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- 2021-06-15 发布
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绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
课标 1 理科数学
【试卷点评】
2017 年全国 1 高考数学与 2016 全国 1 高考数学难度方面相对持平,在选择题和填空题方面难度有所提
升,解答题方面难度有所减缓.在保持稳定的基础上,进行适度创新,尤其是选择填空压轴题.试卷内容上体
现新课程理念,贴近中学数学教学,坚持对基础性的考查,同时加大了综合性、应用性和创新性的考查,
如理科第 2、3、10、11、12、16、19 题,文科第 2、4、9、12、19 题.
1.体现新课标理念,重视对传统核心考点考查的同时,增加了对数学文化的考查,如理科第 2 题,文科
第 4 题以中国古代的太极图为背景,考查几何概型.
2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,
以能力考查为目的的命题要求.
3.考查了数学思想、数学能力、数学的科学与人文价值,体现了知识与能力并重、科学与人文兼顾的精
神.如理科第 6、10、13、15 题 ,文科第 5、12、13、16 题对数形结合思想的考查;理科第 11,文科第 9
题对函数与方程思想的考查;理科第 12、16 题对数学的科学与人文价值的考查.
4.体现了创新性,如理科第 19 题,文科第 19 题立意新、情景新、设问新,增强了学生数学应用意识
和创新能力.
命题趋势:(1)函数与导数知识:以函数性质为基础,考查函数与不等式综合知识,如理科第 5 题,;
以基本初等函数为背景考查构造新函数解决比较大小问题,如理科第 11 题;对含参单调性以及零点问题的
考查,如理科 21 题,比较常规.
(2)三角函数与解三角形知识:对三角函数图像与性质的考查,如理科第 9 题;;对解三角形问题的
考查,如理科第 17 题.重视对基础知识与运算能力的考查.
(3)数列知识:对数列性质的考查,如理科第 4 题;突出了数列与现实生活的联系,考查学生分析问
题的能力,如理科第 12 题,难点较大.整体考查比较平稳,没有出现偏、怪的数列相关考点.
(4)立体几何知识:对立体几何图形的认识与考查,如理科第 7 题,试题难度不大,比较常规;对简
单几何体的体积知识的考查,如理科第 16 题,用到函数知识进行解决,体现了综合性,难度较大,立体几
何解答题的考查较常规,如理科对二面角的考查.
(5)解析几何知识:对圆锥曲线综合知识的考查,如理科第 15 题,难度偏大;解答题考查较为常规,
考查直线与圆锥曲线的位置关系,难度中等,重视对学生运算能力的考查.
【试卷解析】
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.已知集合 A={x|x<1},B={x| },则
A. B.
C. D.
【答案】A
2.如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形
的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:设正方形边长为 ,则圆的半径为 ,则正方形的面积为 ,圆的面积为 .由图形的对称
性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,此点取自黑色
部分的概率是 ,选 B.
3 1x
{ | 0}A B x x A B R
{ | 1}A B x x A B
1
4
π
8
1
2
π
4
a 2
a 2a
2
4
a
2
2
1
2 4
8
a
a
秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概率
,故选 B.
【考点】几何概型
【名师点睛】对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积
或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量,最后计算 .
3.设有下面四个命题
:若复数 满足 ,则 ;
:若复数 满足 ,则 ;
:若复数 满足 ,则 ;
:若复数 ,则 .
其中的真命题为
A. B. C. D.
【答案】B
4.记 为等差数列 的前 项和.若 , ,则 的公差为
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C
【解析】
试题分析:设公差为 , , ,
1 1
4 2p
( )P A
1p z 1
z R z R
2p z 2z R z R
3p 1 2,z z 1 2z z R 1 2z z
4p z R z R
1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p
nS { }na n 4 5 24a a 6 48S { }na
d 4 5 1 1 13 4 2 7 24a a a d a d a d 6 1 1
6 56 6 15 482S a d a d
联立 解得 ,故选 C.
秒杀解析:因为 ,即 ,则 ,
即 ,解得 ,故选 C.
【考点】等差数列的基本量求解
【名师点睛】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如 为等差数列,若
,则 .
5.函数 在 单调递减,且为奇函数.若 ,则满足 的 的取值范围
是
A. B. C. D.
【答案】D
6. 展开式中 的系数为
A.15 B.20 C.30 D.35
【答案】C
【解析】
试 题 分 析 : 因 为 , 则 展 开 式 中 含 的 项 为
, 展开式中含 的项为 ,故 前系数为 ,选 C.
