2018届二轮复习关于平面向量数量积运算的三类经典题型课件（江苏专用） 43页

专题 4 　三角函数与平面向量 第 20 练　关于平面向量数量积 运 算 的三类经典题型 平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 5 解析　 如图所示，由题意，得 BC ＝ a ， CD ＝ a ， ∠ BCD ＝ 120°. 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 解析　 由 ( a － b ) ⊥ (3 a ＋ 2 b ) 得 ( a － b )·(3 a ＋ 2 b ) ＝ 0 ，即 3 a 2 － a·b － 2 b 2 ＝ 0. 即 3| a | 2 － | a |·| b |·cos θ － 2| b | 2 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 解析 3.(2015· 陕西改编 ) 对任意向量 a ， b ， ① | a · b | ≤ | a || b | ； ② | a － b | ≤ || a | － | b || ； ③ ( a ＋ b ) 2 ＝ | a ＋ b | 2 ； ④ ( a ＋ b )·( a － b ) ＝ a 2 － b 2 . 以上关系式中不恒成立的是 ______. 解析 　 对于 ① ，由 | a · b | ＝ || a || b |cos 〈 a ， b 〉 | ≤ | a || b | 恒成立 ； 对于 ② ，当 a ， b 均为非零向量且方向相反时不成立 ； 对于 ③ 、 ④ 容易判断恒成立 . √ 1 2 3 4 5 解析答案 4.(2016· 课标全国乙 ) 设向量 a ＝ ( m, 1) ， b ＝ (1,2) ，且 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ，则 m ＝ ________. 解析 　 由 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ，得 a ⊥ b ，所以 m × 1 ＋ 1 × 2 ＝ 0 ，得 m ＝－ 2. － 2 1 2 3 4 5 解析答案 返回 高考 必会题型 题型一　平面向量数量积的基本运算 解析 答案 9 解析 答案 13 点评 点评 点评 (1) 平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 . 注意两向量 a ， b 的数量积 a · b 与代数中 a ， b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的 “ · ”. (2) 向量的数量积运算需要注意的问题： a · b ＝ 0 时得不到 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ，根据平面向量数量积的性质有 | a | 2 ＝ a 2 ，但 | a · b | ≤ | a |·| b |. 解析 答案 解析 题型二　利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 　 (1) 设 a ， b 为非零向量， | b | ＝ 2| a | ，两组向量 x 1 ， x 2 ， x 3 ， x 4 和 y 1 ， y 2 ， y 3 ， y 4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成 . 若 x 1 · y 1 ＋ x 2 · y 2 ＋ x 3 · y 3 ＋ x 4 · y 4 的所有可能取值中的最小值为 4| a | 2 ，则 a 与 b 的夹角为 ________. 解析 答案 解析　 设 a 与 b 的夹角为 θ ，由于 x i ， y i ( i ＝ 1,2,3,4) 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成 ， ① S ＝ 2 a 2 ＋ 2 b 2 ； ② S ＝ 4 a · b ； ③ S ＝ | a | 2 ＋ 2 a · b ＋ | b | 2 . ∵ | b | ＝ 2| a | ， ∴① 中 S ＝ 10| a | 2 ， ② 中 S ＝ 8| a | 2 cos θ ， ③ 中 S ＝ 5| a | 2 ＋ 4| a | 2 cos θ . 易知 ② 最小，即 8| a | 2 cos θ ＝ 4| a | 2 ， 点评 (2) 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 2| b | ≠ 0 ，且关于 x 的函数 f ( x ) ＝－ 2 x 3 ＋ 3| a | x 2 ＋ 6 a · b x ＋ 5 在 R 上单调递减，则向量 a ， b 的夹角的取值范围是 ________. 解析 答案 解析 设向量 a ， b 的夹角为 θ ，因为 f ( x ) ＝－ 2 x 3 ＋ 3| a | x 2 ＋ 6 a · b x ＋ 5 ， 所以 f ′ ( x ) ＝－ 6 x 2 ＋ 6| a | x ＋ 6 a · b ，又函数 f ( x ) 在 R 上单调递减 ， 所以 f ′ ( x ) ≤ 0 在 R 上恒成立 ， 所以 Δ ＝ 36| a | 2 － 4 × ( － 6) × (6 a · b ) ≤ 0 ， 因为 a · b ＝ | a||b |·cos θ ，且 | a | ＝ 2| b | ≠ 0 ， 点评 求向量的夹角时要注意： (1) 向量的数量积不满足结合律 .