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- 2021-06-15 发布
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第八节 函数的图象
[最新考纲] 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.
1.利用描点法作函数的图象
方法步骤:(1)确定函数的定义域;
(2)化简函数的解析式;
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等);
(4)描点连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;
②y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;
③y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;
④y=ax(a>0且a≠1)的图象y=logax(a>0且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
①y=f(x)的图象
=f(ax)的图象;
②y=f(x)的图象
=af(x)的图象.
(4)翻转变换
①y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;
②y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.
1.关于对称的三个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
(3)若函数y=f(x)的定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.函数图象平移变换八字方针
(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量.
(2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到. ( )
(2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. ( )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同. ( )
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材改编
1.函数f(x)=-x的图象关于( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称
C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
C [∵f(x)=-x是奇函数,
∴图象关于原点对称.]
2.函数y=21-x的大致图象为( )
A B C D
A [y=21-x=,因为0<<1,所以y=为减函数,取x=0,则y=2,故选A.]
3.李明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.则与以上事件吻合最好的图象是( )
A B
C D
C [距学校的距离应逐渐减小,由于李明先是匀速运动,故前段是直线段,途中停留时距离不变,后段加速,后段比前段下降得快.]
4.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是________.
(-1,1] [在同一坐标系内作出y=f(x)和y=log2(x+1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(-1,1].
]
考点1 作函数的图象
函数图象的常用画法
(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象.
(2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.
(3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.
作出下列函数的图象:
(1)y=|x|;(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=;(4)y=x2-2|x|-1.
[解] (1)先作出y=的图象,保留y=图象中x≥0的部分,再作出y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=|x|的图象,如图1实线部分.
图1 图2
(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图2.
(3)∵y==2+,故函数图象可由y=图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图3.
图3 图4
(4)∵y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图4.
(1)画函数的图象一定要注意定义域.
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
考点2 函数图象的辨识
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
(1)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为( )
A B
C D
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为( )
A B
C D
(1)D (2)B [(1)∵f(-x)==-=-f(x),
∴f(x)是奇函数.又∵f(π)==>0,∴选D.
(2)当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时,-f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项可知,应选B.
通过图象变换识别函数图象要掌握的两点
(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象);
(2)了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换.
1.函数y=在[-6,6]的图象大致为( )
A B C D
B [设f(x)=(x∈[-6,6]),则f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数,排除选项C;当x=-1时,f(-1)=-<0,排除选项D;当x=4时,f(4)=≈7.97,排除选项A.故选B.]
2.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是( )
A B C D
C [当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.]
考点3 函数图象的应用
利用函数图象的直观性求解相关问题,关键在于准确作出函数图象,根据函数解析式的特征和图象的直观性确定函数的相关性质,特别是函数图象的对称性等,然后解决相关问题.
研究函数的性质
(1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
(2)对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________.
(1)C (2) [(1)将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
(2)函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为.
]
利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系.如:图象的左右范围对应定义域,上下范围对应值域,上升、下降趋势对应单调性,对称性对应奇偶性.
解不等式
设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
D [因为f(x)为奇函数,所以不等式<0可化为<0,即xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1).]
当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
求参数的取值范围
(1)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是________.
(2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.
(1)(0,1] (2)[-1,+∞) [(1)作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,
由图可知k∈(0,1].
(2)如图作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图象,观察图象可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).]
当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化确定参数的取值范围.
1.(2019·贵阳市监测考试)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称
B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数
C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴
D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
A [因为y===+2,所以该函数图象可以由y=的图象向右平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称,A正确,D错误;易知函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,故B错误;易知函数f(x)的图象是由y=的图象平移得到的,所以不存在两点A,B使得直线AB∥x轴,C错误.故选A.]
2.已知函数y=f(x)的图象是圆x2+y2=2上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是________.
(-1,0)∪(1,] [由图象可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)>-x.在同一直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图象,由图象可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,].
]
3.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是________.
[先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k的取值范围为.]