【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版5-4平面向量的综合应用学案 21页

‎§5.4　平面向量的综合应用 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.‎ 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.‎ ‎1.向量在平面几何中的应用 ‎(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：‎ 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 平行向量基本定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0‎ 垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，‎ 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ‎|a|＝＝，‎ 其中a＝(x，y)，a为非零向量 ‎(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.‎ ‎2.向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.‎ ‎‎ ‎3.平面向量在物理中的应用 ‎(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.‎ ‎(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).‎ ‎4.向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.‎ 概念方法微思考 ‎1.根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？‎ 提示　(1)线段的长度问题.(2)直线或线段平行问题.(3)直线或线段垂直问题.(4)角的问题等.‎ ‎2.如何用向量解决平面几何问题？‎ 提示　用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若∥，则A，B，C三点共线.(　√　)‎ ‎(2)在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形.(　×　)‎ ‎(3)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形.(　√　)‎ ‎(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：＝＋t(＋)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案　B 解析　＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，‎ ‎∴||＝＝2，||＝＝4，‎ ‎||＝＝6，‎ ‎∴||2＋||2＝||2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ ‎3.平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________.‎ 答案　x＋2y－4＝0‎ 解析　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________.‎ 答案　－或或 解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0，‎ 解得k＝－；‎ ‎②若B＝90°，则有·＝0，‎ 因为＝－＝(－1，k－3)，‎ 所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝；‎ ‎③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k(k－3)＝0，‎ 解得k＝.‎ 综上所述，k＝－或或.‎ ‎5.在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为________.‎ 答案　5‎ 解析　依题意得·＝1×(－4)＋2×2＝0，‎ 所以⊥，所以四边形ABCD的面积为 ||·||＝××＝5.‎ ‎6.已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为坐标原点，则·的最大值为 ‎________.‎ 答案　6‎ 解析　方法一　由题意知，＝(2,0)，‎ 令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α).‎ ·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，‎ 故·的最大值为6.‎ 方法二　由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，‎ 则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，‎ 故·的最大值为6.‎ 题型一　向量在平面几何中的应用 例1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.‎ 答案　12‎ 解析　(1)方法一　因为·＝2·，‎ 所以·－·＝·，‎ 所以·＝·.‎ 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，‎ 所以2||＝||||cos ，化简得||＝2.‎ 故·＝·(＋)＝||2＋· ‎＝(2)2＋2×2cos ＝12.‎ 方法二　如图，建立平面直角坐标系xAy.‎ 依题意，可设点D(m，m)，‎ C(m＋2，m)，B(n,0)，‎ 其中m>0，n>0，‎ 则由·＝2·，‎ 得(n,0)·(m＋2，m)＝2(n,0)·(m，m)，‎ 所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.‎ 故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.‎ ‎(2)在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝2，点P是△ABC所在平面内一点，则当2＋2＋2取得最小值时，·＝________.‎ 答案　－9‎ 解析　∵·＝2，‎ ‎∴·－2＝·(－)‎ ‎＝·＝0，‎ ‎∴⊥，即BA⊥AC.‎ 以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则B(6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，‎ ‎∴2＋2＋2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2‎ ‎＝3x2－12x＋3y2－6y＋45‎ ‎＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10].‎ ‎∴当x＝2，y＝1时，2＋2＋2有最小值，此时·＝(2,1)·(－6,3)＝－9.‎ 思维升华　向量与平面几何综合问题的解法 ‎(1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示.‎ ‎(2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.