设AM→＝λ·AE→＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， ∴M(2,2λ，λ)，A1M→＝(0,2λ，λ－2)． 要使 A1M⊥平面 DAE，需 A1M⊥AE， ∴A1M→·AE→＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0， ∴λ＝2 5 .此时 A M→·D A→＝(0,2λ，λ－2)·(2,0,0)＝0，∴A1M→⊥AD.故当 A1M＝2 5 AE 时， A1M⊥平面 DAE. 『规律总结』 1.证明平面α⊥平面β，求出平面α与β的法向量 e1，e2，验证 e1·e2＝ 0，或转化为证明线面垂直，用面面垂直的判定定理证明． 2．探索性、存在性问题： (1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或 方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在． (2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参 数的值或取值范围． ┃┃跟踪练习 3__■ 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右图所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90°， A1A⊥平面 ABC，A1A＝ 3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D 为 BC 的中点．证明：平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. [证明] 证法一：如图，建立空间直角坐标系， - 193 - 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、A1(0,0， 3)、C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴AD→＝(1,1,0)、AA1 →＝(0,0， 3)、BC→＝(－2,2,0)． ∴AD→·BC→＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， AA1 →·BC→＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0. ∴AD→⊥BC→，AA1 →⊥BC→.∴BC⊥AD，BC⊥AA1. 又 A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面 A1AD. 又 BC⊂平面 BCC1B1，∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 证法二：同证法一建系后，得AA1 →＝(0,0， 3)，AD→＝(1,1,0)，BC→＝(－2,2,0)，CC1 →＝(0， －1， 3)．设平面 A1AD 的法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，平面 BCC1B1 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)． 由 n1·AA1 →＝0 n1·AD→＝0 ，得 3z1＝0 x1＋y1＝0 . 令 y1＝－1，则 x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)． 由 n2·BC→＝0 n2·CC1 →＝0 ，得 －2x2＋2y2＝0 －y2＋ 3z2＝0 ， 令 y2＝1，则 x2＝1，z2＝ 3 3 ，∴n2＝(1,1， 3 3 )． ∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2. ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1. 易混易错警示 典例 4 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°， E、F 分别是 AC、AD 的中点．判断平面 BEF 与平面 ABC 是否垂直． [错解] 过 B 作 Bx∥CD，∵CD⊥BC，∴Bx⊥BC. 建立如图所示空间直角坐标系，则平面 ABC 的一个法向量 n＝(1,0,0)，设 BC＝a，则 CD ＝a，BD＝ 2a， ∵∠ADB＝30°，∴AB＝ 2a，∴C(0，a,0)、D(a，a,0)、A(0,0， 2a)，∵E(0，a 2 ， 2 2 a)、 - 194 - F(a 2 ，a 2 ， 2 2 a)． ∵n·BE→＝0，n·BF→≠0， ∴n 不是平面 BEF 的法向量，故平面 BEF 与平面 ABC 不垂直． [辨析] 上述解答有三处主要错误，一是混淆了面面平行与面面垂直的向量表示，当平 面 ABC 与平面 BEF 垂直时，应有 两平面的法向量垂直，从而应是 n 是否与BE→、BF→共面，二是 D 点的坐标错误，D 点的横坐 标应为负值，三是计算错误，在 Rt△ABD 中，由∠BDA＝30°，BD＝ 2a 应得 AB＝ 6a 3 . [正解] 建立如图所示坐标系 B－xyz，取 A(0,0，a)， 则易得 B(0,0,0)、C 3 2 a， 3 2 a，0 、D(0， 3a,0)、E 3 4 a， 3 4 a，a 2 、F 0， 3 2 a，a 2 ， 则有EF→＝ － 3 4 a， 3a 4 ，0 ， BA→＝(0,0，a)、BC→＝ 3 2 a， 3 2 a，0 . ∵EF→·BA→＝0，EF→·BC→＝0， ∴EF⊥AB，EF⊥BC. 又∵AB∩BC＝B，∴EF⊥平面 ABC. 又∵EF⊂平面 BEF，∴平面 ABC⊥平面 BEF. 3.2.3 空间向量与空间角、距离 自主预习·探新知 情景引入 同学们可能经常谈论**同学是白羊座的，**同学是双子座的．可是你知道十二星座的由 来吗？ - 195 - 我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”．黄道面与地球赤道面交角(二面 角的平面角)为 23°27′，它与天球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽 8°以内 的区域称为黄道带．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每 30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来．今天 我们研究的问题之一就是二面角的平面角问题． 新知导学 1．异面直线所成角 异面直线所成的角取值范围是__(0，π 2 ]__，两向量夹角的取值范围是__[0，π]__，设 l1 与 l2 是两异面直线，a、b 分别为 l1、l2 的方向向量，l1、l2 所成的角为θ，由向量夹角的定 义及求法知〈a，b〉与θ__相等__或__互补__，∴cosθ＝__ |a·b| |a|·|b| __. 2．直线与平面所成的角 如图，设 l 为平面α的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为 l 与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则 sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝|a·n| |a||n| . 直线与平面所成的角的取值范围是__ 0，π 2 __. 3．二面角 平面α与β相交于直线 l，平面α的法向量为 n1，平面β的法向量为 n2，＝θ， 则二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ， 则|cosφ|＝__|cosθ|__＝__ |n1·n2| |n1|·|n2| __. 