2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数的除法运算求出Z，进而求出Z的模即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵（3﹣i）Z＝1﹣i，‎ ‎∴Zi，‎ 故|Z|，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．‎ ‎2．下列关于古典概型的说法中正确的是( ) ‎ ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎②每个事件出现的可能性相等；‎ ‎③每个基本事件出现的可能性相等；‎ ‎④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则.‎ A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式直接求解．‎ ‎【详解】‎ 在①中，由随机试验的定义知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确；‎ 在②中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；‎ 在③中，由随机试验的定义知：每个基本事件出现的可能性相等，故③正确；‎ 在④中，基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知P（A），故④正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意随机试验的概念及古典概型及其概率计算公式的合理运用．‎ ‎3．153和119的最大公约数是（ ）‎ A．153 B．119 C．34 D．17‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用两个数中较大的一个除以较小的数字，得到商是1，余数是34，用119除以34，得到商是3，余数是17，…，直到余数为0，从而得出两个数字的最大公约数是17．‎ ‎【详解】‎ ‎∵153÷119=1…34，‎ ‎119÷34=3…17，‎ ‎34÷17=2，‎ ‎∴153与119的最大公约数是17．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了用辗转相除法求两个数的最大公约数的运用，属于基础题，解答此题的关键是熟练的掌握辗转相除求最大公约数的方法．‎ ‎4．利用秦九韶算法求当时的值为 A．121 B．321 C．283 D．239‎ ‎【答案】C ‎【解析】把条件中的函数式改写为f(x)=(((x+0)x+2)x+3)x+1)x+1，然后逐步计算出x=3时对应的函数值即可．‎ ‎【详解】‎ 将函数式变形成一次式的形式可得．‎ 当x=3时，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以当x=3时，f(x)=283．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求的值转化为求递推公式：‎ ‎ ‎ 这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．‎ ‎（2）运用秦秋韶算法求值时要注意解题的格式，要重视解题的规范性和计算的准确性．‎ ‎5．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽取60名学生的成绩（均为整数），其成绩的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数，众数和平均数分别是（ ）‎ A．73.3，75，72 B．73.3，80，73‎ C．70，70 ，76 D．70，75，75‎ ‎【答案】A ‎【解析】由频率分布直方图，求出这组数据的中位数、众数和平均数．‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图知，小于70的有24人，大于80的有18人，‎ 则在[70，80]之间18人，所以中位数为7073.3；‎ 众数就是分布图里最高的小矩形底边的中点，即[70，80]的中点横坐标，是75；‎ 平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05＝72．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数和众数的应用问题，是基础题．‎ ‎6．某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为l到24,现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，著抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：系统抽样的抽取间隔为，设抽到的最小编号为x，则，‎ ‎∴.‎ ‎【考点】系统抽样.‎ ‎7．在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设阴影部分的面积约为S，由几何概型可得，解之可得．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得正方形的面积为2×2＝4，设阴影部分的面积约为S，‎ 则由几何概型可得，解得S 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型，考查模拟方法估计概率，属基础题．‎ ‎8．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心（，）‎ C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg ‎【答案】D ‎【解析】根据y与x的线性回归方程为 y=0.85x﹣85.71，则 ‎=0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A正确；‎ 回归直线过样本点的中心（），B正确；‎ 该大学某女生身高增加 1cm，预测其体重约增加 0.85kg，C正确；‎ 该大学某女生身高为 170cm，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg，D错误．‎ 故选：D．‎ ‎9．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：将张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有 种取法，所以概率为，故选C.‎ ‎【考点】古典概型及其概率的计算.‎ ‎10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）‎ A．252 B．279 C．243 D．900‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．