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  • 2021-06-15 发布

上海市育才中学2019届高三下学期三模考试数学试卷

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育才中学高三模拟考数学试卷 一. 填空题 ‎1.不等式的解为 。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】由,可得 ‎ 即 ‎ 所以不等式的解为或 ‎2.已知直线垂直于平面直角坐标系中的轴,则的倾斜角为________‎ ‎【答案】0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线垂直于轴,可得出直线的倾斜角.‎ ‎【详解】由于直线垂直于平面直角坐标系中的轴,所以,直线的倾斜角为,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的概念,在直线的倾斜角中,规定与轴垂直的直线的倾斜角为,与轴垂直的直线的倾斜角为,意在考查学生对于倾斜角概念的理解,属于基础题.‎ ‎3.函数反函数是________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由解出,可得出所求函数的反函数.‎ ‎【详解】由,得,则有,,‎ 因此,函数的反函数为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查反函数的求解,熟悉反函数的求解是解本题的关键,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎4.若角的终边经过点,则的值为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求出的值,然后利用反三角函数的定义得出的值.‎ ‎【详解】由三角函数的定义可得,,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义,解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎5.方程的解为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求行列式的方法化简得,这是一个关于的二次方程,将看成整体进行求解即可.‎ ‎【详解】方程, ‎ 等价于,‎ 即,‎ 化为 或(舍去),‎ ‎,故答案为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于基础题.‎ ‎6.由参数方程为参数,所表示的曲线的右焦点坐标为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线的参数方程化为普通方程,确定曲线的形状,然后求出曲线的右焦点坐标.‎ ‎【详解】,由,得,所以,,‎ 即曲线的普通方程为,该曲线为双曲线,其右焦点坐标为,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解,考查参数方程与普通方程之间的转化,解参数方程问题,通常将曲线的参数方程化为普通方程,确定曲线的形状并进行求解,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎7.平面直角坐标系内有点,,,,将四边形绕直线旋转一周,所得到几何体的体积为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用图形判断出四边形是矩形,且边位于直线上,旋转后形成圆柱,然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.‎ ‎【详解】如下图所示,四边形是矩形,且边位于直线上,且,,‎ 将四边形绕着直线旋转一周,形成的几何体是圆柱,且该圆柱的底面半径为,高为,因此,该几何体的体积为,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查旋转体体积的计算,考查圆柱体积的计算,解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状,考查空间想象能力,属于中等题.‎ ‎8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名,则交大和浙大不同时被选中的概率为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率,再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.‎ ‎【详解】由题意知,事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”,‎ 由古典概型的概率公式得知,事件“交大和浙大同时被选中”的概率为,‎ 由对立事件的概率知,事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率,在求解事件的概率时,若分类讨论比较比较繁琐,可考虑利用对立事件的概率来进行计算,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎9.已知且,设函数的最大值为1,则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上单调递增,且结合题中条件得出函数在上单调递减,且,于此列出不等式组求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知,函数在上单调递增,且,‎ 由于函数的最大值为,‎ 则函数在上单调递减且,‎ 则有,即,解得,‎ 因此,实数的取值范围是,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的最值,解题时要考查分段函数每支的单调性,还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎10.对于给定的复数,若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆,则的取值范围是________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义,判断出在复平面对应的点的轨迹方程,作出图形,结合图形得出的取值范围.‎ ‎【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆,‎ 则,即复数在复平面内对应的点到点的距离小于,‎ 所以,复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心,半径长为的圆的内部,‎ 的取值范围是,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数对应的点的轨迹方程,结合椭圆的定义加以理解,考查数形结合思想,属于中等题.‎ ‎11.等差数列中,,,(),则数列的公差为________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为,由,可计算出的值,由此可得出数列的公差.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,则,‎ 又,,则,‎ ‎,即数列的公差为,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,对于等差数列基本量的计算,通常利用首项和公差建立方程组求解,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎12.已知平面直角坐标系中两点、,为原点,有.设、、是平面曲线上任意三点,则的最大值为________‎ ‎【答案】20.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆方程化为标准方程,得出圆心坐标和半径长,由题意得 ‎,转化为圆内接四边形中正方形的面积最大,即可得出的最大值.‎ ‎【详解】将圆的方程化为标准方程得,圆心坐标为,半径长为,‎ ‎,‎ 由于圆内接四边形中,正方形的面积最大,‎ 所以,当四边形为正方形时,取最大值,此时正方形的边长为,‎ 所以,,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查圆的几何性质,考查圆内接四边形面积的最值问题,解题时要充分利用题中代数式的几何意义,利用数形结合思想进行转化,另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.‎ 二. 选择题 ‎13.已知非空集合满足,给出以下四个命题:‎ ‎①若任取,则是必然事件 ②若,则是不可能事件 ‎③若任取,则是随机事件 ④若,则是必然事件 其中正确的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合的包含关系可得中的任何一个元素都是中的元素,中至少有一个元素不在中,结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念,即可判断正确的个数 ‎【详解】非空集合、满足,可得中的任何一个元素都是中的元素,中至少有一个元素不在中,①若任取,则是必然事件,故①正确;②若,则是可能事件,故②不正确;③若任取,则是随机事件,故③正确;④若,则是必然事件,故④正确.其中正确的个数为3,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的包含关系,以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断,考查判断能力,属于基础题.‎ ‎14.已知数列为等差数列,数列满足,,,.,则数列的公差 d为( ).‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】注意到 ,‎ 则 从而,d=4.选D.‎ ‎15.正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面的基本性质,得到几何体的直观图,然后判断左视图即可.‎ ‎【详解】由题意可知:过点、、的平面截去该正方体的上半部分,如图直观图,则几何体的左视图为D,故选D.‎ ‎【点睛】本题考查简单几何体的三视图,解题的关键是得到直观图,是基本知识的考查.‎ ‎16.如图所示,向量的模是向量的模的倍,与的夹角为,那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内,设起始向量,向量经过次变换得到的向量为,其中、、为逆时针排列,记坐标为,则下列命题中不正确的是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用变换的定义,推导出的向量坐标,求出、的表达式,然后进行验算即可.‎ ‎【详解】,经过一次变换后得到,‎ 点,,,A选项正确;‎ 由题意知 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,‎ ‎,‎ ‎,B选项正确;‎ ‎ ,‎ C选项正确;‎ ‎,‎ D选项错误.故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查新定义,首先应理解题中的新定义,转化为已有的知识来解决,本题的实质是考查向量的坐标运算,难度较大.‎ 三. 解答题 ‎17.已知圆柱的底面半径为r,上底面圆心为O,正六边形ABCDEF内接于下底面圆,OA与母线所成角为.‎ ‎(1)试用r表示圆柱的表面积S;‎ ‎(2)若圆柱体积为,求点C到平面OEF的距离.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用与母线所成的角为求出,计算出圆柱的侧面积和底面积,即可得出圆柱的表面积;‎ ‎(2)由圆柱的体积求出与的值,再利用等体积法计算出点到平面的距离.‎ ‎【详解】(1)由于与圆柱的母线成的角,则,,‎ 所以,圆柱的表面积为;‎ ‎(2),,,设点到平面的距离为,‎ 由题意知,,,‎ ‎,,‎ 所以,,易得的面积为,‎ 由,,,‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱表面积的计算,考查点到平面距离的计算,要根据题中的角转化为边长关系进行计算,在计算点到平面的距离时,一般利用等体积法进行转化求解,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎18.若的图像的最高点都在直线 上,并且任意相邻两个最高点之间的距离为.‎ ‎(1)求和的值:‎ ‎(2)在中,分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用二倍角的正弦函数公式化简,再由正弦函数的性质求得和的值;(2)由是函数图象的一个对称中心求得值,再由正弦定理求得外接圆半径,则外接圆的面积可求.