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- 2021-06-15 发布
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第59课 复数的几何意义
1. 了解复数的几何意义.
2. 了解复数代数形式的加法与减法的几何意义.
1. 阅读:选修22 第120~122页.
2. 解悟:①复平面;②复平面也称为高斯平面,解析几何中的坐标平面也称为笛卡尔平面;③z,z与|z|之间有什么关系?④复数的向量形式是它的几何意义之一,通过向量加法的平行四边形法则,体会向量加法与复数加法法则的一致性,由向量加法的坐标表示进一步理解复数加法法则规定的合理性.
3. 践习:在教材空白处,完成第124页习题第1、2、3、7、8题
基础诊断
1. 满足|z|=2的复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
解析:设z=a+bi,所以|z|==2,即a2+b2=4,所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
2. 已知复数z1=2+ai,z2=2-i,若|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是 (-1,1) .
解析:由题意得<,即4+a2<5,解得-10,y>0,所以z=1+i.
(2) 由题意得,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1+i-2i=1-i.
如图所示,A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以=(1,-1),=(1,-3),
所以cos∠ABC===.
在复平面内,复数-3+i和1-i对应的点间的距离为 2 .
解析:由题意得所对应的点分别为(-3,1),(1,-1),所以距离为==2.
考向❷ 复数与最值
例2 设z是虚数,ω=z+,且-1<ω<2,u=.求ω-u2的最小值.
解析:设z=a+bi,(a,b∈R,b≠0),
则ω=a+bi+=+(b-)i.
由-1<ω<2知ω是实数,所以b-=0.
又b≠0,所以a2+b2=1,所以ω=2a.
因为-1<ω<2,所以-0,所以ω-u2≥2×2-3=1,当且仅当a+1=,即a=0时,ω-u2取得最小值1.
已知复数z=(2-i)(1+3i),其中i是虚数单位,则复数z在复平面上对应的点位于第
象限.
解析:由题意得,z=(2-i)(1+3i)=2+6i-i-3i2=5+5i,所以复数z在复平面上对应的点位于第一象限.
考向❸ 轨迹问题
例3 已知复数z=x+yi(i为虚单位x,y∈R),且满足|z-3+4i|=1.
(1) 求复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程;
(2) 求|z-2-2i|的最值;
(3) 求的取值范围.
解析:(1) 由题意得|x-3+(y+4)i|=1,
所以点z的轨迹方程为(x-3)2+(y+4)2=1.
(2) 由题意得|z-2-2i|=表示圆(x-3)2+(y+4)2=1上的点与定点(2,2)间的距离,
所以|z-2-2i|min=-1=-1,
|z-2-2i|max=+1=+1.
(3) 由表示圆上的点与点(0,-3)连线的斜率,设=k,即kx-y-3=0.
由≤1得4k2+3k≤0,所以-≤k≤0.
故的取值范围是.
自测反馈
1. 如图,在复平面内,点A对应的复数为z1,若=i(i为虚数单位),则z2=-2-i.
解析:由题意可知,z1=-1+2i,z2=z1i,所以z2=(-1+2i)i=-2-i.
2. 若复数(a-2)+i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a= 2 .
解析:由题意得a-2=0,解得a=2,所以实数a的值为2.
3. 设i是虚数单位,则复数的模为 .
解析:由题意得,==+i,所以==.
4. 已知复数z=(1+i)(1-2i)(i为虚数单位),则z的实部为 3 .
解析:由题意得,z=(1+i)(2-2i)=3-i,所以z的实部为3.
1. 复数z=a+bi(a∈R,b∈R)与复平面内点Z(a,b)及向量=(a,b)是一一对应的;注意与向量一一对应时,向量的起点为原点.
2. z·z=|z|2=|z|2是复数运算与实数运算相互转化的主要依据,也是把复数看作整体进行运算的主要依据,在解题中要注意加以运用.
3. 你还有哪些体悟,写下来: