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- 2021-06-15 发布
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数学(理科)
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设全集U＝R，A＝{x|y＝lg(x2－x－6)}，B＝{y|y＝2x，x<0}，则A∪(B)＝( )
A.{x|x<－2或x≥1} B.{x|x≤0或x≥1}
C.{x|x<－2或x>3} D.{x|－20)的通径长为4，点P(x，y)是抛物线C上任意一点，则的最大值为 。
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.
（一）必考题:共60分
17.(本小题满分12分)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对应的边长分别为a，b，c，若△ABC的面积S＝a2sinB，且sinA＝sinBsinC。
(1)求角B；
(2)求的值。
18.(本小题满分12分)已知椭圆C：的短轴长为2，且椭圆C经过点A(，1)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P，Q是椭圆C上关于原点的对称点。记，求λ的取值范围。
19.(本小题满分12分)如图（1），在平面四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，AB中点为F，，，，沿BD将折起，使C至位置，如图（2）.
（1）求证：；
（2）当平面平面ABD时，求直线与平面所成角的正弦值.
20.(本小题满分12分)(错题再现）已知函数，为的导函数，证明：
（1）在区间上存在唯一极大值点；
（2）在区间上有且仅有一个零点.
21.(本小题满分12分)2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(错题再现）（10分）选修4—4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点为A，与y轴的交点为B，P是曲线C上一点，求面积的最大值.
23.（10分）选修4—5不等式选讲
已知，证明：
（1）；
（2）
参 考 答 案
一、 选择题：BBAC,CADD,BCDA
二、填空题：13: 6 14:.>1 15: 16:
三、解答题：
19【详解】（1）∵，
∴平面，而平面，
∴。
（2）由（1）知是二面角的平面角，
又平面平面ABD，∴，即，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
在四边形中，∵，∴，，，
∴，是中点，∴
，，，
设平面的法向量为，则
，即，则，，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为。
20【详解】（1），设，
则，
当时，，递增，又是增函数，
∴在是单调递减．
，，
∴存在唯一的，使得，且当时，，递增，时，，递减，∴是的极大值点，也是唯一极大值点．
即是上的的唯一极大值点．
（2）由（1），，∴时，，
∴在上单调递增．
，，
∴在上存在零点也是唯一零点．
21.【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，
，
，
，
∴的分布列为：
－1
0
1
（2）由（1），
，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：
记，，，则
，，，，
由此得甲的得分的分布列为：
－2
－1
0
1
2
∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，
∴，
∴数列是等比数列，公比为，首项为，
∴．
∴．
22【详解】（1）由得，这是曲线的普通方程，
由得，∴，即．
（2）由（1）知直线与坐标轴的交点为，，
圆方程为，圆心为，半径为，点在圆上，
圆心到直线的距离为，
到直线的距离的最大值为，又，
∴．
23证明：（1）表示点到原点的距离的平方，而原点到直线的距离为，∴；
（2）∵，∴，，
，易知时，取得最大值．
∴．
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