【数学】2018届一轮复习人教A版 函数及其表示 学案 13页

‎1.函数与映射 函数 映射 两集合 A、B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系fA→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应 集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应 名称 称fA→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应fA→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(x∈A)‎ 对应fA→B是一个映射 ‎2.函数的有关概念 ‎(1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.‎ ‎(2)函数的三要素定义域、对应关系和值域.‎ ‎(3)函数的表示法 表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法.‎ ‎3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.‎ 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集 ‎，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.‎ ‎4.常见函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N＋‎ f(x)≥0‎ 与[f(x)]0‎ f(x)≠0‎ logaf(x)(a>0，a≠1)‎ f(x)>0‎ logf(x)g(x)‎ f(x)>0，且f(x)≠1，‎ g(x)>0‎ tan f(x)‎ f(x)≠kπ＋，k∈Z ‎【思考辨析】‎ 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)对于函数fA→B，其值域是集合B.(　×　)‎ ‎(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.(　×　)‎ ‎(3)映射是特殊的函数.(　×　)‎ ‎(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，fx→y＝|x|，其对应是从A到B的映射.(　×　)‎ ‎(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.(　×　)‎ ‎1.下列函数中，不满足f(2x)＝‎2f(x)的是(　　)‎ A.f(x)＝|x| B.f(x)＝x－|x|‎ C.f(x)＝x＋1 D.f(x)＝－x 答案　C 解析　将f(2x)表示出来，看与‎2f(x)是否相等.‎ 对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝‎2f(x)；‎ 对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝‎2f(x)；‎ 对于C，f(2x)＝2x＋1≠‎2f(x)；‎ 对于D，f(2x)＝－2x＝‎2f(x)，‎ 故只有C不满足f(2x)＝‎2f(x)，所以选C.‎ ‎2.函数f(x)＝的定义域为(　　)‎ A. B.(2，＋∞)‎ C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞)‎ 答案　C 解析　要使函数f(x)有意义，需使解得x>2或00时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图像，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图像，故选B.‎ 题型二　函数的定义域 命题点1　求给定函数解析式的定义域 例2　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A.(－3,0] B.(－3,1]‎ C.(－∞，－3)∪(－3,0] D.(－∞，－3)∪(－3,1]‎ ‎(2)函数f(x)＝的定义域是(　　)‎ A.(－1，＋∞) B.[－1，＋∞)‎ C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.[－1,1)∪(1，＋∞)‎ 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)由题意知解得－30且x－1≠0，得x>－1，且x≠1，故选C.‎ 命题点2　求抽象函数的定义域 例3　(1)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 016]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)‎ A.[0,2 015] B.[0,1)∪(1,2 015]‎ C.(1,2 016] D.[－1,1)∪(1,2 015]‎ ‎(2)若函数f(x)的定义域为(0,1]，则函数f的定义域为(　　)‎ A.[－5,4] B.[－5，－2)‎ C.[－5，－2]∪[1,4] D.[－5，－2)或(1,4]‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t≤2 016.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2 016，解得0≤x≤2 015，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2 015].‎ 所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1或11)　(2)2x＋7　(3)＋ 解析　(1)(换元法)令t＝＋1(t>1)，则x＝，‎ ‎∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1).‎ ‎(2)(待定系数法)‎ 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，‎ 则‎3f(x＋1)－‎2f(x－1)＝3ax＋‎3a＋3b－2ax＋‎2a－2b＝ax＋‎5a＋b，‎ 即ax＋‎5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，‎ ‎∴解得 ‎∴f(x)＝2x＋7.‎ ‎(3)(消去法)‎ 在f(x)＝‎2f()－1中，用代替x，‎ 得f()＝‎2f(x)－1，‎ 将f()＝－1代入f(x)＝‎2f()－1中，‎ 可求得f(x)＝＋.‎ 思维升华　函数解析式的求法 ‎(1)待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；‎ ‎(2)换元法已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；‎ ‎(3)配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；‎ ‎(4)消去法已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).‎ ‎　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.‎ ‎(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝‎2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.‎ ‎(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足‎2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝_____________.‎ 答案　(1)x2－1(x≥1)　(2)－x(x＋1)‎ ‎(3)lg(x＋1)＋lg(1－x) (－10，所以f()＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.‎ ‎6.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为_______.‎ 答案　－ 解析　当a>0时，1－ a<1,1＋a>1.‎ 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a，‎ f(1＋a)＝－(1＋a)－‎2a＝－1－‎3a.‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－‎3a，解得a＝－，‎ 不合题意，舍去.‎ 当a<0时，1－a>1,1＋a<1，‎ 这时f(1－a)＝－(1－a)－‎2a＝－1－a，‎ f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋‎3a.‎ 由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋‎3a，解得a＝－.‎ 综上可知，a的值为－.‎ ‎7.设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为__________.‎ 答案　 解析　由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝或x＝.故x的集合为.‎ ‎8.(2015·浙江)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝_____，f(x)的最小值是_____.‎ 答案　0　2－3‎ 解析　∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，‎ ‎∴f(f(－3))＝f(1)＝0，‎ 当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；‎ 当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2－3.‎ ‎9.已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式.‎ 解　设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，又f(0)＝0，‎ ‎∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.‎ 又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.‎ ‎∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.‎ ‎∴(‎2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，‎ ‎∴解得 ‎∴f(x)＝x2＋x.‎ ‎10.根据如图所示的函数y＝f(x)的图像，写出函数的解析式.‎ 解　当－3≤x<－1时，函数y＝f(x)的图像是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－；‎ 当－1≤x<1时，同理可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，‎ 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f(x)＝x－；‎ 当1≤x<2时，f(x)＝1.‎ 所以f(x)＝ B组　专项能力提升 ‎(时间15分钟)‎ ‎11.若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　[0,3)‎ 解析　因为函数y＝的定义域为R，‎ 所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，‎ 即函数y＝ax2＋2ax＋3的图像与x轴无交点.‎ 当a＝0时，函数y＝的图像与x轴无交点；‎ 当a≠0时，则Δ＝(‎2a)2－4·‎3a<0，解得00)，若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是____________.‎ 答案　 解析　当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x2的值域是[0,1]，‎ g(x)＝2acos－‎3a＋2 (a>0)的值域是[2－‎2a,2－a]，为使存在x1，x2∈[0,1]使得f(x1)＝g(x2)成立，需[0,1]∩[2－‎2a,2－a]≠∅.由[0,1]∩[2－‎2a,2－a]＝∅，得1<－‎2a＋2或2－a<0，解得a<或a>2.所以，若存在x1，x2∈[0,1]使得f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是≤a≤2.‎ ‎14.已知x∈R，定义A(x)表示不小于x的最小整数.如A()＝2，A(－0.4)＝0，A(－1.1)＝－1.若A(2x＋1)＝3，则实数x的取值范围是__________.‎ 答案　 解析　由题中定义可知A(2x＋1)＝3等价于2<2x＋1≤3，解得