‎ 跟踪训练1　(1)已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则·等于(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 答案　C 解析　∵M 是BC边的中点，‎ ‎∴＝(＋)，‎ ‎∵O是△ABC 的外接圆的圆心，‎ ‎∴·＝||·||cos∠BAO ‎＝||2＝×(2)2＝6.‎ 同理可得·＝||2＝×(2)2＝4.‎ ‎∴·＝(＋)· ‎＝·＋·＝×(6＋4)＝5.‎ ‎(2)(2018·乌海模拟)在△ABC中，BC边上的中线AD的长为2，点P是△ABC所在平面上的任意一点，则·＋·的最小值为(　　)‎ A.1 B.2 C.－2 D.－1‎ 答案　C 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2).‎ 设点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝(－x，2－y)，＝(－x，－y)，‎ 故·＋·＝·(＋)‎ ‎＝2·＝2(x2＋y2－2y)‎ ‎＝2－2≥－2，‎ 当且仅当x＝0，y＝1时等号成立.‎ 所以·＋·的最小值为－2.‎ 题型二　向量在解析几何中的应用 例2　(1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，由||＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆.‎ 由＝知，点M为PC的中点，‎ 取AC的中点N，连接MN，‎ 则|MN|＝|AP|＝，‎ 所以点M的轨迹是以N为圆心，以为半径的圆.‎ 因为||＝3，‎ 所以||的最大值为3＋＝，||2的最大值为.故选B.‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________.‎ 答案　[－5，1]‎ 解析　方法一　因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，‎ 所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5).‎ 因为A(－12,0)，B(0,6)，‎ 所以＝(－12－x，－)‎ 或＝(－12－x，)，‎ ＝(－x,6－)或＝(－x,6＋).因为·≤20，先取P(x，)进行计算，‎ 所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，‎ 即2x＋5≤.‎ 当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立.‎ 当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，‎ 解得－≤x≤1，故x≤1.‎ 同理可得P(x，－)时，x≤－5.‎ 又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.‎ 故点P的横坐标的取值范围为[－5，1].‎ 方法二　设P(x，y)，‎ 则＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y).‎ ‎∵·≤20，‎ ‎∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，‎ 即2x－y＋5≤0.‎ 如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，‎ ‎∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，‎ ‎∴点P在上.‎ 由得F点的横坐标为1，‎ 又D点的横坐标为－5，‎ ‎∴P点的横坐标的取值范围为[－5，1].‎ 思维升华　向量在解析几何中的“两个”作用 ‎(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.‎ ‎(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.‎ 跟踪训练2　(2019·沈阳质检)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋3＝0，点A(0，m)(m>0)，A，B两点关于x轴对称.若圆C上存在点M，使得·＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意得圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，‎ B(0，－m)，设M(x，y)，‎ 由于·＝0，‎ 所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，‎ 所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，‎ 由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，‎ 所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，‎ 此时m2最大，m也最大.‎ ‎|OM|＝1＋2＝3，∠MOx＝60°，‎ 所以xM＝3×sin 30°＝，yM＝3×sin 60°＝.故选C.‎ 题型三　向量的其他应用 命题点1　向量在不等式中的应用 例3　已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)‎ A.[－1,0] B.[0,1] C.[1,3] D.[1,4]‎ 答案　D 解析　作出点M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，‎ 设z＝·，‎ 因为A(－1,2)，M(x，y)，‎ 所以z＝·＝－x＋2y，‎ 即y＝x＋z.‎ 平移直线y＝x，由图象可知，‎ 当直线y＝x＋z经过点C(0,2)时，截距最大，‎ 此时z最大，最大值为4，‎ 当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，‎ 此时z最小，最小值为1，‎ 故1≤z≤4，即1≤·≤4.‎ 命题点2　向量在解三角形中的应用 例4　(2019·赤峰模拟)在△ABC中，若||＝2，且·cos C＋·cos A＝·sin B.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ 解　(1)因为＝＋，‎ 所以·cos C＋·cos A＝·sin B ‎＝(＋)·sin B，‎ 即(cos C－sin B)＋(cos A－sin B)＝0.‎ 而向量，是两个不共线的向量，‎ 所以所以cos C＝cos A，‎ 因为A，C∈(0，π)，‎ 所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ 所以2A＋B＝π，A＝－.‎ 所以cos A＝cos＝sin ＝sin B，‎ 所以sin ＝2sin cos ，‎ 因为sin ≠0，所以cos ＝.‎ 综合0<<，所以＝，B＝.‎ ‎(2)由(1)知，A＝C＝，‎ 由正弦定理，得＝，‎ 所以||＝2，‎ S△ABC＝||||sin ＝×2×2×＝.‎ 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.‎ 跟踪训练3　在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.‎ ‎(1)求∠C的大小；‎ ‎(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积.‎ 解　(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，‎ m·n＝0，‎ 所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，‎ 在△ABC中，由正弦定理得，‎ sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，‎ sin A＝2sin Acos C，‎ 又sin A≠0，‎ 所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.