2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数，则的共轭复数在复平面内对应点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】化简，写出共轭复数即可根据复平面的定义选出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎，在复平面内对应点为 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查复数，属于基础题。‎ ‎2．在区间上的最大值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对求导，判断函数在区间上的单调性，即可求出最大值。‎ ‎【详解】‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导函数求函数的最值，属于基础题。‎ ‎3．下列推理是归纳推理的是（ ）‎ A.，为定点，动点满足，得的轨迹为椭圆.‎ B.由，，求出，，，猜想出数列的前项和的表达式.‎ C.由圆的面积，猜出椭圆的面积.‎ D.科学家利用鸟类的飞行原理制造飞机.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据归纳推理的定义即可选出答案。‎ ‎【详解】‎ 归纳推理是由个别事实概括出一般结论的推理。‎ A为演绎推理 B为归纳推理 C为类比推理 D为类比推理 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，属于简单题。‎ ‎4．函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据定积分的几何意义直接求出在区间的定积分，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查定积分的几何意义，属于基础题。‎ ‎5．若且；则的展开式的系数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据求出，再代入，直接根据的展开式的第 项为 ，即可求出展开式的系数。‎ ‎【详解】‎ 因为且 所以 ‎ 展开式的第 项为 展开式中的系数为 ‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查二项式展开式，属于基础题。‎ ‎6．下面是高考第一批录取的一份志愿表：‎ 志愿 学校 专业 第一志愿 ‎1‎ 第1专业 第2专业 第3专业 第二志愿 ‎2‎ 第1专业 第2专业 第3专业 现有5所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复；你将有不同的填写方法的种数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先排学校，再排专业，根据分步计数原理，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个分步计数问题 首先从5所重点院校选出两所的排列：种 ‎3个专业的全排列：种 根据分步计数原理共有种 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的实际应用，考查分步计数原理，解题的关键在于读懂题意，属于基础题。‎ ‎7．若复数（）不是纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D.且 ‎【答案】A ‎【解析】先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 若复数（）是纯虚数，‎ 根据纯虚数的定义有：，‎ 则复数（）是纯虚数，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查虚数的分类，属于基础题。‎ ‎8．从装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据二项分布的数学期望计算，即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 根据题意可得出 ，即 ‎ 所以 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布，属于基础题。‎ ‎9．曲线在点处的切线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】求导后代入即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查利用导函数求切线斜率。属于基础题。‎ ‎10．如果把个位数是，且恰有个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由，，，，五个数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（ ）个 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分相同数字为1，与不为1，再由分类计数原理求出答案。‎ ‎【详解】‎ 相同数不为1时，四位数的个位数是1，其他3个相同的数可能是2,3,4,5共4种 相同数为1时， 四位数的个位数是1，在2,3,4,5中选一个数放在十位或百位或千位上，共有种 则共有种 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合，分类计数原理，属于基础题。‎ ‎11．以下说法中正确个数是（ ）‎ ‎①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；‎ ‎②欲证不等式成立，只需证；‎ ‎③用数学归纳法证明（，，在验证成立时，左边所得项为；‎ ‎④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误.‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。‎ ‎②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。‎ ‎③令代入左式即可判断。‎ ‎④整数并不属于大前提中的“有些有理数”‎ ‎【详解】‎ 命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错 欲证不等式成立，因为，故只需证，②错 ‎（，，当时，左边所得项为；③正确 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确 综上所述：①②错③④正确 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查推理论证，属于基础题。‎ ‎12．定义在上的函数，若对于任意都有且则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】令,求导后根据题意知道在上单调递增，再求出，即可找到不等式的解集。‎ ‎【详解】‎ 令 则 所以在上单调递增，又 所以的解集 故选D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数解不等式，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎13．设随机变量，且，则实数的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】随机变量的正态曲线关于对称，即0与关于对称，解出即可。‎ ‎【详解】‎ 根据题意有 故填9‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的几何意义，属于基础题。‎ ‎14．已知，的取值如下表所示：‎ 从散点图分析，与线性相关，且，以此预测当时，_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据表格数据分别求出，代入求出的值，再计算当时的值。‎ ‎【详解】‎ 由表格知道 代入 得 即 当时 故填6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线，属于基础题，掌握线性回归直线过中心点是解题的关键。‎ ‎15．若ax2+的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】试题分析：因为，所以由，因此 ‎【考点】二项式定理 ‎【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.