【考点】二项式定理
【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题,第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好 的
项共有几项,进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况,尤其是两个二项式
1
1
2 7 24 ,6 15 48
a d
a d
4d
1 6
6 3 4
6( ) 3( ) 482
a aS a a 3 4 16a a 4 5 3 4( ) ( ) 24 16 8a a a a
5 3 2 8a a d 4d
{ }na
m n p q m n p qa a a a
( )f x ( , ) ( 11)f 21 ( ) 1xf x
[ 2,2] [ 1,1] [0,4] [1,3]
6
2
1(1 )(1 )xx 2x
6 6 6
2 2
1 1(1 )(1 ) 1 (1 ) (1 )x x xx x 6(1 )x 2x
2 2 2
61 15C x x 6
2
1 (1 )xx 2x 4 4 2
62
1 15C x xx 2x 15 15 30
2x
展开式中的 不同.
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为
2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10 B.12 C.14 D.16
【答案】B
8.右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n,那么在 和 两个空白框中,可以分别填入
A.A>1 000 和 n=n+1
B.A>1 000 和 n=n+2
C.A 1 000 和 n=n+1
D.A 1 000 和 n=n+2
r
【答案】D
9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+ ),则下面结论正确的是
A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得
到曲线 C2
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得
到曲线 C2
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得
到曲线 C2
D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,
得到曲线 C2
【答案】D
【解析】
2π
3
π
6
π
12
1
2
π
6
1
2
π
12
试 题 分 析 : 因 为 函 数 名 不 同 , 所 以 先 将 利 用 诱 导 公 式 转 化 成 与 相 同 的 函 数 名 , 则
,则由 上各点的横坐标缩短到原来的 倍变为
,再将曲线向左平移 个单位得到 ,故选 D.
【考点】三角函数图像变换.
【名师点睛】对于三角函数图像变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,需要重
点记住 ;另外,在进行图像变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩
后平移在考试中经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量 而言.
10.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A、B 两点,
直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16 B.14 C.12 D.10
【答案】A
1 2,C C 2C 1C
2
2 2: sin(2 ) cos(2 ) cos(2 )3 3 2 6C y x x x 1C 1
2
sin 2y x 12
2C
sin cos( ),cos sin( )2 2
x
,所以
11.设 x、y、z 为正数,且 ,则
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
【答案】D
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数
学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,4,
1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,
21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件
的激活码是
A.440 B.330 C.220 D.110
【答案】A
【解析】试题分析:由题意得,数列如下:
2
2
2 2| | sincos ( )2
p pDE
2 2 2 2
2 2 1 1| | | | 4( )cos sin cos sin
p pAB DE
2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 sin cos4( )(cos sin ) 4(2 ) 4 (2 2) 16cos sin cos sin
2 3 5x y z
1
1,
1,2,
1,2,4,
1,2,4, ,2k
则该数列的前 项和为
要使 ,有 ,此时 ,所以 是之后的等比数列 的部分和,
即 ,
所以 ,则 ,此时 ,
对应满足的最小条件为 ,故选 A.
【考点】等差数列、等比数列的求和.
【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及
观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,学*科网本题的难点在于数列里面套数列,
第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .
【答案】
( 1)1 2 2
k kk
1( 1) 1 (1 2) (1 2 2 ) 2 22
k kk kS k
( 1) 1002
k k 14k 12 2kk 2k 11,2, ,2k
12 1 2 2 2 1t tk
2 3 14tk 5t 52 3 29k
29 30 5 4402N
2 3
14.设 x,y 满足约束条件 ,则 的最小值为 .
【答案】
15.已知双曲线 C: (a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线
C 的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°,则 C 的离心率为________.
【答案】
2 1
2 1
0
x y
x y
x y
3 2z x y
5
2 2
2 2 1x y
a b
2 3
3
【考点】双曲线的简单性质.
【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓
住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的 1 换成 0 即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是 ;③
双曲线的顶点到渐近线的距离是 .
16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O
上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以
BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变
化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.
b
ab
c
【答案】
【考点】简单几何体的体积
【名师点睛】对于三棱锥最值问题,肯定需要用到函数的思想进行解决,本题解决的关键是设好未知量,
利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是 2 次时可以利用二次函数的性质进行解决,当变
量是高次时需要用到求导得方式进行解决.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都
4 15
必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(12 分)
△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为
(1)求 sinBsinC;
(2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.