由于两条直线所成的角，线面角都不大于直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直 接求出，而二面角的范围是__[0，π]__，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能 仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点． 4．点到平面的距离 如图所示，已知点 B(x0，y0，z0)，平面α内一点 A(x1，y1，z1)，平面α的一个法向量 n， - 196 - 直线 AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n，AB→〉，则 sinφ＝|cos〈n，AB→〉|＝|cosθ|.由数量 积的定义知，n·AB→＝|n||AB→|cosθ，∴点 B 到平面α的距离 d＝|AB→|·sinφ＝|AB→|·|cosθ| ＝__|n·AB→| |n| __. 5．异面直线间的距离 如图，若 CD 是异面直线 a、b 的公垂线，A、B 分别为 a、b 上的任意两点，令向量 n⊥a， n⊥b，则 n∥CD.则由AB→＝AC→＋CD→＋DB→得，AB→·n＝AC→·n＋CD→·n＋DB→·n，∴AB→·n＝CD→·n. ∴|AB→·n|＝|CD→|·|n|，∴|CD→|＝|AB→·n| |n| . ∴两异面直线 a、b 间的距离为 d＝__|AB→·n| |n| __. 6．直线到平面的距离 设直线 a∥平面α，A∈a，B∈α，n 是平面α的法向量，过 A 作 AC⊥α，垂足为 C，则AC→ ∥n， ∵AB→·n＝(AC→＋CB→)·n＝AC→·n，∴|AB→·n|＝|AC→|·|n|. ∴直线 a 到平面α的距离 d＝|AC→|＝__|AB→·n| |n| __. 7．两平行平面间的距离 设 n 是两平行平面的一个法向量，A、B 分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面 的距离 d＝__|AB→·n| |n| __. - 197 - 预习自测 1．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线 A1D 与 BC1 所成的角为( C ) A．45° B．60° C．90° D．135° [解析] 如图，连接 B1C，则 A1D∥B1C， ∵B1C⊥BC1， ∴异面直线 A1D 与 BC1 所成的角为 90°，故选 C． 2．已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线 BC1 和平面 DBB1D1 所成角的 正弦值为( C ) A． 3 2 B． 5 2 C． 10 5 D． 10 10 [解析] 解法一：连接 A1C1 交 B1D1 于 O 点，由已知条件得 C1O⊥B1D1，且平面 BDD1B1⊥平面 A1B1C1D1，所以 C1O⊥平面 BDD1B1，连接 BO，则 BO 为 BC1 在平面 BDD1B1 上的射影，∠C1BO 即为所 求，通过计算得 sin∠C1BO＝ 10 5 ，故选 C． 解法二：以 A 为原点，AB、AD、AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则 B(4,0,0)、B1(4,0,2)、D(0,4,0)、D1(0,4,2)、C1(4,4,2)，∴BC1 →＝(0,4,2)、BD→＝(－ 4,4,0)、BB1 →＝(0,0,2)， 设平面 BDD1B1 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 n·BD→＝0 n·BB1 →＝0 ，∴ －4x＋4y＝0 2z＝0 ，∴ y＝x z＝0 . - 198 - 取 x＝1，则 n＝(1,1,0)．又BC1 →＝(0,4,2) 设所求线面角为α，则 sinα＝|cos〈n，BC1 →〉| ＝ |n·BC1 →| |n|·|BC1 →| ＝ 4 2· 20 ＝ 10 5 . 3．(2019－2020 学年北京市房山区期末检测)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝A1A＝3，则 二面角 A1－BC－A 的大小为__45°__. [解析] 设 AD＝a，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标 系， 则平面 ABC 的法向量 m＝(0,0,1)，A1(a,0,3)，B(a,3,0)，C(0,3,0)， BC→＝(－a,0,0)， BA1 →＝(0，－3,3)，设平面 A1BC 的法向量 n＝(x，y，z)， 则 n·BC→＝－ax＝0 n·BA1 →＝－3y＋3z＝0 ， 取 y＝1，得 n＝(0,1,1) 设二面角 A1－BC－A 的大小为θ， 则 cosθ＝ |m·n| |m|·|n| ＝ 2 2 ， ∴θ＝45°， ∴二面角 A1－BC－A 的大小为 45°.故答案为 45°. 4．棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点，则 BD 到平面 EFD1B1 的距离为__1 3 __. [解析] 以 D 为原点，直线 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 易求平面 EFD1B1 的法向量 n＝(－1,1，1 2 )，又DF→＝(0，1 2 ，0)， ∴d＝|DF→·n| |n| ＝1 3 . 互动探究·攻重难 - 199 - 互动探究解疑 命题方向❶ 异面直线所成的角 典例 1 (1)直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M、N 分别是 A1B1、A1C1 的中 点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( C ) A． 1 10 B．2 5 C． 30 10 D． 2 2 [规范解答] 如图，分别以 C1B1、C1A1、C1C 为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系． 令 AC＝BC＝C1C＝2，则 A(0,2,2)、B(2,0,2)、M(1,1,0)、N(0,1,0)．令θ为 AN，BM 所在 直线成的角， ∴BM→＝(－1,1，－2)，AN→＝(0，－1，－2)． cosθ＝ BM→·AN→ |BM→|·|AN→| ＝|0－1＋4| 6· 5 ＝ 30 10 .故选 C． (2)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是棱 AB 上的动点，若异 面直线 AD1 与 EC 所成角为 60°，试确定此时动点 E 的位置． [规范解答] 以 DA 所在直线为 x 轴，以 DC 所在直线为 y 轴，以 DD1 所在直线为 z 轴，建 立空间直角坐标系．设 E(1，t,0)(0≤t≤2)，则 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)， D1A→ ＝(1,0，－1)，CE→＝(1，t－2,0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋ t－2 2·cos60°，所以 t＝1，所以点 E 的位置是 AB 中点． 『规律总结』 求异面直线所成的角的常用方法是： (1)作图——证明——计算； - 200 - (2)把角的求解转化为向量运算．若直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b，l1 与 l2 夹角为θ， 则|cosθ|＝|a·b| |a||b| . ┃┃跟踪练习 1__■ (2018·全国卷Ⅱ理，9)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( C ) A．1 5 B． 5 6 C． 