2017-2018学年湖南省三校浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二12月联考数学（理）试题 12页

‎2017-2018学年湖南省三校浏阳一中、醴陵一中、南方中学高二12月联考 理科数学试题 总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2017年12月12日 命题人： 审题人：‎ 姓名___________ 考号__________‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，要从全体运动员中抽取一个容量为28的样本来研究一个与性别有关的指标，则抽取的男运动员人数为（ ）‎ A. 12 B. 16 C. 18 D. 20‎ ‎2．下列说法中错误的是（ ）‎ A. 若命题，则.‎ B. “”是“”的充分不必要条件.‎ C. 命题“若”的逆否命题为:“若，则0”‎ D. “若，则或”是假命题.‎ ‎3．设是函数的导函数， 的图像如右图所示，则的图像最有可能的是( )‎ ‎ .‎ ‎ A B C D ‎4．若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. -7 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎5．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎6．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作，书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．已知数列是正项等比数列，若， ，数列的前项和为，则>0时 的最大值为（ ） ‎ A. 5 B. 6 C. 10 D. 11‎ ‎8．如右图在一个的二面角的棱上有两个点，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．使函数在上是增函数的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．曲线上两点关于直线对称，且，则的值为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线 对称，且当时，有（是函数的导函数)成立.若, ，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________‎ ‎14．双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率为___‎ ‎15．已知数列满足： ， ，记数列的前项之积为，则______.‎ ‎16．已知两地的距离是，按交通法规规定， 两地之间的公路车速应限制在，假设汽油的价格是6元/升，以速度行驶时，汽车的耗油率为，支付司机每小时的工资36元.‎ ‎（1）此次行车最经济的车速是___________；‎ ‎（2）如果不考虑其他费用，这次行车的总费用最小值为_________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）命题：方程表示双曲线；命题：不等式的解集为R；‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18．（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了至月份每月号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据资料：‎ 日期 月日 月日 月日 月日 月日 月日 昼夜温差 就诊人数 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这组（每个有序数对叫作一组）数据中随机选取组作为检验数据，用剩下的组数据求线性回归方程.‎ ‎（1）求选取的组数据恰好来自相邻两个月的概率；‎ ‎（2）若选取的是月和月的两组数据，请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否是理想的？‎ ‎（参考公式：回归直线方程为，其中， ）‎ ‎19．(12分)已知关于的函数．‎ ‎（）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（）设，讨论函数的单调性；‎ ‎（）若函数没有零点，求实数的取值范围．‎ ‎20．（12分）在如图所示的多面体中， 平面， 平面， ，且， 是的中点．‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）在数列中，时，其前项和满足：.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并用表示；‎ ‎（2）令，数列的前项和为求使得对所有都成立的实数的取值范围．‎ ‎22．（12分）设， 是椭圆上的两点，椭圆的离心率为，短轴长为2，已知向量， ，且， 为坐标原点.‎ ‎（1）若直线过椭圆的焦点，（为半焦距），求直线的斜率的值；‎ ‎（2）试问： 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.‎ 浏阳一中 醴陵一中 南方中学2017年下学期高二年级联考 理科数学参考答案 一．选择题：BDCDA BCADB DA 二．填空题：‎ ‎13. ； 14．； 15．； 16．(1) (2) 元 三．解答题 ‎17．解：（1）方程+=1（k∈R）表示双曲线，‎ 则（k﹣3）（k+3）＜0，即﹣3＜k＜3． …………………………………4分 ‎ （2）不等式kx2+kx+1＞0的解集为R⇔k=0或，解得：0≤k＜4．………6分 命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p、q一真一假．‎ 若p真q假：则k的范围是{k|k＜0或k≥4}∩{k|﹣3＜k＜3}=（﹣3，0）；‎ 若p假q真：则k的范围是{k|k≤﹣3或k≥3}∩{k|0≤k＜4}=[3，4）．‎ 综上，k的取值范围是：（﹣3，0）∪[3，4）． …………………………………10分 ‎18． （1）设选取的组数据恰好是相邻两个月为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的. ‎ 其中选取的组数据恰好是相邻两个月的情况有种.‎ ‎ 所以. …………………………………4分 ‎（2）由数据求得.由公式求得，‎ 再由求得：. ‎ 所以关于的线性回归方程为. …………………………………9分 ‎（3）当时，；当时，. ‎ 所以，该小组所得线性回归方程是理想的. …………………………………12分 ‎19.（）当时， ，‎ ‎，‎ ‎，∴，‎ 即在处的切线方程为．…………………………………4分 ‎（）∵‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时， 在上恒成立，‎ ‎∴在单调递增，‎ 当时，令，解得，‎ 令，解得，‎ ‎∴在单调递增，在单调递减．…………………………………8分 ‎（）∵没有零点，‎ 即无解， ∴与两图象无交点，‎ 设两图象相切于点，‎ ‎∴， ∴， ．‎ ‎∵两图象无交点， ∴ …………………………………12分 ‎20．（1）证明：∵， 是的中点，‎ ‎∴，‎ 又平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴． …………………………………4分 ‎ （2）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：‎ ‎， ， ， ， ，‎ ‎， ， ， ，‎ 设平面的一个法向量，‎ 则： ，‎ 取， ， ，所以，‎ 设平面的一个法向量，则：‎ 取， ， ，所以，‎ ‎．‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ……………………………8分 ‎（3）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，‎ 设且， ，‎ ‎∴，‎ ‎∴， ， ，‎ ‎∴，‎ 若直线与平面所成的的角为，则： ‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，‎ 点为棱的中点． …………………………………12分 ‎21．（1）当时，‎ ‎，即数列是等差数列，…………………………………4分 首项，公差 ‎ ………………………………6分 ‎（2）‎ ‎………9分 由题即 对于所有都成立 设由题 函数在上是减函数，在上是增函数 故数列从第二项起递减，而，‎ 满足题意的实数的取值范围为. ………………………………12分 ‎ 22．（1）由题可得： ， ，所以，椭圆的方程为……………2分 设的方程为： ，代入得： ‎ ‎∴， ， ‎ ‎∵，∴，即： ‎ 即，解得： …………………6分 ‎ （2）①直线斜率不存在时，即， ‎ ‎∵ ∴，即 又∵点在椭圆上 ∴，即 ‎∴， ‎ ‎∴，故的面积为定值1…………………………8分 ‎②当直线斜率存在时，设的方程为，‎ 联立得： ‎ ‎∴， ， ‎ ‎∵，∴，即： ‎ 即：‎ 化简得：‎ ‎∴ ‎ ‎=‎ 所以三角形的面积为定值1. …………………………………12分 ‎ ‎