辽宁省六校协作体2020届高三上学期开学考试数学（文）试卷 22页

‎2019—2020学年度上学期省六校协作体高三期初考试 文科数学试题 一：选择题。‎ ‎1.设集合，，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简集合N得，结合交集的定义可求结果。‎ ‎【详解】集合N可化为=；‎ 所以=。答案选D。‎ ‎【点睛】解决集合的运算类问题的关键在于弄清集合元素的属性含义，弄清集合中元素所具有的形式，以及有哪些元素，在运算时要结合数轴或Venn图。‎ ‎2.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的单调性即可判断出结论．‎ ‎【详解】 ⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到，‎ 故“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3.若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，，设向量与向量的夹角为，，，故选A.‎ ‎4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时，乌龟爬行的总距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据条件，乌龟每次爬行距离构成等比数列，公比为 当阿基里斯和乌龟的速度恰好为米时，乌龟爬行的总距离为 故选 ‎5.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线可化为，焦点在轴上，抛物线的准线方程是，故选D.‎ ‎6.关于函数，下列叙述有误的是( ）‎ A. 其图象关于直线对称 B. 其图象关于点对称 C. 其值域是 D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：把横坐标代入三角函数表达式，如果得到最大值或最小值，则为对称轴；把点的横坐标代入三角函数表达式中，若得到函数值为0，则点为对称中心；通过系数确定三角函数的值域为；三角函数平移变化中，横坐标伸长或缩短为原来的 。‎ 详解：选项A，将代入中， 为最小值，所以是函数的一条对称轴 ‎ 选项B，将代入中，，从而 ，所以点不是函数的一个对称中心 ‎ 选项C，函数的最大值为3，最小值为-1，所以值域为 ‎ 选项D，从3变为1，所以横坐标变为原来的 所以选B 点睛：本题综合考查了三角函数的轴对称、中心对称、值域和平移变化，主要根据每个性质的特征进行甄别判断，属于中档题。‎ ‎7.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 总计 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)‎ A. 列联表中的值为30，的值为35‎ B. 列联表中的值为15，的值为50‎ C. 根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”‎ D. 根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据成绩优秀的概率求出成绩优秀的学生数，从而求得和的值，再根据公式求得的值，与临界值比较大小，可判断“成绩与班级有关系”的可靠性程度.‎ ‎【详解】成绩优秀的概率为成绩优秀的学生数是，‎ 成绩非优秀的学生数是，选项错误，‎ 根据列联表中数据，得到，‎ 因此有把握认为“成绩与班级有关系”，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了检验性思想方法，考查了计算能力、阅读能力、建模能力，以及利用所学知识解决实际问题的能力，熟练掌握列联表各数据之间的关系及的计算公式是解题的关键.‎ ‎8.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. 12π ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2， 故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得。‎ ‎【详解】由三视图可知，原几何体是一条侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为，腰长为2，斜边长为2的等腰直角三角形，棱锥高为2， 故三棱锥的外接球是以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为，半径为，所以三棱锥的外接球体积为，‎ 故选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查通过三视图还原几何体，以及三棱锥的外接球的体积计算，意在考查学生的直观想象和数学计算能力。‎ ‎9.下列命题中是真命题的个数是（ ）‎ ‎（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ‎（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行 ‎（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行 ‎（4）两条直线能确定一个平面 ‎（5）垂直于同一个平面的两个平面平行 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：逐一分析判断每一个命题的真假.‎ 详解：对于（1），垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2），与同一个平面夹角相等的两条直线可能互相平行，也可能相交或异面，所以是错误的.对于（3），平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5），垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查空间位置关系的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例.‎ ‎10.定义：在区域内任取一点，则点满足的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型计算公式，求出试验包含的全部事件对应的集合以及满足条件的事件A 对应的面积，即可求得。‎ ‎【详解】试验包含的全部事件对应的集合是 ，满足条件的事件 ‎ ，如图所示，‎ ‎， ，所以，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查简单线性规划中可行域的画法和几何概型的概率计算。‎ ‎11.曲线与直线有两个不同的交点，实数的范围是()‎ A. (，+∞） B. (， C. (0，) D. (，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用。‎ 根据题意画出图形，如图所示：‎ 由题意可得：直线l过A（2，4），B（-2，1），，又直线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即 ‎，解得k=,‎ 当直线l过B点时，直线l的斜率为,则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为(，,故选B.‎ 解决该试题的关键是理解曲线表示的图形，结合数形结合思想得到结论。‎ ‎12.定义在R上的函数满足：，，则不等式 的解集为（ ）‎ A. (0,+∞) B. (－∞,0)∪(3,+ ∞)‎ C. (－∞,0)∪(0,+∞) D. (3,+ ∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由变形得，，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集。‎ ‎【详解】由变形得，，设，所以原不等式等价于，‎ 因为，所以在定义域 上递增，由，得，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力。‎ 二、填空题。‎ ‎13.i为虚数单位，设复数z满足，则z的虚部是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.‎ 详解：由，可得,，可得，‎ 所以，的虚部是，故答案为 点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.‎ ‎14.设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：首先绘制出可行域，然后求得函数2x+y的最小值，最后结合指数函数的单调性即可求得最终结果.