5 5 D． 2 2 [解析] 方法1：如图(1)，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA －A1′B1′B1A1.连接 B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线 AD1 与 DB1 所成的角或其补角．连接 DB′，由题意，得 DB′＝ 12＋ 1＋1 2 ＝ 5，B′B1 ＝ 12＋ 3 2＝2，DB1＝ 12＋12＋ 3 2＝ 5. (1) 在△DB′B1 中，由余弦定理，得 DB′2＝B′B2 1＋DB2 1－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′， 即 5＝4＋5－2×2 5cos∠DB1B′，∴ cos∠DB1B′＝ 5 5 . 故选 C． 方法 2：如图(2)，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系． (2) 由题意，得 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0， 3)，B1(1,1， 3)， ∴ AD1 →＝(－1,0， 3)，DB1 →＝(1,1， 3)， ∴ AD1 →·DB1 →＝－1×1＋0×1＋( 3)2＝2， |AD1 →|＝2，|DB1 →|＝ 5， - 201 - ∴ |cos〈AD1 →，DB1 →〉|＝ |AD1 →·DB1 →| |AD1 →|·|DB1 →| ＝ 2 2 5 ＝ 5 5 . 故选 C． 命题方向❷ 线面角 典例 2 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值． [规范解答] (1)取 AB 中点 O，连接 CO、A1B、A1O， ∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1 是正三角形，∴A1O⊥AB， ∵CA＝CB，∴CO⊥AB， ∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面 COA1，∴AB⊥A1C. (2)由(1)知 OC⊥AB，OA1⊥AB， 又∵平面 ABC⊥平面 ABB1A1，平面 ABC∩平面 ABB1A1＝AB，∴OC⊥平面 ABB1A1，∴OC⊥OA1， ∴OA、OC、OA1 两两相互垂直，以 O 为坐标原点，OA→的方向为 x 轴正方向，|OA→|为单位长 度，建立如图所示空间直角坐标系 O－xyz， 由题设知 A(1,0,0)，A1(0， 3，0)，C(0,0， 3)，B(－1，0,0)，则BC→＝(1,0， 3)、BB1 →＝ AA1 →＝(－1， 3，0)、A1C→＝(0，－ 3， 3)， 设 n＝(x，y，z)是平面 CBB1C1 的法向量， 则 n·BC→＝0 n·BB1 →＝0 ，即 x＋ 3z＝0 －x＋ 3y＝0 ， 可取 n＝( 3，1，－1)， ∴|cos〈n，A1C→〉|＝ |n·A1C→| |n||A1C→| ＝|－ 10 5 |＝ 10 5 ， - 202 - ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 . 『规律总结』 求直线与平面所成的角 (1)综合几何方法：先找(或作)出线面角，然后通过解直角三角形求．基本步骤是作图→ 证明→计算． (2)向量几何方法：设直线 l 的方向向量为 a，平面α的法向量为 n，l 与α所成的角为θ， 则 sinθ＝|a·n| |a||n| . ┃┃跟踪练习 2__■ (衡阳市 2019 届高三联考)如图 a，平面四边形 BADE 中，C 为 BE 上一点，△ABC 和△DCE 均为等边三角形，EC＝2CB＝2，M，N 分别是 EC 和 CB 的中点，将四边形 BADE 沿 BE 向上翻折 至四边形 BA′D′E 的位置，使二面角 D′－BE－D 为直二面角，如图 b 所示． (1)求证 A′A∥平面 D′MD； (2)求平面 A′AB 与平面 D′DE 所成角的正弦值． [解析] (1)在等边△D′CE 和△DCE 中，D′M⊥CE，DM⊥CE，D′M∩DM＝M， 所以直线 CE⊥平面 D′MD，即直线 BE⊥平面 D′MD，同理可证直线 BE⊥平面 A′NA，故 平面 D′MD∥平面 A′NA. 又 A′A⊂平面 A′AB，从而有 A′A∥平面 D′MD. (2)如图，以 M 为坐标原点，MD，ME，MD′所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐 标系 M－xyz，易知 M(0,0,0)，E(0,1,0)，D( 3，0,0)，D′(0,0， 3)，B(0，－2,0)，A( 3 2 ， －3 2 ，0)，A′(0，－3 2 ， 3 2 )． 设平面 A′ AB 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，由 m·BA′→ ＝0 m·BA→＝0 得 y＋ 3z＝0 3x＋y＝0 ，令 z ＝1，得 x＝1，y＝－ 3，所以平面 A′AB 的一个法向量为 m＝(1，－ 3，1)． 同理，设平面 D′DE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，由 n·ED→＝0 n·ED′→ ＝0 - 203 - 得 3x－y＝0 －y＋ 3z＝0 ， 令 z＝1，得 x＝1，y＝ 3， 所以平面 D′DE 的一个法向量为 n＝(1， 3，1)． 从而|cos〈m，n〉|＝ |m·n| |m|·|n| ＝|－1 5 |＝1 5 ， 故平面 A′AB 与平面 D′DE 所成角的正弦值为 1－ －1 5 2＝2 6 5 . 命题方向❸ 二面角 典例 3 (湖南师大附中 2019－2020 学年高二期中)已知 AO 是圆锥的高，BD 是圆 锥底面的直径，C 是底面圆周上一点，E 是 CD 的中点，平面 ABC 和平面 ACD 将圆锥截去部分 后的几何体如图所示． (1)求证：平面 AEO⊥平面 ACD； (2)若 AC＝BD＝2，BC＝ 2，求二面角 B－AC－D 的余弦值． [思路分析] (1)连结 CO，易证 EO⊥CD，AO⊥CD，从而可证明 CD⊥平面 AEO，进而可证 明平面 AEO⊥平面 ACD； (2)先证明 OB，OC，OA 两两垂直，进而建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的 方法求得二面角 B－AC－D 的余弦值即可． [规范解答] (1)连结 CO，则 CO＝OD＝1，又因为 E 是 CD 的中点，所以 EO⊥CD. 因为 AO 是圆锥的高，所以 AO⊥平面 BCD， CD⊂平面 BCD，所以 AO⊥CD， 又 AO∩EO＝O，所以 CD⊥平面 AEO， 又 CD⊂平面 ACD，所以平面 AEO⊥平面 ACD. (2)由已知可得 AB＝AD＝AC＝BD＝2，所以△ABD 为正三角形，AO＝ 3. 又因为 BC＝ 2，所以 CD＝ 2，所以 CO⊥BD. - 204 - 于是分别以 OB，OC，OA 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则 O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A(0,0， 3)，D(－1,0,0)． 则BC→＝(－1,1,0)，CA→＝(0，－1， 3)， CD→＝(－1,0,0)． 设平面 ABC 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)， 由 m·BC→＝0 m·CA→＝0 得： x1－y1＝0 y1－ 3z1＝0 . 令 z1＝1，得 y1＝ 3，x1＝ 3，即 m＝( 3， 3，1)． 设平面 ACD 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)， 由 n·CA→＝0 n·CD→＝0 得：y2－ 3z2＝2 x2＋y2＝0 ， 令 z2＝1，得 y2＝ 3，x2＝－ 3， 即 n＝(－ 3， 3，1)． 