‎ ‎16．已知函数在时有极值，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在时有极值，由，代入解出再检验即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意知 又在时有极值，所以或 当时,与题意在时有极值矛盾，舍去 故，‎ 故填 ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的极值点求参数，属于中档题，需要注意的是求解的结果一定要检验其是否满足题意。‎ 三、解答题 ‎17．某企业是否支持进军新的区域市场，在全体员工中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：‎ 支持进军新的 区城市场 不支持进军新的区域市场 合计 老员工（入职8年以上）‎ 新员工（入职不超过8年）‎ 合计 ‎（Ⅰ）根据表中数据，问是否有的把握认为“新员工和老员工是否支持进军新的区域市场有差异”；‎ ‎（Ⅱ）已知在被调查的新员工中有名来自市场部，其中名支持进军新的区域市场，现在从这人中随机抽取人，设其中支持进军新的区域市场人数为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎【答案】（Ⅰ）有把握；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）将表格数据代入计算出结果大于即否，否则无。‎ ‎（Ⅱ）可能取值为，，；分别计算出其概率，列表写出的分布列，再计算数学期望即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（I）将列联表中的数据代入公式计算，‎ 由于，所以有的把握认为新员工和老员工是否支持进军新的区域市场有差异.‎ ‎（II）由题意得：的所有可能取值为，，；‎ ‎，，‎ 则的分布列为 故所求的数学期望 ‎【点睛】‎ 本题考查列联表与简单随机事件的分布列与期望，属于基础题。‎ ‎18．唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”、“碾”、“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是，，；能通过“碾”这道工序的概率分别是，，；由于他们平时学徒刻苦，都能通过“罗”这道工序；‎ 若这三道工序之间通过与否没有影响，‎ ‎（Ⅰ） 求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率，‎ ‎（Ⅱ）设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数的分布列.‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.35；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）甲、乙、丙中恰好有一人通过,可分为：甲过，乙、丙不过；乙过，甲、丙不过；丙过，乙、甲不过。‎ ‎（Ⅱ）先求出甲、乙、丙制成饼茶的概率，，.随机变量的可能取值为，，，，分别求出其概率，写出分布列即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（I）设，，分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”，则所求概率 ‎（II）甲制成饼茶的概率为，同理，.‎ 随机变量的可能取值为，，，，‎ 故的分布列为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单随机变量的分布列，属于基础题。‎ ‎19．设为实数，函数，‎ ‎（Ⅰ）若求的极小值.‎ ‎（Ⅱ）求证：当且时，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）将代入，求导，得出极小值点，代入即可求出答案。‎ ‎（Ⅱ）令，则，即只需说明当，在内单调递增即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（I）由，，知，，‎ 令，得，‎ 则当时， ，当时，，‎ 故在处取得极小值.极小值为.‎ ‎（II）证明：设，，于是，，‎ 由（I）知，对于，都有，故在内单调递增. ‎ 于是，当时， 对任意的，‎ 都有，而，从而对，都有，即 故 ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数单调性证明不等式，属于中档题。‎ ‎20．在新高考改革中，打破文理分科的“（选）”模式：我省实施“”，“”代表语文、数学、外语门高考必考科目，“”是物理、历史两科选一科，这里称之为主选，“”是化学、生物、政治、地理四科选两科，这里称为辅选，其中每位同学选哪科互不影响且等可能.‎ ‎（Ⅰ）甲、乙两同学主选和辅选的科目都相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）有一个人的学习小组，主选科目是物理，问：这人中辅选生物的人数是一个随机变量，求的分布列及期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（I）甲、乙两同学主选科目相同的概率，辅选科目相同的概率，再由分步计数原理的答案。‎ ‎（Ⅱ）每位同学辅选生物的概率为，且的所有可能取值为，，，，，。再分别计算出其概率，列表即可得出分布列，再求其期望。‎ ‎【详解】‎ 解：（I）设事件为“甲、乙两同学主选和辅选都相同.”‎ 则，即甲、乙两同学主选和辅选都相同的概率是 ‎（II）设事件为“每位同学辅选生物.”则 的所有可能取值为，，，，，：‎ 则，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的分布列为 随机变量的二项分布，故 ‎。.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单随机事件的概率、分布列与数学期望，属于中档题。‎ ‎21．已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间：‎ ‎（Ⅱ）关于的方程在范围内有两个解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据，，可解出，‎ 再求导判断即可。‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知在单调递减，在单调递增. ， ，画出草图即可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 解：（I）函数，则且.‎ 因为函数在处的切线方程为，‎ 所以则，则.‎ 所以，.‎ 当时故为单调递减，当时故为单调递增.‎ 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（II）因为方程在范围内有两个解，‎ 所以与在又两个交点 由（I）可知在单调递减，在单调递增.‎ 所以在有极小值为，且.‎ 又因为当趋于正无穷大时，也趋于正无穷大.所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的切线方程求函数的单调区间，根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题。‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程：‎ ‎（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）最小值为，此时的直角坐标为.‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线，利用 消掉参数即可，‎ 曲线，利用 化简即可。‎ ‎（Ⅱ）利用点到直线的距离公式 ，代入化简即可求出最小值。‎ ‎【详解】‎ 解：（I）的普通方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（II）由题意，可设点的直角坐标为.因为是直线，‎ 所以的最小值即为到的距离的最小值，‎ ‎，‎ 当且仅当（）时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，掌握互化公式是解本题的关键，属于基础题。‎