高中数学 1_2_2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则2同步练习 新人教A版选修2-2 6页

选修2-2 ‎1.2.2‎ 第2课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 ‎1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(　　)‎ A．1　 　　　 B．2　 　　　‎ C．3　 　　　 D．4‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′‎ ‎＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，‎ ‎∴y′|x＝1＝4.‎ ‎2．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝(　　)‎ A．x4 B．x4－2‎ C．4x3－5 D．x4＋2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1‎ ‎∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.‎ ‎3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，‎ ‎∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，‎ 即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，‎ ‎∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：‎ Sn＝＋＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋ ‎＝1－＝，‎ 故选A.‎ ‎4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故‎2a>0，b>0，则f(x)＝a2－，‎ 顶点在第三象限，故选C.‎ ‎5．函数y＝(2＋x3)2的导数为(　　)‎ A．6x5＋12x2 B．4＋2x3‎ C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)·3x ‎[答案]　A ‎[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，‎ ‎∴y′＝6x5＋12x2.‎ ‎6．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)‎ A．－1 B．－2 ‎ C．2 D．0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－‎4a－2b＝－(‎4a＋2b)，f′(1)＝‎4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2‎ 要善于观察，故选B.‎ ‎7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)＝(　　)‎ A．0 B．－1 ‎ C．－60 D．60‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.‎ ‎8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是(　　)‎ A．2cos B．cos2x－sin2x C．sin2x＋cos2x D．2cos ‎[答案]　A ‎[解析]　y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′‎ ‎＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.‎ ‎9．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)‎ A．3 B．2 ‎ C．1 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　由f′(x)＝－＝得x＝3.‎ ‎10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　)‎ A．－ B．0‎ C. D．5‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由题设可知f(x＋5)＝f(x)‎ ‎∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)‎ 又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)‎ 即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0‎ 故f′(5)＝f′(0)＝0.故应选B.‎ 二、填空题 ‎11．若f(x)＝，φ(x)＝1＋sin2x，则f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.‎ ‎[答案]　，1＋sin2 ‎[解析]　f[φ(x)]＝＝ ‎＝|sinx＋cosx|＝.‎ φ[f(x)]＝1＋sin2.‎ ‎12．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　f′(x)＝－sin(x＋φ)，‎ f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)‎ ‎＝2sin.‎ 若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，‎ 即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．‎ 又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.‎ ‎13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．‎ ‎[答案]　32x(1＋2x2)7‎ ‎[解析]　令u＝1＋2x2，则y＝u8，‎ ‎∴y′x＝y′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x ‎＝32x(1＋2x2)7.‎ ‎14．函数y＝x的导数为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝.‎ 三、解答题 ‎15．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝xsin2x；　　(2)y＝ln(x＋)；‎ ‎(3)y＝；　　(4)y＝.‎ ‎[解析]　(1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′‎ ‎＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.‎ ‎(2)y′＝·(x＋)′‎ ‎＝(1＋)＝ .‎ ‎(3)y′＝＝ .‎ ‎(4)y′＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎16．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝cos2(x2－x)；　 　(2)y＝cosx·sin3x；‎ ‎(3)y＝xloga(x2＋x－1)；　(4)y＝log2.‎ ‎[解析]　(1)y′＝[cos2(x2－x)]′‎ ‎＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′‎ ‎＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′‎ ‎＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)‎ ‎＝(1－2x)sin2(x2－x)．‎ ‎(2)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′‎ ‎＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.‎ ‎(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x·logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋logae.‎ ‎(4)y′＝′log2e＝log2e ‎＝.‎ ‎17．设f(x)＝，如果f′(x)＝·g(x)，求g(x)．‎ ‎[解析]　∵f′(x)＝ ‎＝[(1＋x2)cosx－2x·sinx]，‎ 又f′(x)＝·g(x)．‎ ‎∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.‎ ‎18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)‎ ‎(1)y＝f；(2)y＝f()．‎ ‎[解析]　(1)解法1：设y＝f(u)，u＝，则y′x＝y′u·u′x＝f′(u)·＝－f′.‎ 解法2：y′＝′＝f′·′＝－f′.‎ ‎(2)解法1：设y＝f(u)，u＝，v＝x2＋1，‎