设二面角 B－AC－D 的大小为θ，由图可知，θ∈ π 2 ，π ，则|cosθ|＝| m·n |m|·|n||＝ 1 7 . 故所求二面角 B－AC－D 的余弦值为－1 7 . 『规律总结』 用向量方法求异面直线所成的角、线面角、二面角，都是转化为直线的 方向向量或平面的法向量的夹角计算问题，需注意的是①异面直线所成的角θ∈(0，π 2 ]，故 两直线的方向向量夹角α的余弦值为负时，应取其绝对值；②若直线与平面所成的角θ，直 线的方向向量和平面的法向量夹角为φ，则其关系为 sinθ＝|cosφ|；③若二面角为θ，两 平面的法向量夹角为α，则|cosθ|＝|cosα|，需分辨角θ是锐角还是钝角，可由图形观察 得出，也可由法向量特征得出． ┃┃跟踪练习 3__■ (合肥市 2019 届高三教学质量检测)在四棱锥 P－ABCD 中，BC＝BD＝DC＝2 3，AD＝AB＝ PD＝PB＝2. - 205 - (1)若点 E 为 PC 的中点，求证：BE∥平面 PAD； (2)当平面 PBD⊥平面 ABCD 时，求二面角 C－PD－B 的余弦值． [解析] (1)取 CD 的中点为 M，连接 EM，BM. 由已知得，△BCD 为等边三角形，BM⊥CD. ∵AD＝AB＝2，BD＝2 3， ∴∠ADB＝∠ABD＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∴BM∥AD. 又∵BM⊄ 平面 PAD，AD⊂平面 PAD， ∴BM∥平面 PAD. ∵E 为 PC 的中点，M 为 CD 的中点， ∴EM∥PD. 又∵EM⊄ 平面 PAD，PD⊂平面 PAD， ∴EM∥平面 PAD. ∵EM∩BM＝M， ∴平面 BEM∥平面 PAD. ∵BE⊂平面 BEM， ∴BE∥平面 PAD. (2)连接 AC，交 BD 于点 O，连接 PO，由对称性知，O 为 BD 的中点，且 AC⊥BD，PO⊥BD. ∵平面 PBD⊥平面 ABCD，PO⊥BD， ∴PO⊥平面 ABCD，PO＝AO＝1，CO＝3. 以 O 为坐标原点，OC→的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 D－xyz. 则 D(0，－ 3，0)，C(3,0,0)，P(0,0,1)． 易知平面 PBD 的一个法向量为 n1＝(1,0,0)． 设平面 PCD 的法向量为 n2＝(x，y，z)， 则 n2⊥DC→，n2⊥DP→， ∴ n2·DC→＝0 n2·DP→＝0 ， - 206 - ∵DC→＝(3， 3，0)，DP→＝(0， 3，1)， ∴ 3x＋ 3y＝0 3y＋z＝0 . 令 y＝ 3，得 x＝－1，z＝－3， ∴n2＝(－1， 3，－3)， ∴cos〈n1，n2〉＝ n1·n2 |n1|·|n2| ＝－1 13 ＝－ 13 13 . 设二面角 C－PD－B 的大小为θ，则 cosθ＝ 13 13 . 命题方向❹ 异面直线间的距离 典例 4 正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，求异面直线 A1C1 与 AB1 间的距离． [规范解答] 如图建立坐标系， 则 A(1,0,0)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)、C1(0,1,1)． ∴AB1 →＝(0,1,1)，A1C1 → ＝(－1,1,0)． 设 MN 是直线 A1C1 与 AB1 的公垂线，且AN→＝λAB1 →＝(0，λ，λ)，A1M→＝uA1C1 → ＝(－u，u,0)， 则MN→＝MA1 →＋A1A→＋AN→＝－(－u，u,0)＋(0,0，－1)＋(0，λ，λ) ＝(u，λ－u，λ－1)． 所以 MN→·A1C1 → ＝0 MN→·AB1 →＝0 ， 即 λ－2u＝0 2λ－u－1＝0 ， 解得 λ＝2 3 u＝1 3 . ∴MN→＝(1 3 ，1 3 ，－1 3 )，|MN→|＝ 3 3 . 『规律总结』 求异面直线 l 与 m 之间的距离． (一)可以找出其公垂线转化为求公垂线段的长度． - 207 - (二)可以设与异面直线都垂直的向量为 n，l、m 的方向向量 e1、e2，则由 n·e1＝0 n·e2＝0 ， 可求出 n，然后在 l、m 上各取一个已知点 A、B，则距离 d＝|AB→·n| |n| ，一般后一种方法比前一 种方法要简便． ┃┃跟踪练习 4__■ 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 A1B1、BB1 的中点，则异面直线 AM 与 CN 的距离为__ 21 7 __. [解析] 如图，分别以 AB、AD、AA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)、C(1,1,0)、N(1,0，1 2 )、M(1 2 ，0,1)，∴AM→＝(1 2 ，0,1)、CN→＝(0，－1，1 2 )，设 n ＝(x，y，z)，且 n⊥AM→，n⊥CN→， ∴n·AM→＝1 2 x＋z＝0，n·CN→＝－y＋1 2 z＝0， ∴x＝－2z，y＝1 2 z.取 z＝2，则 n＝(－4,1,2)， ∴AM 与 CN 的距离 d＝|AC→·n| |n| ＝ 21 7 . 命题方向❺ 线面距 典例 5 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 a，点 E、F 分别在 A1B、B1D1 上，且 A1E＝1 3 A1B，B1F＝1 3 B1D1. (1)求证：EF∥平面 ABC1D1； (2)求 EF 与平面 ABC1D1 的距离 d. [规范解答] (1)证明：建立如图空间直角坐标系 B－xyz，易得 E 2 3 a，0，2 3 a 、 F 1 3 a，1 3 a，a ， - 208 - 故EF→＝ －1 3 a，1 3 a，1 3 a 、BA→＝(a,0,0)、BC1 →＝(0，a，a)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ABC1D1 的法向量． 由 n·BA→＝0 n·BC1 →＝0 ，得 ax＝0 ay＋az＝0 ， 令 z＝1，得 n＝(0，－1,1)． ∵EF→·n＝ －1 3 a，1 3 a，1 3 a ·(0，－1,1)＝0， ∴EF→⊥n，由于 EF⊄ 平面 ABC1D1， 故 EF∥平面 ABC1D1. (2)解：由(1)得BE→＝ 2 3 a，0，2 3 a ， ∴BE→·n＝ 2 3 a，0，2 3 a ·(0，－1,1)＝2 3 a. ∴d＝|BE→·n| |n| ＝ 2 3 a. 『规律总结』 求线面之间的距离 先确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离转化为直线上一点到平面的距离． ┃┃跟踪练习 5__■ 已知正方形 ABCD 的边长为 1，PD⊥平面 ABCD，且 PD＝1，E、F 分别为 AB、BC 的中点．求 (1)点 D 到平面 PEF 的距离； (2)直线 AC 到平面 PEF 的距离． [解析] (1)如图，建立空间直角坐标系， 则 P(0,0,1)、A(1，0,0)、C(0,1,0)、E 1，1 2 ，0 、F 1 2 ，1，0 . 设 DH⊥平面 PEF，垂足为 H， - 209 - 则DH→＝xDE→＋yDF→＋zDP→(x＋y＋z＝1)＝ x＋1 2 y，1 2 x＋y，z ， PE→＝ 1，1 2 ，－1 ， PF→＝ 1 2 ，1，－1 .∵DH→⊥PE→， ∴DH→·PE→＝x＋1 2 y＋1 2 1 2 x＋y －z＝5 4 x＋y－z＝0.同理，由DH→⊥PF→得，x＋5 4 y－z＝0. 又∵x＋y＋z＝1，∴可解得 x＝y＝ 4 17 ，z＝ 9 17 . ∴DH→＝ 3 17 (2,2,3)，∴|DH→|＝3 17 17 . (2)设 AH′⊥平面 PEF，垂足为 H′，则AH′→ ∥DH→.