‎ ‎【详解】(1) ‎ 由题意知,函数的周期为,且最大值为,所以.‎ ‎(2) 是函数图像的一个对称中心,所以,又因为的内角,所以,‎ 在中,设外接圆半径为,由得 所以的外接圆的面积 ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式,以及正弦定理的应用,熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.‎ ‎19.已知函数,其中,且,且 ‎(1)若,试判断的奇偶性;‎ ‎(2)若,,,证明的图像是轴对称图形,并求出对称轴.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)函数的图像是轴对称图形,其对称轴是直线.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由得出,于是得出,利用偶函数的定义得出,利用奇函数的定义得出,于是得出当时,函数为非奇非偶函数;‎ ‎(2)先得出,并设函数图象的对称轴为直线,利用定义,列等式求出的值,即可而出函数图象的对称轴方程.‎ ‎【详解】(1)由已知,,于是,则,‎ 若是偶函数,则,即,‎ 所以对任意实数恒成立,所以.‎ 若是奇函数,则,即,‎ 所以对任意实数恒成立,所以.‎ 综上,当时,是偶函数;‎ 当时,奇函数,当,既不是奇函数也不是偶函数;‎ ‎(2),若函数的图像是轴对称图形,且对称轴是直线,即对任意实数,恒成立,‎ ‎,化简得,‎ 因为上式对任意成立,所以,,.‎ 所以,函数的图像是轴对称图形,其对称轴是直线.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性的定义,考查函数对称性的求解法,解题的关键要从函数奇偶性的定义以及对称性定义列式求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题.‎ ‎20.已知两动圆和(),把它们的公共点的轨迹记为曲线,若曲线与轴的正半轴的交点为,且曲线上的相异两点满足:.‎ ‎(1)求曲线的轨迹方程;‎ ‎(2)证明直线恒经过一定点,并求此定点的坐标;‎ ‎(3)求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设两动圆的公共点为,由椭圆定义得出曲线是椭圆,并得出、、的值,即可得出曲线的方程;‎ ‎(2)求出点,设点,,对直线的斜率是否存在分两种情况讨论,在斜率存在时,设直线的方程为,并将该直线方程与椭圆的方程联立,列出韦达定理,结合条件并代入韦达定理求出的值,可得出直线所过点的坐标,在直线的斜率不存在时,可得出直线的方程为,结合这两种情况得出直线所过定点坐标;‎ ‎(3)利用韦达定理求出面积关于的表达式,换元,然后利用基本不等式求出的最大值.‎ ‎【详解】(1)设两动圆的公共点为,则有:.‎ 由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆,,,所以曲线的方程是:;‎ ‎(2)由题意可知:,设,,‎ 当的斜率存在时,设直线,联立方程组:‎ ‎,把②代入①有:,‎ ‎ ③,④,‎ 因为,所以有,‎ ‎,把③④代入整理:‎ ‎,(有公因式)继续化简得:‎ ‎,或(舍),‎ 当的斜率不存在时,易知满足条件的直线为:‎ 过定点,综上,直线恒过定点;‎ ‎(3)面积,‎ 由第(2)小题的③④代入,整理得:,‎ 因在椭圆内部,所以,可设,‎ ‎ ,,(时取到最大值).‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程,考查直线过定点问题以及三角形面积问题,对于这些问题的处理,通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立,结合韦达定理设而不求法求解,难点在于计算量,易出错.‎ ‎21.已知无穷数列的前n项和为,记,,…,中奇数的个数为.‎ ‎(Ⅰ)若= n,请写出数列的前5项;‎ ‎(Ⅱ)求证:"为奇数, (i = 2,3,4,)为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件;‎ ‎(Ⅲ)若,i=1, 2, 3,…,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)代入的值,即可求得,,,,. ‎ ‎(Ⅱ)根据题意,先证充分性和不必要性,分别作出证明.‎ ‎(Ⅲ)分当为奇数和当为偶数,两种情况进而推导数列的通项公式.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)解:,,,,. ‎ ‎(Ⅱ)证明:(充分性)‎ 因为为奇数,为偶数,‎ 所以,对于任意,都为奇数. ‎ 所以. ‎ 所以数列是单调递增数列. ‎ ‎(不必要性)‎ 当数列中只有是奇数,其余项都是偶数时,为偶数,均为奇数,‎ 所以,数列是单调递增数列. ‎ 所以“为奇数,为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件; ‎ 综上所述,“为奇数,为偶数”是“数列是单调递增数列” 的充分不必要条件.‎ ‎(Ⅲ)解:(1)当为奇数时,‎ 如果为偶数,‎ 若为奇数,则为奇数,所以为偶数,与矛盾;‎ 若为偶数,则为偶数,所以为奇数,与矛盾.‎ 所以当为奇数时,不能为偶数. ‎ ‎(2)当为偶数时, ‎ 如果为奇数,‎ 若为奇数,则为偶数,所以为偶数,与矛盾;‎ 若为偶数,则为奇数,所以为奇数,与矛盾.‎ 所以当为偶数时,不能为奇数. ‎ 综上可得与同奇偶.‎ 所以为偶数.‎ 因为为偶数,所以为偶数. ‎ 因为为偶数,且,所以.‎ 因为,且,所以. ‎ 以此类推,可得. ‎ 点睛:本题考查学生对新定义理解能力和使用能力,本题属于偏难问题,反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力,本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法,即考查了数列求值,又考查了归纳法证明和对数据的分析研究,考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力,本题属于拔高难题,特别是第二两步难度较大,适合选拔优秀学生.‎ ‎ ‎

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