四川省内江市高中2020届高三上学期第一次模拟数学（理）试题 21页

内江市高中2020届第一次模拟考试题数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把正确选项的代号填在答题卡的指定位置）‎ ‎1.已知集合，，若，则实数为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据并集的运算结果可得出实数的值.‎ ‎【详解】集合，，且，或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用交并集的运算求参数，在处理有限集的计算时，要注意元素互异性这个特征，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点所在的象限.‎ ‎【详解】，‎ 因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为，在半径为 的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.‎ ‎【详解】圆内接正十二边形的每条边在圆内所对的圆心角为，‎ 所以，半径为的圆的内接正十二边形的面积为，‎ 因此，在半径为的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用几何概型的概率公式计算概率，解题的关键就是求出相应平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎4.在二项式的展开式中，含的项的系数是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求得．‎ ‎【详解】解：对于，‎ 对于10﹣3r＝4，‎ ‎∴r＝2，‎ 则x4的项的系数是C52（﹣1）2＝10‎ 故选．‎ 点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.‎ ‎ 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.‎ ‎5.函数在处的切线如图所示，则（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由切线经过坐标轴上的两点求出切线的斜率和切线方程,然后求出,即可得到的值.‎ ‎【详解】解:因为切线过和,所以,‎ 所以切线方程为,取,则,所以,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了数形结合思想,属基础题.‎ ‎6.已知等比数列是递增数列，，，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列公比为，根据题意求出和的值，并确定出等比数列的首项和公比，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列的前项和的值.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，由题意得，解得或，‎ 由于等比数列是递增数列，则，，，且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ 因此，数列的前项和为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的求和，根据题意求出等比数列的首项和公比是解题的关键，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,求出,即可排除错误选项.‎ ‎【详解】解:因为,所以,排除ACD.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式选择函数的图象,解题关键是特殊值的选取,属基础题.‎ ‎8.已知向量， ，，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接用向量的夹角公式求出两向量的夹角即可.‎ ‎【详解】解:因为,,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 所以向量与的夹角为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了向量夹角的求法和诱导公式,属基础题.‎ ‎9.宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，， 继续循环；结束输出.‎ 点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.‎ ‎10.定义在上的偶函数满足：任意，，有，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件可知在上单调递减,然后结合的奇偶性比较函数值的大小即可.‎ ‎【详解】解:由任意,,有,‎ 知在上单调递减,又为上的偶函数,‎ 所以<<,‎ 即.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性的定义,函数的奇偶性和利用单调性比较函数值的大小,属基础题.‎ ‎11.函数，其中为数列的前项和，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用裂项相消法求出,再求出,进一步求出的值.‎ ‎【详解】解:因为,所以,‎ 所以=.‎ 由,‎ 得,‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运算和利用裂项相消法求数列的前项和,属中档题.‎ ‎12.已知函数，若，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质以及对数函数的性质可得，，数形结合求出,，进而可得结果.‎ ‎【详解】画出函数的大致图象如下图，‎ 得出，，①错、②正确；‎ 且，，‎ ‎，‎ 则，③正确；‎ 因为，‎ 所以④正确.故选C.‎ ‎【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.‎ 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题 ‎13.已知随机变量服从正态分布，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态曲线的对称性,直接求解即可.‎ ‎【详解】解:因为随机变量服从正态分布,‎ 所以正态曲线关于对称,所以.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题.‎ ‎14.设函数，则函数的定义域为___________.‎ ‎【答案】（-9，1）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,然后根据对数函数的真数大于0,求出其值域.‎ ‎【详解】解:因为,所以.‎ 由,得,所以,‎ 所以函数的定义域为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数定义域的求法和解对数不等式,属基础题.‎ ‎15.已知函数是定义域为的奇函数满足.若 ‎，则___________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是定义域为的奇函数满足,得到和的周期,再结合,求出,,和的值,进一步得到答案.‎ ‎【详解】解:因为是定义域为的奇函数满足,‎ 所以,,‎ 则,所以的周期,‎ 又,所以,,‎ 令,则,所以,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:0.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的应用,考查了转化思想和计算能力,属中档题.‎ ‎16.对于函数（其中）：①若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为，则；②若函数在上单调递增，则的范围为；③若，则在点处的切线方程为 ；④若，，则的最小值为；⑤若，则函数的图象向右平移个单位可以得到函数的图象.其中正确命题的序号有_______.（把你认为正确的序号都填上）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据条件,可得,然后利用周期公式求出;②根据在上单调递增,可得,然后求出的范围;③当时,求出f(0)和f(x)的导函数,然后求出处的切线方程的斜率,再求出切线方程即可;④根据,直接利用整体法求出f(x)的值域,从而得到f(x)的最小值;⑤直接求出函数的图象向右平移个单位的解析式即可.‎ ‎【详解】解:①若函数的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为,则 ‎,所以,所以,故①正确;‎ ‎②当,则,‎ 因为,所以若函数在上单调递增,则,‎ 所以,又,所以,故②错误;‎ ‎③当时,,则,‎ ‎ ,所以切线的斜率,‎ 所以在点处的切线方程为,故③错误;‎ ‎④当时,,当时,,‎ 所以当,所以,故④正确;‎ ‎⑤当时,,若的图象向右平移个单位,‎ 则,故⑤错误.