- 434.00 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2.2.2
事件的相互独立性(一)
高二数学 选修
2-3
①
什么叫做互斥事件?什么叫做对立事件
?
②
两个互斥事件
A
、
B
有一个发生的概率公式是什么?
③
若
A
与
A
为对立事件,则
P
(
A
)与
P
(
A
)关系如何?
不可能同时发生的两个事件
叫做互斥事件;
如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生
,这样的两个互斥事件叫对立事件
.
P(A+B)=P(A)+(B)
P(A)+P(
Ā)=1
复习回顾
(4).
条件概率
设事件
A
和事件
B
,且
P(A)>0,
在已知事件
A
发生的条件下事件
B
发生的概率,叫做
条件概率
。 记作
P(B |A).
(5).
条件概率计算公式
:
复习回顾
注意条件:必须
P(A)>0
问题探究:
下面看一例
在大小均匀的
5
个鸡蛋中有
3
个红皮蛋,
2
个白皮蛋,每次取一个,有放回地取两次,求在已知第一次取到红皮蛋的条件下,第二次取到红皮蛋的概率。
我们知道,当事件
A
的发生对事件
B
的发生有影响时,条件概率
P(B|A)
和概率
P(B)
一般是不相等的,但有时事件
A
的发生,看上去对事件
B
的发生没有影响,
比如依次抛掷两枚硬币的结果(事件
A
)对抛掷第二枚硬币的结果(事件
B
)没有影响,这时
P(B|A)
与
P(B)
相等吗?
1
、事件的相互独立性
相互独立事件及其同时发生的概率
设
A
,
B
为两个事件,如果
P(AB)=P(A)P(B)
,
则称事件
A
与事件
B
相互独立
。
即事件
A
(或
B
)是否发生
,
对事件
B
(或
A
)发生的概率没有影响,这样两个事件叫做相互独立事件
。
②
如果事件
A
与
B
相互独立,那么
A
与
B
,
A
与
B
,
A
与
B
是不是相互独立的
注:
①
区别:
互斥事件和相互独立事件是两个不同概念:
两个事件互斥
是指这两个事件不可能同时发生
;
两个事件相互独立
是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。
相互独立
2
、相互独立事件同时发生的概率公式:
“
第一、第二次都取到红皮蛋”
是一个事件,
它的发生就是事件
A,B
同时发生,将它记作
A
•
B
这就是说,两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件的概率的积。
一般地,如果事件
A
1
,
A
2
……
,
An
相互独立,那么这
n
个
事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即
P
(
A
1
·A
2
……
A
n
)
=P
(
A
1
)
·P
(
A
2
)
……
P
(
A
n
)
两个相互独立事件
A,B
同时发生
,
即事件
A
•B
发生的概
率为:
试一试
判断事件
A, B
是否为互斥
,
互独事件
?
1.
篮球比赛
“罚球二次”
.
事件
A
表示“ 第
1
球罚中”
,
事件
B
表示“第
2
球罚中”
.
2.
篮球比赛
“
1+1
罚球”
.
事件
A
表示 “ 第
1
球罚中”
,
事件
B
表示 “第
2
球罚中”
.
3.
袋中有
4
个白球
, 3
个黑球
,
从袋中依此取
2
球
.
事件
A:“
取出的是白球”
.
事件
B:“
取出的是黑球”
(
不放回抽取
)
4.
袋中有
4
个白球
, 3
个黑球
,
从袋中依此取
2
球
.
事件
A
为“取出的是白球”
.
事件
B
为“取出的是白球”
.
(
放回抽取
)
A
与
B
为互独事件
A
与
B
不是互独事件
A
与
B
为互独事件
A
与
B
为非互独也非互斥事件
例
1
某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是
0.05 ,
求两次抽奖中以下事件的概率:
(
1
)都抽到某一指定号码;
(
2
)恰有一次抽到某一指定号码;
(
3
)至少有一次抽到某一指定号码。
例
2
甲、乙二人各进行
1
次射击比赛,如果
2
人
击中目标的概率都是
0.6
,计算:
(
1
)两人都击中目标的概率
;
(
2
)其中恰由
1
人击中目标的概率
(
3
)至少有一人击中目标的概率
解:
(1)
记“甲射击
1
次
,
击中目标”为
事件
A.
“
乙射 击
1
次
,
击中目标”为
事件
B
.
答:两人都击中目标的概率是
0.36
且
A
与
B
相互独立,
又
A
与
B
各射击
1
次
,
都击中目标
,
就是事件
A,B
同
时发生,
根据相互独立事件的概率的乘法公式
,
得到
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6
=
0.36
例
2
甲、乙二人各进行
1
次射击比赛,如果
2
人击中目标的概率都是
0.6
,计算:
(2)
其中恰有
1
人击中目标的概率?
解:
“二人各射击
1
次,
恰有
1
人击中目标
”包括两种情况
:
一种是甲击中
,
乙未击中(事件 )
答:其中恰由
1
人击中目标的概率为
0.48.
根据互斥事件的概率加法公式和相互独立
事件的概率乘法公式,所求的概率是
另一种是
甲未击中,乙击中(事件
Ā•B
发生)。
B
A
•
根据题意,这两
种情况在各射击
1
次时不可能同时发生,即事件
Ā
•B
与
互斥,
例
2
甲、乙二人各进行
1
次射击比赛,如果
2
人击中目标的概率都是
0.6
,计算:
(
3
)至少有一人击中目标的概率
.
解法
1
:
两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
解法
2
:
两人都未击中的概率是
答:至少有一人击中的概率是
0.84.