‎ ‎【详解】‎ 用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，‎ 其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8＝648，‎ 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648＝252．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎11．将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(　　)‎ A．288种 B．144种 C．576种 D．96种 ‎【答案】C ‎【解析】依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576种．‎ 故答案为：C.‎ 二、填空题 ‎12．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 ‎ ‎ A．A B．B C．C D．D ‎【答案】B ‎【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．‎ ‎【详解】‎ 程序运行过程中，各变量值如下表所示：‎ 第1次循环：S＝1，i＝4，‎ 第2次循环：S＝1，i＝8，‎ 第3次循环：S＝1，i＝16，…‎ 依此类推，第7次循环：S＝1，i＝256，‎ 此时不满足条件，退出循环，‎ 其中判断框内①应填入的条件是：i≤128？，‎ 执行框②应填入：s＝s，‎ ‎③应填入：i＝2i．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键．‎ ‎13．将二进制数化为八进制数，结果为___．‎ ‎【答案】55‎ ‎【解析】101101（2）转化为十进制为101101（2）=，而，故 ‎45（10）转化为八进制可得．故答案为：．‎ ‎14．A、B两人进行一局围棋比赛，A获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.‎ 例如，产生30组随机数：034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，据此估计B获胜的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由30组别的随机数，采用三局两胜制，利用列举法得到B获胜满足的基本事件有2个，由此能求出B获胜的概率．‎ ‎【详解】‎ 由30组别的随机数，采用三局两胜制得到B获胜满足的基本事件有：‎ ‎698，959，共2个，‎ ‎∴B获胜的概率为p．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查列举法、古典概率性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎15．200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为__________辆.‎ ‎【答案】76‎ ‎【解析】试题分析：时速超过60km/h的汽车数量为：。‎ ‎【考点】频率分布直方图。‎ 点评：在频率分布直方图中，小长方形的面积就是这组数据的频率。属于基础题型。‎ ‎16．为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的 情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：‎ ‎ ⑴你的学号是奇数吗？⑵在过路口时你是否闯过红灯？‎ 要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题。被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答。结果被调查的800人（学号从1至800）中有240人回答了“是”.由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是__________‎ ‎【答案】80‎ ‎【解析】在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问400次，在被询问的400人中有200人学号是奇数，比200人多出来的人数就是闯过红灯的人数．‎ ‎【详解】‎ 要调查800名学生，‎ 在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，‎ ‎∴第一个问题可能被询问400次，‎ ‎∵在被询问的400人中有200人学号是奇数，‎ 而有240人回答了“是”，‎ ‎∴估计有40个人闯过红灯，‎ 在400人中有40个人闯过红灯，‎ ‎∴根据概率的知识来计算这800人中有过闯过红灯的人数为80．‎ 故答案为：80．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了实际推断原理和假设检验应用问题，是基础题，由于题干较长，弄懂题意是解题的关键．‎ 三、解答题 ‎17．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.‎ ‎(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎【答案】(I). (II)‎ ‎【解析】试题分析：解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：‎ 红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，‎ 红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.‎ 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故 所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，‎ 多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，‎ 其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，‎ 所以概率为.‎ ‎【考点】古典概型 点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题。‎ ‎18．某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲 ‎11．6‎ ‎12．2‎ ‎13．2‎ ‎13．9‎ ‎14．0‎ ‎11．5‎ ‎13．1‎ ‎14．5‎ ‎11．7‎ ‎14．3‎ 乙 ‎12．3‎ ‎13．3‎ ‎14．3‎ ‎11．7‎ ‎12．0‎ ‎12．8‎ ‎13．2‎ ‎13．8‎ ‎14．1‎ ‎12．5‎ ‎（I）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．‎ ‎（Ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12．8秒差的概率．