2018-2019学年重庆市万州二中高二上学期期中考试数学试题 解析版 21页

绝密★启用前 重庆市万州二中2018-2019学年高二期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角.‎ ‎【详解】‎ 由直线,‎ 可得直线的斜率为，‎ 直线倾斜角的正切值是，‎ 又倾斜角大于或等于且小于，‎ 故直线的倾斜角为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线方程与直线的斜率、倾斜角，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎2．已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直观图和原图的面积之间的关系 ，直接求解即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 且若△A′B′C′的面积为，‎ 那么△ABC的面积为 ，‎ 故答案为：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本概念、基本运算的考查．‎ ‎3．在长方体中，，则异面直线所成角的余弦值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在长方体中，连接，可得,得即为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】‎ 在长方体中，连接，可得,‎ 所以异面直线与所成的角，即为直线与直线所成的角，‎ 即为异面直线与所成的角，‎ 在长方体中，设，‎ 则，‎ 在中，由余弦定理得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中异面直线所成角的求解，其中根据异面直线所成角的定义，得到为异面直线与所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于基础题.‎ ‎4．设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ）‎ A． 若则 B． 若则 C． 若则 D． 若则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．‎ ‎【详解】‎ 由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：‎ 在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；‎ 在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；‎ 在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；‎ 在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎5．已知直线平行，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． 或 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．‎ ‎【详解】‎ 当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；‎ 当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；‎ 当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，‎ ‎∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．‎ 综上可得：m=﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 三视图中有两个三角形则一般为锥体，另一图为半圆，则为半个圆锥，所以表面积为一个半圆、一个三角形、一个扇形，根据图像中的长度结合面积公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，‎ 则该几何体的表面积为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图还原以及表面积的求法，注意熟练掌握还原方法与公式，求面积时要考虑全面，注意面积公式的正确运用.‎ ‎7．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为(　　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】点关于轴的对称点为，‎ 反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线过圆心，‎ 由反射原理结合题意可知，反射光线过点，‎ 据此可得，发生关系的斜率：，‎ 反射光线所在的方程为：，‎ 整理为一般式即：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8．若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有两条直线与圆相切，则点在圆外，而且还要满足圆自身的限制条件 ‎【详解】‎ 由已知圆的方程满足，则解得；过点有两条直线与圆相切，则点在圆外，代入有，解得，综上实数的取值范围 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点与圆的位置关系，理解过已知点总能作圆的两条切线，得到点应在已知圆的外部是解本题的关键 ‎9．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )‎ A． B． 或 ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立可解得交点坐标（x，y），由于直线与直线y=﹣x+2的交点位于第一象限，可得，解得即可．‎ ‎【详解】‎ 联立，解得,‎ ‎∵直线y=kx+2k+1与直线y=﹣x+2的交点位于第一象限，‎ ‎∴，解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的交点、不等式的解法，属于基础题．考查了点在不同象限的点坐标的特点，第一象限横纵坐标都大于0，第二象限横坐标大于0纵坐标小于0，第三象限横纵坐标都小于0，第四象限横坐标大于0纵坐标小于0.‎ ‎10．如图，将边长为2的正方体沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，错误的为( )‎ A． 直线平面 B． ‎ C． 三棱锥的外接球的半径为 D． 若为的中点，则平面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A正确；对于B选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行.‎ ‎【详解】‎ 因为ABCD是正方形，故得到,折叠之后得到，, ‎ 故得到BD面,进而得到A选项正确；‎ 假设，又因为D，进而得到面,则,三角形,BC=2=不可能满足直角关系，故B错误.‎ 三棱锥，的外接球的球心在O点处，因为OC=OD=OB=O，此时球的半径为OC=；故C正确；‎ 若为的中点，则,OE在平面内，故得到平面，D正确；‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 直线与平面垂直的概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：.‎ ‎11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，⊥平面, ，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解底图形角ABC为直角，底面外接圆的圆心是斜边AC的中点，PA⊥平面ABC，球心在过底面圆心并且和PA平行的直线上，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=2，因为平面ABC，和平面PBC都是是直角三角形，则角ABC为直角，此时满足BC垂直于PA，BC垂直于AB进而得到BC垂直于PB，此时满足面PBC为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边AC的中点，球心在过底面圆心并且和PA平行的直线上，并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为r=．‎ ‎∴R2=r2+1，‎ 即R=．‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=12π．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ ‎12．设a，则的最小值为( )‎ A． 11 B． 121 C． 9 D． 81‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将式子调整得到表示的是圆心在原点的单位圆上的点，得到原式表示为圆上的点到直线的距离的平方的值,最小时即圆心到直线的距离减半径.‎ ‎【详解】‎ 原式子化为,这个式子表示的是点到点的距离的平方，点在直线 上，点表示的是圆心在原点的单位圆上的点，得到原式表示为圆上的点到直线的距离的平方的值，最小值为平方为81.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了参数方程的应用，以及学生对问题的转化能力，其中也应用到了直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知空间两点，，则它们之间的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用空间两点间距离公式求解即可．