设AH′→ ＝λ(2,2,3)＝(2λ，2λ， 3λ)(λ≠0)，则EH′→ ＝EA→＋AH′→ ＝ 0，－1 2 ，0 ＋(2λ，2λ，3λ)＝ 2λ，2λ－1 2 ，3λ ， ∴AH′→ ·EH′→ ＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝ 1 17 . ∴AH′→ ＝ 1 17 (2,2,3)，|AH′→ |＝ 17 17 . 而 AC∥平面 PEF，AH′→ ＝1 3 DH′→ 因此，点 D 到平面 PEF 的距离为3 17 17 . AC 到平面 PEF 的距离为 17 17 . 学科核心素养 探索性、存在性问题 以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学命题创新的一 个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐，此类问题的 基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论 是否成立．“存在”就是有，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯 定顺推”，求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法 解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解存在性问题，则思路简 单、解法固定、操作方便． 典例 6 如图所示，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC， 垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，在线段 AP 上是否存在点 M，使 得二面角 A－MC－B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由． - 210 - [思路分析] 建立空间直角坐标系，假设在线段 AP 上存在点 M，巧妙地引入参数λ(即待 定系数)，利用二面角 A－MC－B 为直二面角，把点 M 的探索问题转化为参数λ的确定，然后 通过向量运算来求出λ的值，使探索问题迎刃而解． [规范解答] 以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)， ∴PA→＝(0，－3，－4)，BC→＝(－8,0,0)，AC→＝(－4,5,0)， 设线段 AP 上存在点 M，使得二面角 A－MC－B 为直二面角， 则PM→＝λPA→(λ≠1)， ∴BM→＝BP→＋PM→＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， 设平面 BMC 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，平面 APC 的法向量 n＝(x2，y2，z2)， 由 BM→·m＝0， BC→·m＝0， 得 －4x1－ 2＋3λ y1＋ 4－4λ z1＝0， －8x1＝0， 即 x1＝0， z1＝2＋3λ 4－4λ y1， 取 y1＝1，得向量 m＝(0,1，2＋3λ 4－4λ )， 由 AP→·n＝0， AC→·n＝0， 即 3y2＋4z2＝0， －4x2＋5y2＝0， - 211 - 得 x2＝5 4 y2， z2＝－3 4 y2， 取 y2＝4，得向量 n＝(5,4，－3)， 由 m·n＝0，得 4－3·2＋3λ 4－4λ ＝0， 解得λ＝2 5 ，∴PM→＝2 5 PA→， ∴AM→＝3 5 AP→， ∴|AM→|＝3 5 |AP→|＝3 5 ×5＝3. 综上所述，存在点 M 使得二面角 A－MC－B 为直二面角，AM 的长为 3. 『规律总结』 解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结 论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成 立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立， 即不存在．如本例，把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零， 得参数λ的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题一转化为方程有无解问题． ┃┃跟踪练习 6__■ (2019·北京理，16)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA ＝AD＝CD＝2，BC＝3.E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且PF PC ＝1 3 . (1)求证：CD⊥平面 PAD. (2)求二面角 F－AE－P 的余弦值． (3)设点 G 在 PB 上，且PG PB ＝2 3 .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由． [解析] (1)证明：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD. - 212 - 又因为 AD⊥CD，PA∩AD＝A， 所以 CD⊥平面 PAD. (2)解：过点 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M. 因为 PA⊥平面 ABCD， 所以 PA⊥AM，PA⊥AD. 建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，则 A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)． 因为 E 为 PD 的中点， 所以 E(0,1,1)． 所以AE→＝(0,1,1)，PC→＝(2,2，－2)，AP→＝(0,0,2)． 所以PF→＝1 3 PC→＝ 2 3 ，2 3 ，－2 3 ， 所以AF→＝AP→＋PF→＝ 2 3 ，2 3 ，4 3 . 设平面 AEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 n·AE→＝0， n·AF→＝0， 即 y＋z＝0， 2 3 x＋2 3 y＋4 3 z＝0. 令 z＝1，则 y＝－1，x＝－1. 于是 n＝(－1，－1,1)． 又因为平面 PAD 的一个法向量为 p＝(1,0,0)， 所以|cos〈n，p〉|＝ n·p |n||p| ＝|－ 3 3 |＝ 3 3 . 由题知，二面角 F－AE－P 为锐角，所以其余弦值为 3 3 . (3)解：直线 AG 在平面 AEF 内． 理由：因为点 G 在 PB 上，且PG PB ＝2 3 ，PB→＝(2，－1，－2)， 所以PG→＝2 3 PB→＝ 4 3 ，－2 3 ，－4 3 ， 所以AG→＝AP→＋PG→＝ 4 3 ，－2 3 ，2 3 . 由(2)知，平面 AEF 的一个法向量 n＝(－1，－1,1)， 所以AG→·n＝－4 3 ＋2 3 ＋2 3 ＝0. 所以直线 AG 在平面 AEF 内． - 213 - 易混易错警示 典例 7 正三角形 ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E、F 分别是 AC 和 BC 边 的中点，现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A－DC－B(如图②)．