巩固练习
生产一种零件,甲车间的合格率是
96%,
乙车间的合格率
是
97
%
,
从它们生产的零件中各抽取
1
件,都抽到合格品
的概率是多少?
解:
设从甲车间生产的零件中抽取
1
件得到合格品为
事件
A
,从乙车间抽取一件得到合格品为事件
B
。那么,
2
件都是合格品就是事件
A
•B
发生,又事件
A
与
B
相互独
立,所以抽到合格品的概率为
答:抽到合格品的概率是
例
3
在一段线路中并联着
3
个自动控制的常开开关,只要其中有
1
个开关能够闭合,线路就能正常工作
.
假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是
0.7,
计算在这段时间内线路正常工作的概率
.
由题意,这段时间内
3
个开关是否能够闭合相
互之间没有影响。
所以这段事件内线路正常工作的概率是
答:在这段时间内线路正常工作的概率是
0.973
解:
分别记这段时间内开关 能够闭合为事件
A,B,C.
根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内
3
个开关都不能闭合的概率是
巩固练习
1
、分别抛掷
2
枚质地均匀的硬币,设
A
是事件“第
1
枚为正面”,
B
是事件“第
2
枚为正面”,
C
是事件“
2
枚结果相同”。问:
A
,
B
,
C
中哪两个相互独立?
巩固练习
2
、在一段时间内,甲地下雨的概率是
0.2
,乙地下雨
的概率是
0.3
,假定在这段时间内两地是否下雨相互
之间没有影响,计算在这段时间内:
(
1
)甲、乙两地都下雨的概率;
(
2
)甲、乙两地都不下雨的概率;
(
3
)其中至少有一方下雨的概率
.
P=0.2×0.3
=
0.06
P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
P=1-0.56=0.44
3.
某战士射击中靶的概率为
0.99.
若连续射击两次
.
求
: (1)
两次都中靶的概率
;(2)
至少有一次中靶的概率
:
(3)
至多有一次中靶的概率
;(4)
目标被击中的概率
.
分析
:
设事件
A
为“第
1
次射击中靶”
. B
为“第
2
次射击中靶”
.
又∵
A
与
B
是互斥事件
.
⑴
“
两次都中靶” 是指 “事件
A
发生且事件
B
发生” 即
A·B
∴ P( A·B
)
= P
(
A
)
·P
(
B
)
=
(
2
)
“
至少有一次中靶” 是指
(
中
,
不中
), (
不中
,
中
), (
中
,
中
)
即
A·B + A·B+ A·B. ∴
求
P(A·B + A·B+ A·B)
(
3
)
“
至多有一次中靶” 是指
(
中
,
不中
), (
不中
,
中
), (
中
,
中
)
即
A·B + A·B+ A·B. ∴
求
P(A·B + A·B+ A·B)
(
4
)
“
目标被击中” 是指
(
中
,
不中
), (
不中
,
中
), (
中
,
中
)
即
A·B + A·B+ A·B. ∴
求
P(A·B + A·B+ A·B)
解题步骤:
1.
用恰当的字母标记事件
,
如“
XX”
记为
A, “YY”
记为
B.
2.
理清题意
,
判断各事件之间的关系
(
等可能
;
互斥
;
互独
;
对立
).
关键词
如
“至多”
“至少” “同时” “恰有”
.
求“至多” “至少”事件概率时
,
通常考虑它们的对立事件的概率
.
3.
寻找所求事件与已知事件之间的关系
.
“
所求事件”
分几类
(
考虑加法公式
,
转化为互斥事件
)
还是分几步组成
(
考虑乘法公式
,
转化为互独事件
)
4.
根据公式解答
1.
射击时
,
甲射
10
次可射中
8
次
;
乙射
10
次可射中
7
次
.
则
甲
,
乙同时射中
同一目标的概率为
_______
2.
甲袋中有
5
球
(3
红
,2
白
),
乙袋中有
3
球
(2
红
,1
白
).
从每袋中任取
1
球
,
则
至少取到
1
个白球
的概率是
___
14
15
3
5
3.
甲
,
乙二人单独解一道题
,
若甲
,
乙能解对该题的概率
分别是
m, n .
则
此题被解对
的概率是
_______
m+n- mn
4.
有一谜语
,
甲
,
乙
,
丙猜对的概率分别是
1/5, 1/3 , 1/4 .
则三人中
恰有一人猜对
该谜语的概率是
_____
13
30
P(A+B)=P(A·
B
)+P(
A
·B)
+
P(A·B)=1
-
P(
A
·
B
)
7.
在
100
件产品中有
4
件次品
.
①
从中抽
2
件
,
则
2
件都是次品概率为
___
②
从中抽两次
,
每次
1
件则两次都抽出次品的概率是
___
(
不放回抽取
)
③
从中抽两次
,
每次
1
件则两次都抽出次品的概率是
___
(
放回抽取
)
C
4
2
C
100
2
C
4
1
·C
3
1
C
100
1
·C
99
1
C
4
1
·C
4
1
C
100
1
·C
100
1
5.
加工某产品须经两道工序
,
这两道工序的次品率分别
为
a, b.
且这两道工序互相独立
.
产品的合格的概率
是
__.
(1-a)(1-b)
6.
某系统由
A,B,C
三个元件组成
,
每个元件正常工作概率为
P.
则系统正常工作的概率为
____
A
B
C
P+P
2
-
P
3
求较复杂事件概率
正向
反向
对立事件的概率
分类
分步
P(A+B)= P(A) + P (B)
P(A·B)= P(A) · P (B)
(
互斥事件
)
(
互独事件
)
独立事件一定不互斥
.
互斥事件一定不独立
.