‎ ‎【详解】‎ 空间两点，，则它们之间的距离为： ．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间两点间距离构公式的应用，基本知识的考查．‎ ‎14．已知直线截圆所得的弦的中点坐标为，则弦的垂直平分线方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据弦垂直平分线经过圆心的性质，求得直线方程。‎ ‎【详解】‎ AB的垂直平分线必经过圆心，圆心坐标为 ‎ 所以设垂直平分线方程为 ，则 ‎ ，解得 ‎ 所以直线方程为，即 ‎【点睛】‎ 本题考查了弦、垂直平分线的关系和求法，点斜式的应用，属于基础题。‎ ‎15．在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论．‎ 详解：连结AC，‎ 则AC是A1C在平面ABCD上的射影，‎ 则∠A1CA即为直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值，‎ 设正方体的棱长为1，‎ 则，‎ 则，‎ 点晴：本题需要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可 ‎16．在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到设点的坐标为，∵，∴，整理得，进而得到点Q的轨迹，再由两圆的位置关系得到 ‎，进而得到参数的范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意得圆的圆心为，半径为1．‎ 设点的坐标为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．‎ 由题意得圆和点Q的轨迹有公共点，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知圆．‎ ‎（）求与圆相切，且在轴、轴上的截距相等的直线方程．‎ ‎（）已知过点的直线交圆于、两点，且，求直线的方程．‎ ‎【答案】）（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（‎ ‎）设出直线的截距式方程，利用圆心到直线的距离等于半径进行求解；（）设出直线的点斜式方程，利用圆心到直线的距离、弦长公式进行求解.‎ 试题解析：（）①若直线过原点，设为，圆心为，半径为，则由与圆相切，可得，解得，‎ 此时直线方程为．‎ ‎②若直线不过原点，设为，‎ 则，‎ 解得或，‎ 此时直线方程为或，‎ 综上所述，直线方程为或．‎ ‎（）①若斜率不存在，则直线方程为，‎ 弦长距，半径为，‎ 则，符合题意．‎ ‎②若斜率存在，设直线方程为，‎ 弦心距得，‎ 解得，‎ 综上所述，直线的方程为或.‎ 点睛：本题考查直线和圆的位置关系；在处理直线和圆的位置关系时，往往要先设出直线的方程，常利用条件设直线的点斜式方程、斜截式方程，但要讨论“斜率是否存在”，以免出现漏解，如本题中都要讨论“斜率是否存在”.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，，且900.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，四棱锥的体积为9，求四棱锥的侧面积 ‎【答案】⑴证明略；⑵‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面;‎ ‎（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点E，连结PE，则PE⊥底面ABCD，由四棱锥P﹣ABCD的体积为9，求出a=3，由此能求出该四棱锥的侧面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 又 又 ‎（2）设，则.‎ 过作,为垂足，‎ ‎ 为中点.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 四棱锥P-ABCD的侧面积为：‎ ‎,‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 空间几何体表面积的求法 ‎ (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎19．已知圆过两点，且圆心在上．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求AB垂直平分线方程，再求两直线交点得圆心，最后求半径，(2)根据切线长公式转化四边形面积为,再根据点到直线距离公式求PM最小值，代入得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）法一： 线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x－y＝0.‎ 解方程组，解得，所以圆M的圆心坐标为(1,1)，‎ 半径.‎ 故所求圆M的方程为 ‎ 法二：设圆M的方程为，‎ 根据题意得，解得，.‎ 故所求圆M的方程为 ‎（2）如图，‎ 由题知，四边形PCMD的面积为 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可。‎ 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以 所以四边形PCMD面积的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 确定圆的方程方法 ‎(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎(2)待定系数法 ‎①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．‎ ‎20．如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接A1B交AB1于E，连接DE，根据中位线定理即可得出DE∥A1C，故而A1C∥平面AB1D1；‎ ‎（2）过B作BF⊥B1D，则可证BF⊥平面AB1D，于是点A1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，等于B到平面AB1D的距离BF．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图，‎ 连接，交于点，再连接，‎ 据直棱柱性质知，四边形为平行四边形，为的中点，‎ ‎∵当时，，∴是的中点，∴，‎ 又平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）如图，在平面中，过点作，垂足为，‎ ‎∵是中点，‎ ‎∴点到平面与点到平面距离相等，‎ ‎∵平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，‎ ‎∴长为所求，在中，，，，‎ ‎∴，∴点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定，点面距离的计算，属于中档题．‎ ‎21．如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ) 取的中点，连接,根据题目中的线段关系得到平面，进而得到面面垂直；（Ⅱ）过连接由（Ⅰ）知道：平面,‎ 结合三垂线定理得即为所求角，根据边的关系得到角的正切值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）取的中点，连接，‎ 因为底面是边长为的正三角形，‎ 所以，且，‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 所以，又因为，‎ 所以，‎ 所以， 又因为，‎ 所以平面，又因为平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：过连接 由（Ⅰ）知道：平面,结合三垂线定理得 即为所求角.‎ 在中，‎ ‎ 同理可求 在中，由面积相等可得 又 ‎，‎ 二面角的正切值为。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，或者建系来做。‎ ‎22．已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点. ‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线 与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将方程化为标准式方程，可得到圆心坐标；（2）设线段的中点，直线的方程为联立直线和圆的方程得到韦达定理，进而得到，，此时消去参数m即可得到轨迹方程；（3）结合第二问可得到曲线的轨迹，根据直线和圆的位置关系可得到满足题意的结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）圆 化为，所以圆的圆心坐标为 ‎（2）设线段的中点，直线的方程为（易知直线的斜率存在），则 得：‎ ‎.解得：‎ ‎ ‎ 消去得： ‎ 又解得：或 ‎ 的轨迹的方程为 ‎（3）由题意知直线表示过定点 ，斜率为的直线.‎ 表示的是一段关于轴对称，起点为按顺时针方向运动到的圆弧（不包含端点）.‎ 由条件得：而当直线与轨迹相切时，，解得（舍去）.‎ 可得当时，直线与曲线只有一个交点。‎ 综上所述，当时直线 与曲线只有一个交点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