‎ 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 要求解目标函数 的最大值，只需求解函数的最小值，‎ 结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最小值，‎ 则目标函数 的最大值为：.‎ 点睛：本题的关键是求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎15.富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句．据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是__________．（A莎士比亚、B雨果、C曹雪芹，按顺序填写字母即可．）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：若刘老师猜对的是①，则：‎ ‎①张博源研究的是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究不一定是曹雪芹；‎ ‎③高家铭研究的是莎士比亚．‎ ‎①③矛盾，假设错误；‎ 若刘老师猜对的是②，则：‎ ‎①张博源研究的不是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；‎ ‎③高家铭研究的是莎士比亚．‎ 则张博源研究的不是曹雪芹，刘雨恒研究的是雨果，高家铭研究的是莎士比亚．‎ 符合题意；‎ 若刘老师猜对的是③，则：‎ ‎①张博源研究的不是莎士比亚；‎ ‎②刘雨恒研究的不一定是曹雪芹；‎ ‎③高家铭自然不会研究莎士比亚．‎ 据此可知，刘雨恒研究的是莎士比亚，其余两人研究的是谁无法确定，‎ 排除这种可能.‎ 据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是.‎ ‎16.已知双曲线：，过双曲线的右焦点作的渐近线的垂线，垂足为，延长与轴交于点，且，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线：的渐近线方程为，右焦点 过与渐近线垂直的直线为 由可解得：，‎ 在中，令，可得：‎ ‎，‎ 整理得：，则 即双曲线的离心率为 三、解答题 ‎17.在中，已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，为的中点，求的长.‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）且，∴．------2分 ‎--------------3分 ‎．--------------6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．--------------8分 由正弦定理得，即，解得．------------10分 中，，，‎ 所以．-------------------------12分 考点：本题考查了正余弦定理的运用 点评：正余弦定理是处理三角形边角关系的重要工具，应用时注意三角形中的性质及角的范围。‎ ‎18.在四棱锥中，四边形矩形，平面平面，点、分别为、中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接．推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明 平面；． （2）推导出，，从而平面，进而平面 平面，平面，推导出，从而平面 平面，得点点到平面的距离等于点到平面的距离.，由此能求出三棱锥P-DEF的体积．‎ ‎【详解】（I）证明：取中点，连接.‎ 在△中，有 ‎ 分别为、中点 ‎ 在矩形中，为中点 ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ 而平面，平面 ‎ 平面 ‎ ‎（II）解： 四边形是矩形 ‎ ，‎ ‎ 平面 平面,平面 平面=，平面 ‎ 平面 ‎ ‎ 平面 平面，平面 ‎ ‎ ‎ ，满足 ‎ ‎ 平面 平面 ‎ 点到平面的距离等于点到平面的距离. ‎ 而 ‎ ‎ ‎ ‎　三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题 ‎19.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人．‎ ‎（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；‎ ‎（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；‎ ‎（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．‎ ‎【答案】（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人 ‎（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，‎ ‎, ‎ ‎ ,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差. ‎ ‎（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分 设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为 ,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率. ‎ ‎20.已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.‎ 因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.‎ 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程得 .‎ 因为 ，‎ 所以.‎ 设，，‎ 根据根与系数的关系得，.‎ 则 .‎ 因为，即 .‎ 整理得.‎ 令，则.‎ 所以 .‎ 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.‎ 故的最大值为.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（2）试讨论函数在区间上最大值；‎ ‎（3）若时，函数恰有两个零点，求证：.‎ ‎【答案】(1);(2)当时,,当时，;(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求函数的导数，由求之即可；(2)，分当与分别讨论函数的单调性，求其最值即可；(3)由可得 ‎，即，设，则，即，故，用作差比较法证明即可.‎ 试题解析： （1）由，，‎ 由于函数在处的切线与直线平行，‎ 故，解得.‎ ‎（2），由时，；时，，‎ 所以①当时，在上单调递减，‎ 故在上的最大值为；‎ ‎②当，在上单调递增，在上单调递减，‎ 故在上的最大值为；‎ ‎（3）若时，恰有两个零点，‎ 由，，‎ 得，‎ ‎∴，设，，，‎ 故，‎ ‎∴，记函数，因，‎ ‎∴在递增，∵，∴，‎ 又，，故成立.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、最值；3.函数与不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值、函数与不等式，难题；在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式.‎ ‎22.已知直线的参数方程为 （为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数即可确定普通方程，将极坐标方程两边乘以整理计算即可确定直角坐标方程；（2）联立直线参数方程的标准形式和圆的方程，结合参数的几何意义即可求得弦长．‎ ‎【详解】（1）直线 （为参数），消去得：‎ 即：‎ 曲线，即 又，．‎ 故曲线 ‎（2）直线的参数方程为 （为参数）‎ 直线的参数方程为 （为参数）‎ 代入曲线，消去得：‎ 由参数的几何意义知，‎ ‎【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的极坐标方程与普通方程的互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去已知函数的绝对值，可得，再分情况解不等式，可得x的取值范围。（2）由（1）得当时，，不等式a+14，当时，有，解得x<-2；‎ 当时，有，解得；‎ 当时，有，解得；‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ ‎∵当时，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数，解题关键是分段函数分段求；关于不等式恒成立问题：1,由已知条件确定不等式，2,根据x的取值范围求参数的取值范围。‎ ‎ ‎