在图②中求平面 ABD 与平面 EFD 所成二面角的余弦值． [错解] ∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD⊥BD， ∴取 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,2 3，0)、E(0， 3，1)、F(1， 3，0)． ∴平面 ABD 的法向量 m＝(0,1,0)， 设平面 EFD 的法向量为 n＝(a，b，c)， ∵DE→＝(0， 3，1)，DF→＝(1， 3，0)， 由 n·DE→＝0，n·DF→＝0 得 n＝( 3，－1，－ 3)， ∴cos〈m，n〉＝－1 7 ＝－ 7 7 ， ∴平面 ABD 与平面 EFD 所成二面角的余弦值为－ 7 7 . [辨析] 错解错因一是不注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正 还是负，二是计算粗心． [正解] 解法一：由已知 CD⊥AD，CD⊥BD， ∴∠ADB 就是直二面角 A－CD－B 的平面角， ∴AD⊥BD. 以 D 为原点建立空间直角坐标系，如图，则 D(0,0,0)、A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,2 3， 0)， E、F 分别是 AC、BC 的中点， ∴E(0， 3，1)、F(1， 3，0)． - 214 - 设 m＝(x，y，z)是平面 DEF 的一个法向量． 则 m·DE→＝0 m·DF→＝0 ，∴ 3y＋z＝0 x＋ 3y＝0 ，令 y＝1. 得 x＝－ 3 y＝1 z＝－ 3 .∴m＝(－ 3，1，－ 3)． 同理可求得平面 ABD 的一个法向量 n＝(0,1,0)， ∴|cos〈m，n〉|＝|m·n| |m||n| ＝ 1 7 ＝ 7 7 . 由图可知，平面 ABD 与平面 EFD 所成的二面角为锐二面角， ∴平面 ABD 与平面 EFD 所成的二面角的余弦值为 7 7 . 解法二：同方法一建立空间直角坐标系，则可得：AB→＝(2,0，－2)，EF→＝(1,0，－1)，AB→ ＝2EF→， ∴AB∥EF. AB⊂平面 ABD，EF⊄ 平面 ABD，∴EF∥平面 ABD， ∴EF 必平行于平面 ABD 与平面 EDF 的交线 l(即二面角的棱 l)， ∴AB∥l，分别取 AB、EF 的中点 M、N. 则 M(1,0,1)，N 1 2 ， 3，1 2 . 由DM→·AB→＝(1,0,1)·(2,0，－2)＝0. DN→·EF→＝ 1 2 ， 3，1 2 ·(1,0，－1)＝0. 得DM→⊥AB→，DN→⊥EF→，∴DM⊥l，DN⊥l. ∴∠MDN 就是所求二面角的平面角． cos〈DM→，DN→〉＝ DM→·DN→ |DM→||DN |→＝ 1 2× 7 2 ＝ 7 7 . ∴平面 ABD 与平面 EFD 所成的二面角的余弦值为 7 7 . 第 3 章 章末整合提升 网络构建·理脉落 - 215 - 知识整合·悟素养 1．空间向量的加减运算 (1)空间向量可以看作是平面向量的推广，注意空间向量的三维多向性，有许多概念的定 义是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量． (2)空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加 减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的． 2．空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一 致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线向量共面．特 别地，空间一点位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝x·AB→＋y·AC→. 3．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式 cos〈a，b〉 ＝ a·b |a|·|b| 是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2＝|a|2，a 在 b 上的投影a·b |b| 等． 4．线面位置关系 用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下． (1)线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则 a⊥b⇔a·b＝0. (3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有 - 216 - ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量将直线的方向向量线性表示． (4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 5．空间角 (1)求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为 n1，n2，那么这两条异面直线所成的角为θ＝〈n1，n2〉 或θ＝π－〈n1，n2〉，故 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|. (2)求二面角的大小 如图，设平面α，β的法向量分别为 n1，n2.因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就 等于平面α，β所成的锐二面角θ，所以 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|. (3)求斜线与平面所成的角 如图，设平面α的法向量为 n1，斜线 OA 的方向向量为 n2，斜线 OA 与平面所成的角为θ， 则 sinθ＝|cos〈n1，n2〉|. 6．空间距离 (1)用直线的方向向量与投影构造直角三角形求点线距离 (2)用法向量求点到平面的距离 已知 AB 是平面α的一条斜线，n 为平面α的法向量，B∈α，则 A 到平面α的距离为 d＝ |AB→·n| |n| . - 217 - (3)用法向量求直线到平面的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化为直线上一点到平面 的距离问题． (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离 问题转化为点到平面的距离问题． 专题突破·启智能 专题 空间向量的基本概念和几何运算 1．空间向量的加减运算 空间向量的加、减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加 减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的． 2．空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一 致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面， 特别地，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→. 3．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其变式 cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| 是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如|a|2＝a2，a 在 b 上 的投影a·b |b| 等． 