(2) 数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 若非零向量 a ， b 满足 | a | ＝ | b | ， (2 a ＋ b )· b ＝ 0 ，则 a 与 b 的夹角为 ________. 解析 　 设 a 与 b 的夹角为 θ ， 由题意得 | a | ＝ | b | ， (2 a ＋ b )· b ＝ 0 ， 可 得 2 a · b ＋ b 2 ＝ 2| a |·| b |cos θ ＋ b 2 ＝ 2| a |·| a |cos θ ＋ | a | 2 ＝ 0 ， 解 得 cos θ ＝－ ， 因为 0° ≤ θ ≤ 180° ，所以 θ ＝ 120°. 120° 题型三　利用数量积求向量的模 及 4 a 2 － 4 a · b ＋ b 2 ＝ 10 ，又向量 a ， b 的夹角为 45° ，且 | a | ＝ 1 ， 解析答案 点评 解析 答案 5 点评 解析　 方法一　以点 D 为原点，分别以 DA 、 DC 所在直线为 x 、 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 ， 设 DC ＝ a ， DP ＝ x . ∴ D (0,0) ， A (2,0) ， C (0 ， a ) ， B (1 ， a ) ， P (0 ， x ) ， 解析 点评 点评 返回 解析答案 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 解析　 由题知四边形 ABCD 的边和对角线的长都为 1 ， 点 E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，则 EF 平行于 BD ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 又 ∵ 0° ≤∠ ABC ≤ 180° ， ∴∠ ABC ＝ 30°. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 解析　 由 A ， B ， C 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上，且 AB ⊥ BC ， ∴ AC 为圆的直径， 设 B ( x ， y ) ， 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 5. 已知 i ， j 为互相垂直的单位向量， a ＝ i － 2 j ， b ＝ i ＋ λ j ，且 a ， b 的夹角为锐角，则实数 λ 的取值范围是 _______________________. 解析　 ∵ a ， b 的夹角为锐角， ∴ a · b ＝ 1 × 1 ＋ ( － 2) λ ＞ 0 且 1 × ( － 2) － 1 × λ ≠ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 解析　 ∵ ( a ＋ b ) ⊥ a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 由于上式对任意单位向量 e 都成立 . ∴ 6 ≥ ( a ＋ b ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ 2 a · b ＝ 1 2 ＋ 2 2 ＋ 2 a · b . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 解析　 如图，设点 O 在 AB ， AC 上的射影分别是点 D ， E ， 它们 分别为 AB ， AC 的中点，连结 OD ， OE . 由 数量积的几何意义， 即 2 x ＋ 6 y ＝ 3 ，将两式相加可得 6 x ＋ 9 y ＝ 5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 设 a ＝ ( － 1,1) ， b ＝ ( x, 3) ， c ＝ (5 ， y ) ， d ＝ (8,6) ，且 b ∥ d ， (4 a ＋ d ) ⊥ c . (1) 求 b 和 c ； 解析答案 解　 ∵ b ∥ d ， ∴ 6 x － 24 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 4. ∵ 4 a ＋ d ＝ (4,10) ， (4 a ＋ d ) ⊥ c ， ∴ 5 × 4 ＋ 10 y ＝ 0 ， y ＝－ 2 ， ∴ b ＝ (4,3) ， c ＝ (5 ，－ 2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 求 c 在 a 方向上的投影； 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3) 求 λ 1 和 λ 2 ，使 c ＝ λ 1 a ＋ λ 2 b . 解析答案 解　 ∵ c ＝ λ 1 a ＋ λ 2 b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 在 Rt △ ADC 中， CD 2 ＝ AC 2 － AD 2 ＝ 75 ， 在 Rt △ BDC 中， BC 2 ＝ DB 2 ＋ CD 2 ＝ 196 ，所以 BC ＝ 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析答案 由二次函数的图象，可知该函数在 [1 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 所以当 t ＝ 1 时， k 取得最小值 516. 返回