江苏省泰州市泰兴市黄桥中学2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题 15页

黄桥中学2019-2020年秋学期高二年级第一次质量检测数学试卷 一、选择题 ‎1.不等式的解集是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，所以不等式解集为：，故选B.‎ 考点：一元二次不等式 ‎2.设为等差数列，若，则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出，进而求得.‎ ‎【详解】设等差数列公差为 则 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.‎ ‎3.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.‎ ‎4.若等比数列首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于等比数列的首项为，末项为，公比为，则根据其通项公式得到为，故可知项数为4，选B.‎ 考点：等比数列的通项公式 点评：解决的关键是利用等比数列的通项公式，以及首项和公比来得到数列的项数，属于基础题。‎ ‎5.已知为等差数列的前n项和，若，则（ ）‎ A. 18 B. 99 C. 198 D. 297‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质得，再根据等差数列的前n项和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】由等差数列性质知，，‎ 又，得，则，‎ ‎ .‎ 故选B .‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质和前n项和的计算，通过合理的转化，‎ 建立已知条件和求解问题之间的联系是解题关键.‎ ‎6.已知是等差数列,公差,且成等比数列,则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵成等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 整理得，‎ 又 ‎∴‎ ‎∴选B．‎ ‎7.已知，，，且，则的最小值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由，，得，‎ ‎，当且仅当时等号成立。选B。‎ ‎8.关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特值,利用排除法求解即可.‎ ‎【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D ‎【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：‎ 求最值，说明恒成立 参变分离，再求最值。‎ ‎9.等比数列中，，则数列的前8项和等于( )‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．‎ 解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，‎ ‎∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．‎ ‎∴lga1+lga2+…+lga8‎ ‎=lg（a1a2…×a8）‎ ‎=‎ ‎=4lg10‎ ‎=4．‎ 故选：C．‎ 考点：等比数列的前n项和．‎ ‎10.已知数列的前n项和为，，当时，，则的值为（　　）‎ A. 1008 B. 1009 C. 1010 D. 1011‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用，结合数列的递推公式可解决此问题．‎ ‎【详解】解：当时，①，故②‎ 由②－①得，，即 所以 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，含有时常用进行转化．‎ ‎11.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由为等差数列，所以，即，‎ 由，所以，‎ 令，即，‎ 所以取最大值时的为，‎ 故选B．‎ ‎12.设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）‎ A. 290 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可 ‎【详解】由得，‎ 当时，，整理得，‎ 所以是公差为4的等差数列，又，‎ 所以，从而，‎ 所以，‎ 数列的前10项的和.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题 二．填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知数列的通项，则=____‎ ‎【答案】1078‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分组求和，将分成一个等差数列和一个等比数列来求和.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：1078.‎ ‎【点睛】本题考查数列求和方法中分组求和，是基础题.‎ ‎14.在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设数列的公比为，则有，解得，所以 ‎．‎ 考点：等比数列的定义，数列的求和问题．‎ ‎15.已知数列满足，则数列的通项公式为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，令，可得个等式，将这个等式相加整理即可得 ‎【详解】解：由可得，‎ 个等式，‎ 将上述个等式左边的和左边的相加，右边的和右边的相加，‎ 得，‎ 整理得：.‎ 故答案为： .‎ ‎【点睛】本题考查数列求和方法中的累加法，考查学生的计算能力，是基础题.‎ ‎16.等差数列前项和为，，记，其中表示不超过的最大整数，则数列前1000项的和为____‎ ‎【答案】1893‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式与求和公式可得，再利用，可得,即可得出．‎ ‎【详解】解：为等差数列的前项和，且，． 可得，则公差．，‎ ‎，‎ 则,‎ ‎, 数列的前1000项和为：9×0＋90×1＋900×2＋3＝1893． 故答案为：1893．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.已知数列是公差不为0的等差数列,首项,且成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)设数列满足求数列的前项和为.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． （2）利用等比数的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，‎ 由题设,得,即化简,得 又,‎ 所以,‎ 所以 ‎（2）由（1）得,‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，是基础题．‎ ‎18.‎ 在等比数列中，.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1).（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，‎ 解得，即可写出通项公式.‎ ‎（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.‎ 试题解析：(1)设的公比为q，依题意得 ‎，‎ 解得，‎ 因此，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以数列的前n项和.‎ 考点：等比数列、等差数列.‎ ‎19.已知 ， ， .‎ ‎（1）求 的最小值；‎ ‎（2）求 的最小值.‎ ‎【答案】(1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出； （2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ 试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故,‎ 故，当且仅当即时等号成立，∴ ‎ ‎(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴ ‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．‎ ‎20.如图，学校规划建一个面积为108的矩形场地，里面分成两个部分，分别作为铅球和实心球的投掷区，并且在场地的左侧，右侧，中间和前侧各设计一条宽1的通道，问：这个场地的长，宽各为多少时，投掷区面积最大，最大面积是多少？‎ ‎【答案】当场地长为18，宽为6时，投掷区面积最大，最大面积为75.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设场地长，宽分别为米,米，可得，建立于的关系式，利用基本不等式，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：设场地的长，宽分别为米,米，投掷区面积为，则 ‎ 当且仅当即时取等号，‎ 答：当场地长为18，宽为6时，投掷区面积最大，最大面积为75.‎ ‎【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．‎ ‎21.已知数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的前项和为；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将两边同除以n(n+1)，可得数列 是等差数列，即可得其前项和为；‎ ‎（2）由（1）知数列的通项公式可得数列的通项公式，再由错位相减法即可求得前项和.‎ ‎【详解】解：（1）由，得，‎ 又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，‎ 所以，即.‎ ‎（2）当时，，‎ 又也符合上式，所以（）‎ 所以，‎ 所以，①‎ ‎，②‎ ‎①-②，得 故.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：由数列递推关系式求解数列通项公式，错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.‎ ‎22.已知各项都是正数的数列的前n项和为，，．‎ 求数列的通项公式；‎ 设数列满足：，，数列的前n项和求证：．‎ 若对任意恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当，得 ‎，当时，，得数列递推关系式，因式分解可得，根据等差数列定义得数列通项公式（Ⅱ）因为，所以利用叠加法求通项公式：，因此，从而利用裂项相消法求和得，即证得（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由得，而有最大值，所以 试题解析：（1）时，‎ 是以为首项，为公差的等差数列 ‎…4分 ‎（2）‎ ‎，，即…………………9分 ‎（3）由得， 当且仅当时，‎ 有最大值，………………………………14分 考点：等差数列定义，叠加法求通项，裂项相消法求和 ‎【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如（其中是各项均不为零的等差数列，c为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎ ‎