‎ ‎（Ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于秒的概率．‎ ‎【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）.‎ ‎【解析】（I）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据． （II）设事件A为：甲的成绩不比12．8秒差，事件B为：乙的成绩不比12．8秒差，据此整理计算即可求得最终结果.‎ ‎（III）设中设甲同学的成绩为x，乙同学的成绩为y，则|x-y|＜0.8，如图阴影部分面积我们可以求出它所表示的平面区域的面积，再求出甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8分对应的平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）茎叶图，如图所示，‎ 从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，‎ 应选派乙同学代表班级参加比赛更好； ‎ ‎（Ⅱ）设事件A为：甲的成绩不比12．8秒差，事件B为：乙的成绩不比12．8秒差，‎ 则甲、乙两人成绩至少有一个比秒差的概率为：‎ ‎ 。‎ ‎（Ⅲ）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，‎ 则，得，如图阴影部分面积即为 ‎，则 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，几何概型及其概率计算公式，茎叶图，是统计和概率知识的综合考查，熟练掌握古典概型及几何概型求解概率的方法和步骤是解答本题的关键．‎ ‎19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ 表中 ，‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据,，……，,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ ‎，‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）；（Ⅲ）年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出结论，建立线性回归方程，求出d、c的值；‎ ‎（Ⅱ）先建立中间量，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；‎ ‎（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）计算年销售量y的预报值与利润值；‎ ‎（ii）根据（Ⅱ）的结果求出年利润z的函数，求出年利润的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．‎ ‎(Ⅱ)令，先建立y关于w的线性回归方程．‎ 由于，，‎ 所以y关于w的线性回归方程为，‎ 因此y关于x的回归方程为.‎ ‎(Ⅲ)（i）由(Ⅱ)知， 当x＝49时，年销售量y的预报值，‎ 年利润z的预报值.‎ ‎（ii）根据(Ⅱ)的结果知，年利润z的预报值.‎ 所以当，即x＝46.24时， 取得最大值．‎ 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．‎ ‎【点睛】‎ 求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20．如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;‎ ‎（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点， 的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值来求解与平面所成角的正弦值．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得.‎ 取的中点，连接，由为中点知，.‎ 又，故，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且 ‎.‎ 以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，‎ ‎，，，，‎ ‎， ， .‎ 设为平面的一个法向量，则 即 可取.‎ 于是.‎ ‎【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．‎ ‎【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．‎ ‎21．如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥,,点在线段上．‎ ‎（I）当点为中点时，求证：∥平面；‎ ‎（II）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥 的体积．‎ ‎【答案】（I）建立空间直角坐标系，证明，进而得证；（II）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（I ）以直线DA,BC,DE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则,所以，‎ 所以， 2分 又是平面的一个法向量，,所以,‎ 所以∥平面. 4分 ‎（II）设，则，又，‎ 则，，‎ 取 得 ， 即 ，‎ 又由题设，是平面的一个法向量， 8分 ‎∴ 10分 即点为中点，此时，，为三棱锥的高，‎ ‎∴ . 12分 ‎【考点】本小题主要考查线面平行，二面角，三棱锥的体积计算.‎ 点评：解决立体几何问题，可以用相关的定理证明，也可以用空间向量证明，利用空间向量也要依据相应的判定定理和性质定理，并且要注意各个角的取值范围.‎ ‎22．设点为椭圆的左焦点，直线被椭圆截得弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）圆与椭圆交于两点， 为线段上任意一点，直线交椭圆于两点为圆的直径，且直线的斜率大于，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先直线方程和椭圆方程联立，然后根据对称可知，弦长为 ，最后代入联立的结果，可得 ；（2）首先设 ， 根据点差法，以及中点坐标公式，得到 ,并且得到直线的方程，联立椭圆方程得到点 的坐标，并且得到直线的斜率，设，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，并且代入 ,表示为的函数求值域.‎ 试题解析：（1）由，得，故，解得，‎ 故椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设，则，又， ‎ 所以，则，故，‎ 则直线的方程为，即，代入椭圆的方程并整理得，‎ 则，故直线的斜率， ‎ 设，由，得，‎ 设，则有， ‎ 又，‎ 所以 ‎， ‎ 因为，所以，‎ 即的取值范围是．‎