典例 1 (1)在以下命题中，不正确的是__①②③⑤__. ①|a|－|b|＝|a＋b|是 a、b 共线的充要条件；②若 a∥b，则存在唯一的实数λ，使 a＝ λb；③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若OP→＝2OA→－2OB→－OC→，则 P、A、B、C 四 点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|. (2)如图，斜三棱柱 OAB－CA1B1 中向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，三个向量之间的夹角均为π 3 ， 点 M、N 分别在 CA1、BA1 上，且CM→＝1 2 MA1 →，BN→＝NA1 →，|OA→|＝2，|OB→|＝2，|OC→|＝4. - 218 - ①把向量AM→用向量 a、c 表示出来，并求|AM→|； ②把向量ON→用 a、b、c 表示； ③求 AM 与 ON 所成角的余弦值． [解析] (1)①②③⑤ (2)①AM→＝AO→＋OC→＋CM→＝－OA→＋OC→＋1 3 OA→ ＝－2 3 a＋c， 因为 a·c＝|a||c|cosπ 3 ＝2×4×1 2 ＝4， 所以AM2→＝(－2 3 a＋c)2 ＝4 9 a2－4 3 a·c＋c2 ＝4 9 ×22－4 3 ×4＋42＝16×7 9 . 所以|AM→|＝4 7 3 . ②因为BN→＝NA1 →，所以 N 为 A1B 的中点， 所以ON→＝1 2 (OA1 →＋OB→)＝1 2 (OA→＋O C→＋O B→)＝1 2 (a＋b＋c)． ③因为 a·b＝2×2×cosπ 3 ＝2，a·c＝b·c＝4， 所以 A M→·O N→＝(－2 3 a＋c)·1 2 (a＋b＋c) ＝1 2 (－2 3 a2－2 3 a·b－2 3 a·c＋a·c＋b·c＋c2) ＝1 2 (－2 3 ×4－2 3 ×2－2 3 ×4＋4＋4＋42)＝26 3 ， 又|ON→|2＝ON2→＝1 4 (a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c) ＝1 4 (22＋22＋42＋2×2＋2×4＋2×4)＝11，所以|ON→|＝ 11. - 219 - 所以 cos〈AM→，ON→〉＝ AM→·ON→ |A M→||O N→| ＝ 26 3 4 7 3 × 11 ＝13 77 154 ， 所以 AM 与 ON 所成角的余弦值为13 77 154 . 例题 2 (福州市八县市协作校 2018－2019 学年高二期末)如图，平面六面体 ABCD －A1B1C1D1 中，AC 与 BD 交于点 M，设AB→＝a，AD→＝b，AA1 →＝c，则B1M→＝( D ) A．－1 2 a－1 2 b－c B．1 2 a＋1 2 b－c C．1 2 a－1 2 b－c D．－1 2 a＋1 2 b－c [解析] B1M→＝B1B→＋BM→，BM→＝1 2 BD→，BD→＝BA→＋BC→， ∴B1M→＝－AA1 →＋1 2 (－AB→＋AD→) ＝－c－1 2 a＋1 2 b. 故选 D． 专题 空间向量的坐标运算 熟记空间向量的坐标运算公式 设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， (1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)． (2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (3)向量夹角：cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 x2 1＋y2 1＋z2 1 x2 2＋y2 2＋z2 2 . (4) 向 量 长 度 ： 设 M1(x1 ， y1 ， z1) ， M2(x2 ， y2 ， z2) ， 则 | M1M2 → | ＝ x1－x2 2＋ y1－y2 2＋ z1－z2 2. 典例 3 (1)已知 a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝1 2 x－2a，则 x＝( B ) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) (2)已知 a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)，则 cos〈a，b〉＝( A ) - 220 - A． 6 3 B． 6 6 C．1 3 D．1 6 [解析] (1)∵b＝1 2 x－2a ∴x＝2b＋4a ＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4) ＝(－8，－6，－4)＋(8,12，－16) ＝(0,6，－20) (2)a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0) ∴a＝(1， 2， 3)，b＝(1,0， 3) ∴cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ 1＋3 6×2 ＝ 6 3 . 专题 利用空间向量解决平行与垂直问题 空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系，使 用向量将几何证明与计算转化为纯代数运算，使问题得以简化． 典例 4 如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是面对角线 B1D1、A1B 上的点， 且 D1E＝2EB1，BF＝2FA1. (1)求证：直线 EF∥AC1； (2)若 EF 是两异面直线 B1D1、A1B 的公垂线，求证：该长方体为正方体． [解析] (1)证明：以 DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系．设 DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标，A(a,0,0)、C1(0，b，c)、 E(2a 3 ，2b 3 ，c)、F(a，b 3 ，2c 3 )． - 221 - 从而FE→＝(－a 3 ，b 3 ，c 3 )、AC1 →＝(－a，b，c)， ∴FE→＝1 3 AC1 →. 又 FE 与 AC1 不共线，所以直线 EF∥AC1. (2)∵D1(0,0，c)、B1(a，b，c)、A1(a,0，c)、B(a，b,0)， ∴D1B1 → ＝(a，b,0)、A1B→＝(0，b，－c)． ∵EF 是两异面直线 B1D1，A1B 的公垂线， ∴ FE→·D1B1 → ＝0 FE→·A1B→＝0 ， 即 1 3 －a，b，c· a，b，0 ＝0 1 3 －a，b，c· 0，b，－c ＝0 ， 化简，得 a2＝b2＝c2，∴a＝b＝c. 所以该长方体为正方体． 专题 利用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成的角 设 a、b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ为 l1，l2 所成的角，则 cosθ＝|cos〈a， b〉|＝|a·b| |a||b| . (2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面α的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角， 则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n| |a||n| . (3)求二面角 设 n1、n2 分别是平面α、β的法向量，二面角为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1， n2〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补)． 典例 5 (2017·全国Ⅱ理，19)如图，四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角 形且垂直于底面 ABCD，AB＝BC＝1 2 AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E 是 PD 的中点． (1)证明：直线 CE∥平面 PAB； - 222 - (2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°，求二面角 M－AB－D 的余弦值． [解析] (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF，BF. 