‎ 故答案为:①④.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,曲线切线方程的求法和三角函数的平移变换,考查了数学结合思想和转化思想,属中档题.‎ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题考生根据要求作答）‎ ‎（一）必考题 ‎17.的内角、、的对边分别为、、，设.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出，再结合角的取值范围可得出角的值；‎ ‎（2）对利用余弦定理，利用基本不等式求出的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出，可判断出此时的形状.‎ ‎【详解】（1），，，‎ 由余弦定理得，，；‎ ‎（2）由余弦定理和基本不等式得，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 的面积.‎ 此时，由于，，则是等边三角形.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎18.某校为提高课堂教学效果，最近立项了市级课题《高效课堂教学模式及其运用》，其中王老师是该课题的主研人之一，为获得第一手数据，她分别在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验.为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分为“成绩优良”.‎ ‎（1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计 ‎（2）从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下（不含60分）的学生中任意选取2人，记来自甲班的人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附：（其中）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据茎叶图中的数据填写列联表,然后计算,再对照表得出结论;‎ ‎(2)先确定甲班人数的所有可能取值,然后分别求其概率,再得到X的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】解:(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示,‎ 甲班 乙班 总计 成绩优良 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 成绩不优良 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据,得,‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.‎ ‎(2)甲、乙两班40个样本中,成绩在60分以下(不含60分)的学生人数为6.‎ 由题意可知X的取值分别为,,,则 ‎；；.‎ ‎∴分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其数学期望.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验,离散随机变量的分布列和数学期望,考查了计算能力,属中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明对一切，都有成立.‎ ‎【答案】（1）的递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域和导数，然后分别解不等式和，可得出函数的递增区间和递减区间；‎ ‎（2）要证，即证，构造函数，证明出，并说明两个函数的最值不在同一处取得即可.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，且.‎ 令，即，解得；令，即，解得.‎ 因此，函数的递增区间是，递减区间是；‎ ‎（2）要证，即证，构造函数，其中.‎ 由（1）知，函数在处取得极大值，亦即最大值，即.‎ ‎，.‎ 令，得；令，得.‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ 则函数在处取得极小值，亦即最小值，即.‎ ‎，所以，，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等等式，一般转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎20.已知数列为等差数列，且，.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）设，为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，利用、求出的值，可求出数列的通项公式，再利用对数式化指数式可求出；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，利用定义判断数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式求出，可求出的取值范围，即可得出关于的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 则，解得，‎ ‎，，，‎ ‎；‎ ‎（2），，且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，‎ 由于数列单调递增，，，‎ 对任意，总有，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了等比数列前项和的计算，涉及对数的运算以及数列不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数满足：.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若，且当时，，求整数k的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接对f(x)求导,然后令x=1,求出,再令x=0,求出,从而得到f(x)的解析式;‎ ‎(2)先求出g(x)的解析式,然后利用分离参数法求出k的范围,进一步得到整数k的最大值.‎ ‎【详解】解:(1)∵,‎ ‎∴,‎ 令得,,即,‎ 令得, ,‎ ‎∴函数的解析式为.‎ ‎(2)由(1)有,则,‎ ‎∴,‎ 故当时,等价于①,‎ 令,则,‎ 令函数,易在上单调递增,‎ 而,,所以在内存在唯一的零点,‎ 故在内存在唯一的零点,设此零点为,则.‎ 当时,；当时,.‎ ‎∴在内的最小值为.又由可得 ‎∴,∴,‎ ‎∴恒成立,则整数的最大值为2.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,不等式恒成立问题,考查了转化思想和函数思想,属难题.‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分 ‎22.在平面直角坐标系中，圆参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（1）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若圆心到直线的距离等于2，求的值.‎ ‎【答案】（1）圆的普通方程为；；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)消去参数可得圆的普通方程及直线的直角坐标方程分别为, ；‎ ‎(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为.‎ 由，得 ‎.‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，圆心到直线的距离等于2，‎ 即，‎ 解得.‎ ‎23.函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，然后分、、三种情况讨论，去绝对值，分别解出不等式，即可得出该不等式的解集；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式求出函数的最小值为，由题意可得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，.‎ 当时，，解得，此时；‎ 当时，成立，此时；‎ 当时，，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎（2）由于不等式在上恒成立，则.‎ 由绝对值三角不等式可得，‎ ‎，即或，解得或.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，同时也考查了绝对值不等式恒成立问题的求解，一般转化为函数的最值来处理，涉及了绝对值三角不等式的应用，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎ ‎