‎ ‎(2)由＝知，－＝－，‎ 所以2＝＋，‎ 两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①‎ 又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，‎ 所以a2＋b2－ab＝12.②‎ 由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.‎ ‎1.在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　由(＋)·＝||2，‎ 得·(＋－)＝0，‎ 即·(＋＋)＝0，‎ ‎2·＝0，‎ ‎∴⊥，∴A＝90°.‎ 又根据已知条件不能得到||＝||，‎ 故△ABC一定是直角三角形.‎ ‎2.在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·等于(　　)‎ A.48 B.36 C.24 D.12‎ 答案　C 解析　·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝· ‎＝2－2‎ ‎＝×82－×62＝24，故选C.‎ ‎3.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案　C 解析　由原等式，得－＝λ(＋)，‎ 即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，‎ 知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应的2倍，‎ 所以点P的轨迹必过△ABC的重心.‎ ‎4.(2018·朝阳模拟)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　f ′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，设a和b的夹角为θ，‎ 因为f(x)有极值，‎ 所以Δ＝|a|2－4a·b >0，‎ 即Δ＝|a|2－4|a|·|b|·cos θ>0，‎ 即cos θ<，所以θ∈.‎ ‎5.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为(　　)‎ A.y2＝8x B.y2＝4x C.y2＝16x D.y2＝4x 答案　B 解析　如图所示，由＝，得F为线段AB的中点，‎ ‎∵|AF|＝|AC|，∴∠ABC＝30°，‎ 由·＝48，得|BC|＝4.‎ 则|AC|＝4，∴由中位线的性质，‎ 有p＝|AC|＝2，‎ 故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.‎ ‎‎ ‎6.(2019·辽阳测试)在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且＝λ，＝，则·的最大值为(　　)‎ A.－2 B.－ C. D. 答案　D 解析　因为AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，‎ 所以ABCD是直角梯形，且CM＝，∠BCM＝30°，‎ 以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 因为＝λ，＝，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则λ∈，‎ B(2,0)，P(2－λ，λ)，Q，‎ 所以· ＝(2－λ，λ)· ‎＝5λ＋－4－.‎ 令f(λ)＝5λ＋－4－且λ∈，‎ 由对勾函数性质可知，当λ＝1时可取得最大值，‎ 则f(λ)max＝f(1)＝5＋－4－＝.‎ ‎7.在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.‎ 答案　－8‎ 解析　设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，‎ 由余弦定理得a2＝16＋a2－8acos θ，∴acos θ＝2，‎ ‎∴·＝4×a×cos(π－θ)＝－4acos θ＝－8.‎ ‎8.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.‎ 答案　 解析　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，‎ 即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，∴cos θ＝－.‎ 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.‎ ‎9.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是________.‎ 答案　[－5,5]‎ 解析　如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.‎ 设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，‎ 则＝(1,0)，＝(x，y)，‎ 所以·＝(x，y)·(1,0)＝x.‎ 因为点P在圆x2＋(y－5)2＝25上，‎ 所以－5≤x≤5，即－5≤·≤5.‎ ‎10.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.‎ 答案　3‎ 解析　画出图形如图所示.由题意得抛物线的焦点F(0,1)，准线为y＝－1.‎ 设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.‎ 由题意得△NPM∽△NOF，‎ 又＝，即M为FN的中点，‎ ‎∴||＝|OF|＝，|OP|＝＝，‎ ‎∴||＝＋1＝，|ON|＝2|OP|＝2，‎ ‎∴||＝||＝.‎ 又＝＝，‎ 即＝＝，解得||＝3.‎ ‎11.已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为(－1,2)，点C在第二象限，＝(2,2)，且与的夹角为，·＝2.‎ ‎(1)求点D的坐标；‎ ‎(2)当m为何值时，＋m与垂直.‎ 解　(1)设C(x，y)，D(a，b)，则＝(x＋1，y－2).‎ ‎∵与的夹角为，·＝2，‎ ‎∴＝＝，‎ 化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1.①‎ 又·＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.②‎ 联立①②解得或 又点C在第二象限，∴C(－1,3).‎ 又＝，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)，解得a＝－3，b＝1.‎ ‎∴D(－3,1).‎ ‎(2)由(1)可知＝(0,1)，‎ ‎∴＋m＝(2m,2m＋1)，‎ ＝－＝(－2，－1).‎ ‎∵＋m与垂直，‎ ‎∴(＋m)·＝－4m－(2m＋1)＝0，‎ 解得m＝－.‎ ‎12.已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(，cos A＋1)，n＝(sin A，－1)，m⊥n.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若a＝2，cos B＝，求b的值.‎ 解　(1)∵m⊥n，‎ ‎∴m·n＝sin A＋(cos A＋1)×(－1)＝0，‎ ‎∴sin A－cos A＝1，∴sin＝.‎ ‎∵0