因为 E 是 PD 的中点， 所以 EF∥AD，EF＝1 2 AD. 由∠BAD＝∠ABC＝90°得 BC∥AD， 又 BC＝1 2 AD，所以 EF BC， 四边形 BCEF 是平行四边形，CE∥BF. 又 BF⊂平面 PAB，CE⊄ 平面 PAB，故 CE∥平面 PAB. (2)解：由已知得 BA⊥AD，以 A 为坐标原点，AB→的方向为 x 轴正方向，|AB→|为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1， 3)， PC→＝(1,0，－ 3)，AB→＝(1,0,0)． 设 M(x，y，z)(0＝ －2 2 10 ＝－ 10 10 . ∴AO1 与 B1E 所成角的余弦值为 10 10 . (2)由题意得O1D→⊥AC→，AD→∥AC→. ∵C(0,3,0)，设 D(x，y,0)， ∴O1D→＝(x，y，－2)、AD→＝(x－2，y,0)、 AC→＝(－2,3,0) ∴ －2x＋3y＝0 x－2 －2 ＝y 3 ，∴ x＝18 13 y＝12 13 .∴D(18 13 ，12 13 ，0)． ∴|O1D→|＝ 18 13 －0 2＋ 12 13 －0 2＋ 0－2 2 ＝2 286 13 . 典例 8 如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的中点． (1)求证：AB1⊥平面 A1BD； (2)求二面角 A－A1D－B 的余弦值； (3)求点 C 到平面 A1BD 的距离． [思路分析] ∵△ABC 为正三角形，且平面 ABC⊥平面 BCC1B1，故可取 BC 中点 O，以 O 为 原点建立恰当的坐标系，借助向量来解决． [解析] (1)证明：如图，取 BC 的中点 O，连接 AO. 因为△ABC 为正三角形，所以 AO⊥BC. 因为在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 BCC1B1，所以 AO⊥平面 BCC1B1. - 226 - 取 B1C1 中点 O1，以 O 为原点，OB→、OO1 →、OA→的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角 坐标系， 则 B(1,0,0)、D(－1,1,0)、A1(0,2， 3)、A(0,0， 3)、B1(1,2,0)、C(－1,0,0)， 所以AB1 →＝(1,2，－ 3)、BD→＝(－2,1,0)、BA1 →＝(－1,2， 3)． 因为AB1 →·BD→＝－2＋2＋0＝0， AB1 →·BA1 →＝－1＋4－3＝0， 所以AB1 →⊥BD→，AB1 →⊥BA1 →，即 AB1⊥BD，AB1⊥BA1， 又 BD 与 BA1 交于点 B，所以 AB1⊥平面 A1BD. (2)连接 AD，设平面 A1AD 的法向量为 n＝(x，y，z)． AD→＝(－1,1，－ 3)，AA1 →＝(0,2,0)． 因为 n⊥AD→，n⊥AA1 →， 所以 n·AD→＝0 n·AA1 →＝0 ，即 －x＋y－ 3z＝0 2y＝0 ， 解之可得 y＝0 x＝－ 3z . 令 z＝1，得 n＝(－ 3，0,1)为平面 A1AD 的一个法向量． 由(1)知 AB1⊥平面 A1BD， 所以AB1 →为平面 A1BD 的法向量． cos〈n，AB1 →〉＝ n·AB1 → |n||AB1 →| ＝－ 3－ 3 2×2 2 ＝－ 6 4 ， 故二面角 A－A1D－B 的余弦值为 6 4 . (3)由(2)知AB1 →为平面 A1BD 的法向量， 因为BC→＝(－2,0,0)，AB1 →＝(1,2，－ 3)， 所以点 C 到平面 A1BD 的距离 d＝ |BC→·AB1 →| |AB1 →| ＝|－2| 2 2 ＝ 2 2 . - 227 - 即时巩固 1．若平面α∥β，则下面可以是这两个平面法向量的是( D ) A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1) B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1) D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2) [解析] ∵α∥β，∴平面α与β的法向量平行，又 n2＝(－2，－2，－2)，n1＝(1,1,1)， n2＝－2n1，n1∥n2，故选 D． 2．已知线段 MN 的两端点坐标为 M(3，－2,2)、N(1,2,2)，则线段 MN 与坐标平面( A ) A．xOy 平行 B．xOz 平行 C．yOz 平行 D．yOz 相交 [解析] MN→＝(1,2,2)－(3，－2,2)＝(－2,4,0)， ∴MN→∥平面 xOy. 3．若平面α的一个法向量为 u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为 u2＝(6，－2，z)， 且α∥β，则 y＋z＝__－3__. [解析] 由题意，得－3 6 ＝ y －2 ，∴y＝1，又－3 6 ＝2 z ，∴z＝－4，∴y＋z＝－3. 4．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝ 2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为__90°__. [解析] 取 AC 的中点 D，建立如图坐标系，设 AB＝a， 则 B( 3 2 a,0,0)、C1(0，a 2 ， 2 2 a)、A(0，－a 2 ，0)、B1( 3 2 a,0， 2 2 a)． ∴AB1 →＝( 3 2 a，a 2 ， 2 2 a)、C1B→＝( 3 2 a，－a 2 ，－ 2 2 a)． ∴cos〈AB1 →，C1B→〉＝ AB1 →·C1B→ |AB1 →||C1B→| ＝0. ∴AB1 与 C1B 所成的角为 90°. 5．(陕西汉中市汉台中学 2017－2018 学年联考)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1C1C - 228 - 是边长为 4 的正方形．平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面 ABC； (2)求二面角 A1－BC1－B1 的余弦值； (3)求点 C 到平面 A1BC1 的距离． [证明] (1)因为 AA1C1C 为正方形，所以 AA1⊥AC. 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C，且平面 ABC∩平面 AA1C1C＝AC， 所以 AA1⊥平面 ABC. (2)由(1)知，AA1⊥AC，AA1⊥AB. 由题意知 AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以 AB⊥AC. 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A－xyz，则 B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)， C1(4,0,4)． 设平面 A1BC1 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则 n·A1B→＝0， n·A1C1 → ＝0. 即 3y－4z＝0， 4x＝0， 令 z＝3，则 x＝0，y＝4，所以 n＝(0,4,3)． 同理可得，平面 B1BC1 的法向量为 m＝(3,4,0)． 所以 cos〈m，n〉＝ m·n |m|·|n| ＝16 25 . 由题知二面角 A1－BC1－B1 为锐角，所以二面角 A1－BC1－B1 的余弦值为16 25 . (3)由(2)知平面 A1BC1 的法向量为 n＝(0,4,3)，CC1 →＝(0,0,4)，所以点 C 到平面 A1BC1 距离 d＝|C1C→·n| |n| ＝12 5 - 229 -