安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二（普通班）上学期期中考试数学（理）试题 10页

育才学校2019-2020学年度第一学期期中考卷 高二普通班理科数学 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) [来 ‎1.已知底面为正方形，侧棱相等的四棱锥S－ABCD的直观图和正视图如图所示，则其侧视图的面积为(　　)‎ A． B． C． 2 D． 2‎ ‎2.下列说法中正确的个数是(　　)‎ ‎(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线．‎ ‎(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面．‎ ‎(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．‎ ‎(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.‎ A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 ‎3.已知四面体S－ABC的所有棱长都相等，它的俯视图如图所示，是一个边长为的正方形，则四面体S－ABC外接球的表面积为(　　)‎ A． 6π B． 4π C． 8π D． 3π ‎4.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B‎1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(　　)‎ A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°‎ ‎6.直线l1过点A(m,1)和点B(－1，m)，直线l2过点C(m＋n，n＋1)和点D(n＋1，n－m)．则直线l1与l2的位置关系是(　　)‎ A． 重合 B． 平行 C． 垂直 D． 无法确定 ‎7.在空间中，有如下四个命题：‎ ‎①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；‎ ‎②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；‎ ‎③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β；‎ ‎④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．‎ 其中正确的两个命题是(　　)‎ A． ①③ B． ②④ C． ①④ D． ②③‎ ‎8.已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B‎1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为(　　)‎ A． B． C． 1 D．‎ ‎9.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是(　　)‎ ‎①⇒a∥b;②⇒a∥b；‎ ‎③⇒α∥β；④⇒α∥β；‎ ‎⑤⇒α∥a;⑥⇒a∥α.‎ A． ④⑥ B． ②③⑥ C． ②③⑤⑥ D． ②③‎ ‎10.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A′C⊥BD B． ∠BA′C＝90°‎ C． △A′DC是正三角形 D． 四面体A′－BCD的体积为 ‎11.若点A(－2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．k≤或k≥ B．k≤－或k≥－‎ C．≤k≤ D． －≤k≤－‎ ‎12.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　　)‎ A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.在平面直角坐标系中，矩形OABC，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围为________．‎ ‎14.如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．‎ ‎15．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)‎ ‎16.如图，三棱柱A1B‎1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B‎1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________.‎ 三、解答题(共6小题,共70分。写出必要的演算步骤) ‎ ‎17.（12分）在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为的圆柱．‎ ‎(1)求：圆柱表面积的最大值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．‎ ‎18. （12分）如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，点E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎19. （12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，求证：‎ ‎(1)PD⊥平面ABCD；‎ ‎(2)平面PAC⊥平面PBD；‎ ‎(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．‎ ‎20. （10分）如图，已知直三棱柱ABC－A1B‎1C1，其底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝，AC＝A‎1A＝2.‎ ‎(1)求该几何体的表面积；‎ ‎(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值．‎ ‎21. （12分）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.‎ ‎(1)求证：AD′⊥BE；‎ ‎(2)求四棱锥D′－ABCE的体积；‎ ‎(3)在棱ED′上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点.‎ ‎(1)求证：VB∥平面MOC；‎ ‎(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；‎ ‎(3)求三棱锥V－ABC的体积.‎ 参考答案 ‎1.A 2.A 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.C ‎13.[－2,0] 14.4＋6 15．②和④ 16.‎ ‎17.(1)当圆柱内接于圆锥时，圆柱的表面积最大．设此时，圆柱的底面半径为r，高为h′.‎ 圆锥的高h＝＝2，‎ 又∵h′＝，∴h′＝h.‎ ‎∴＝，∴r＝1.‎ ‎∴S表面积＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh′＝2π＋2π×‎ ‎＝2(1＋)π.‎ ‎(2)设圆柱的外接球半径为R，‎ 则R＝，S＝7π，V＝.‎ ‎18.证明　(1)因为GH是△A1B‎1C1的中位线，‎ 所以GH∥B‎1C1.‎ 又因为B‎1C1∥BC，所以GH∥BC，‎ 所以B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)因为E，F分别为AB，AC的中点．所以EF∥BC，‎ 又EF⊄平面BCHG，而BC⊂平面BCHG，‎ 所以EF∥平面BCHG.‎ 因为A‎1G∥EB且A‎1G＝EB，‎ 所以四边形A1EBG是平行四边形，‎ 所以A1E∥GB.‎ 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ 所以A1E∥平面BCHG，因为A1E∩EF＝E，且A1E，EF均在平面A1EF内，‎ 所以平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎19.证明　(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，‎ ‎∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC，‎ 同理可证PD⊥AD.又AD∩DC＝D，‎ ‎∴PD⊥平面ABCD.‎ ‎(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB.‎ 又AC⊂平面PAC，‎ ‎∴平面PAC⊥平面PBD.‎ ‎(3)由(1)知PD⊥BC，‎ 又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，‎ ‎∴BC⊥PC，‎ ‎∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．‎ 在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，‎ ‎∴二面角P－BC－D是45°的二面角．‎ ‎20.(1)该几何体有5个面，两个底面的面积均为××＝1，‎ 三个侧面面积和为2×(＋＋2)＝4(＋1)，‎ 故其表面积S＝6＋4.‎ ‎(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S1，‎ 则组合后的直棱柱的表面积为2S－2S1，‎ 故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小．‎ 又侧面AA‎1C1C的面积最大，2＝2×2×2＝8，‎ 所以拼得的棱柱的表面积的最小值为2S－2＝12＋8－8＝4＋8.‎ ‎21.(1)证明　根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DEA＝∠CEB＝45°，‎ ‎∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE.‎ ‎∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，‎ ‎∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，‎ ‎∴AD′⊥BE.‎ ‎(2)解　取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.‎ ‎∵平面D′AE⊥平面ABCE，‎ 且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，D′F⊂平面D′AE，‎ ‎∴D′F⊥平面ABCE，‎ ‎∴VD′－ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝.‎ ‎(3)解　如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面 PAC，连接PQ.‎ ‎∵D′B⊂平面D′BE，‎ 平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，‎ ‎∴在△EBD′中，＝.‎ ‎∵在梯形ABCE中，＝＝，‎ ‎∴＝＝，即EP＝ED′，‎ ‎∴在棱ED′上存在一点P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC.‎ ‎22.‎