【考点】三角函数及其变换.
【名师点睛】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使
用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形
问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长
度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,
建立函数关系式,如 ,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具
2
3sin
a
A
sin( )y A x b
体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
18.(12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 .
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD;
(2)若 PA=PD=AB=DC, ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
90BAP CDP
90APD
则 ,
所以二面角 的余弦值为 .
【考点】面面垂直的证明,二面角平面角的求解
【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:①求异面直线所成的角,关键
是转化为两直线的方向向量的夹角;②求直线与平面所成的角,关键是转化直线的方向向量和平面的法向
3cos , | || | 3
< > n mn m n m
A PB C 3
3
量的夹角;③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标
是解题的关键.
19.(12 分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其
尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
.
(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件数,
求 及 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 , ,其中 为抽取
的第 个零件的尺寸, .
用样本平均数 作为 的估计值 ,用样本标准差 作为 的估计值 ,利用估计值判断是否需对当
天的生产过程进行检查?剔除 之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01).
附:若随机变量 服从正态分布 ,则 ,
, .
试题解析:(1)抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为 0.9974,从而零件的尺寸在
之外的概率为 0.0026,故 .因此
2( , )N
( 3 , 3 )
( 1)P X X
( 3 , 3 )
16
1
1 9.9716 i
i
x x
16 16
2 2 2 2
1 1
1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i
i i
s x x x x
ix
i 1,2, ,16i
x ˆ s ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )
Z 2( , )N ( 3 3 ) 0.997 4P Z
160.997 4 0.959 2 0.008 0.09
( 3 , 3 )
( 3 , 3 ) ~ (16,0.0026)X B
.
的数学期望为 .
20.(12 分)
已知椭圆 C: (a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有
三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1,证明:l 过
定点.
( 1) 1 ( 0) 1 0.9974 0.0408P X P X
X 16 0.0026 0.0416EX
2 2
2 2 =1x y
a b 3
2
3
2
(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1,k2,
如果 l 与 x 轴垂直,设 l:x=t,由题设知 ,且 ,可得 A,B 的坐标分别为(t, ),(t,
).
则 ,得 ,不符合题设.
从而可设 l: ( ).将 代入 得
由题设可知 .
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= .
而
0t | | 2t
24
2
t
24
2
t
2 2
1 2
4 2 4 2 12 2
t tk k t t
2t
y kx m 1m y kx m
2
2 14
x y
2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m
2 2=16(4 1) 0k m
2
8
4 1
km
k
2
2
4 4
4 1
m
k
1 2
1 2
1 2
1 1y yk k x x
1 2
1 2
1 1kx m kx m
x x
.
由题设 ,故 .
即 .
解得 .
当且仅当 时, ,欲使 l: ,即 ,
所以 l 过定点(2, )
【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;
证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断
过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中为告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况,接着
通法是联立方程组,求判别式、韦达定理,根据题设关系进行化简.
21.(12 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有两个零点,求 a 的取值范围.
1 2 1 2
1 2
2 ( 1)( )kx x m x x
x x
1 2 1k k 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x
2
2 2
4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1
m kmk mk k
1
2
mk
1m 0 1
2
my x m 11 ( 2)2
my x
1
2( ) ( 2)x xf x ae a e x
( )f x
( )f x
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数),直线 l 的参数方程为
.
(1)若 a=−1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 ,求 a.
【解析】试题分析:(1)先将曲线 和直线 l 化成普通方程,然后联立求出交点坐标;(2)直线 的普通
3cos ,
sin ,
x
y
4 ,
1 ,
x a t ty t
( 为参数)
17
C l
方程为 ,设 上的点 , 的距离为 .对 a 进行
讨
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围.
【解析】
4 4 0x y a C (3cos ,sin ) l | 3cos 4sin 4 |
17
ad
试 题 分 析 : ( 1 ) 将 代 入 , 不 等 式 等 价 于 , 对 按
, , 讨论,得出最值的解集;(2)当 时, .若 的解
集 包 含 ,
1a ( ) ( )f x g x 2 | 1| | 1| 4 0x x x x x
1x 1 1x 1x [ 1,1]x ( ) 2g x ( ) ( )f x g x
[ 1,1]
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