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  • 2021-06-15 发布

高中数学必修5第1章1_1_2同步训练及解析

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人教A高中数学必修5同步训练 ‎1.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是(  )‎ A.8          B.2 C.6 D.2 解析:选D.根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,c=2.‎ ‎2.在△ABC中,已知a=2,b=3,C=120°,则sin A的值为(  )‎ A. B. C. D.- 解析:选A.c2=a2+b2-2abcos C ‎=22+32-2×2×3×cos 120°=19.‎ ‎∴c=.‎ 由=得sin A=.‎ ‎3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为__________.‎ 解析:设底边边长为a,则由题意知等腰三角形的腰长为‎2a,故顶角的余弦值为=.‎ 答案: ‎4.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.‎ 解:法一:根据余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B.‎ ‎∵B=60°,2b=a+c,‎ ‎∴()2=a2+c2-2accos 60°,‎ 整理得(a-c)2=0,∴a=c.‎ ‎∴△ABC是正三角形.‎ 法二:根据正弦定理,‎ ‎2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.‎ 又∵B=60°,∴A+C=120°,‎ ‎∴C=120°-A,‎ ‎∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A),‎ 整理得sin(A+30°)=1,‎ ‎∴A=60°,C=60°.‎ ‎∴△ABC是正三角形.‎ 课时训练 一、选择题 ‎1.在△ABC中,符合余弦定理的是(  )‎ A.c2=a2+b2-2abcos C B.c2=a2-b2-2bccos A C.b2=a2-c2-2bccos A D.cos C= 解析:选A.注意余弦定理形式,特别是正负号问题.‎ ‎2.在△ABC中,若a=10,b=24,c=26,则最大角的余弦值是(  )‎ A.         B. C.0 D. 解析:选C.∵c>b>a,∴c所对的角C为最大角,由余弦定理得cos C==0.‎ ‎3.已知△ABC的三边分别为2,3,4,则此三角形是(  )‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 解析:选B.∵42=16>22+32=13,∴边长为4的边所对的角是钝角,∴△ABC是钝角三角形.‎ ‎4.在△ABC中,已知a2=b2+bc+c2,则角A为(  )‎ A. B. C. D.或 解析:选C.由已知得b2+c2-a2=-bc,‎ ‎∴cos A==-,‎ 又∵0<A<π,∴A=,故选C.‎ ‎5.在△ABC中,下列关系式 ‎①asin B=bsin A ‎②a=bcos C+ccos B ‎③a2+b2-c2=2abcos C ‎④b=csin A+asin C 一定成立的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C,则不一定成立.‎ ‎6.在△ABC中,已知b2=ac且c=‎2a,则cos B等于(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.∵b2=ac,c=‎2a,‎ ‎∴b2=‎2a2,‎ ‎∴cos B== ‎=.‎ 二、填空题 ‎7.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则AC=________.‎ 解析:由余弦定理,‎ 得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,‎ 即49=25+AC2-2×5×AC×(-),‎ AC2+‎5AC-24=0.‎ ‎∴AC=3或AC=-8(舍去).‎ 答案:3‎ ‎8.已知三角形的两边分别为4和5,它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根,则第三边长是________.‎ 解析:解方程可得该夹角的余弦值为,由余弦定理得:42+52-2×4×5×=21,∴第三边长是.‎ 答案: ‎9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则B的大小是________.‎ 解析:由正弦定理,‎ 得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.‎ 不妨设a=5k,b=7k,c=8k,‎ 则cos B==,‎ ‎∴B=.‎ 答案: 三、解答题 ‎10.已知在△ABC中,cos A=,a=4,b=3,求角C.‎ 解:A为b,c的夹角,‎ 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,‎ ‎∴16=9+c2-6×c,‎ 整理得‎5c2-‎18c-35=0.‎ 解得c=5或c=-(舍).‎ 由余弦定理得cos C===0,‎ ‎∵0°<C<180°,∴C=90°.‎ ‎11.在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边长,若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B,求C的大小.‎ 解:由题意可知,‎ ‎(a+b+c)(a+b-c)=3ab,‎ 于是有a2+2ab+b2-c2=3ab,‎ 即=,‎ 所以cos C=,所以C=60°.‎ ‎12.在△ABC中,b=asin C,c=acos B,试判断△ABC的形状.‎ 解:由余弦定理知cos B=,代入c=acos B,‎ 得c=a·,∴c2+b2=a2,‎ ‎∴△ABC是以A为直角的直角三角形.‎ 又∵b=asin C,∴b=a·,∴b=c,‎ ‎∴△ABC也是等腰三角形.‎ 综上所述,△ABC是等腰直角三角形. ‎

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