山西省大同市2020届高三开学考试数学文科试题 20页

大同市2020届高三学情调研测试试题（卷）‎ 文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设，则Z的共轭复数为（ ）‎ A. B. 1 C. i D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案。‎ ‎【详解】，故选：A。‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题。‎ ‎2.已知集合A满足，则集合A的个数为（ ）‎ A 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意列出集合A的所有可能即可。‎ ‎【详解】解：由题意，集合A可以为：，故选：D。‎ ‎【点睛】本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题。‎ ‎3.已知命题，，命题，，则下列判断正确的是（ ）‎ A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是真命题 D. 是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质分别判定命题的真假，再确定命题的真假，然后逐项判断即可．‎ ‎【详解】解：命题，，，为真；‎ 命题时，恒成立，，故为假。‎ 则是真命题，故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题的真假是解决本题的关键，是基础题．‎ ‎4.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，‎ 根据正切函数性质，可得，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的体积．‎ ‎【详解】解：正方体体积为8，可知其边长为2，‎ 正方体的体对角线为，即为球的直径，所以半径为，‎ 所以球的体积为．故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查学生的空间想象能力，体积的计算能力，是基础题．‎ ‎6.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程得．结合双曲线的渐近线方程，得到3，再利用离心率的计算公式即可算出该双曲线的离心率．‎ ‎【详解】解：双曲线方程为，，‎ 因此双曲线的渐近线方程为，即，‎ ‎，得，所以，‎ 所以双曲线的离心率，故选：B．‎ ‎【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎7.以下是解方程的程序框图，输出的i为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先：代入，得，此时是否的，再继续代入，得，此时还是否的，再继续代入，直到时，输出，结束 ‎【详解】，‎ 第一步：代入，得，此时是否的；‎ 第二步：代入，得，此时是否的；‎ 第三步：代入，得，此时是否的；‎ 第四步：代入，得，此时是正确的；‎ 此时输出=4，结束，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查循环结构的程序框图，根据流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法。‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎，故选A.‎ 考点：三角恒等变换.‎ ‎9.《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面ABCD为矩形，且底面ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，，，，则时，（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过，=+,且=得到=，由高相等，得底面积相等，即可求解 ‎【详解】因为，所以，又=+,且=，‎ ‎=，，，，故选：D．‎ ‎【点睛】研究棱锥体积的时候，需要将底面进行转化，同时发现是否有相同的底面或相同的高，本题是道中等难度的题目。‎ ‎10.若等差数列的前n项和有最大值，且，那么取正值时项数n 的最大值为（ ）‎ A. 15 B. 17 C. 19 D. 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，有最大值，得，利用，可得，且，再利用求和公式与数列的单调性即可判断出结论．‎ ‎【详解】解：由题意值，有最大值，所以，因为，可得，且，‎ 所以，则，‎ 又，所以，‎ ‎，‎ 又，所以为最小正值。故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，的周长为16，即，结合椭圆的定义，有，即可得的值；又由椭圆的离心率，可得的值，进而可得的值；由椭圆的焦点在轴上，可得椭圆的方程．‎ ‎【详解】解答：解：根据题意，的周长为16，即,‎ 根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．‎ ‎12.已知，方程有三个根，则a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数研究的单调性和极值，然后求出 的根，通过根与极值的大小关系得出结果。‎ ‎【详解】解：，则，‎ 和时，，此时在和上单调递减，‎ 时，，此时在上单调递增。‎ 上，有，得，‎ 在及，先减后增加，。‎ 对于方程 ‎，‎ 因为方程有三个根，由的单调性以及极值可得 ‎，解得，故选：B。‎ ‎【点睛】本题利用函数单调性和极值，来研究根的个数问题，是一道难度较大的题目。‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知各项均为正数的等比数列，，，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于为正数的等比数列，，则，故答案为.‎ 考点：等比数列的性质.‎ ‎14.中国象棋是中华文化的瑰宝，中国象棋棋盘上的“米”字形方框叫做九宫，取意后天八卦中的九星方位图。现有一张中国象棋棋盘如图所示。若在该棋盘矩形区城内（其中楚河，汉界宽度等于每个小格的边长）随机地取一点，该点落在九宫内的概率是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 随机取一点，总的基本事件构成整个棋盘，构成的面积为，而该点落在九宫内这件事情构成的面积为，根据几何概型的公式可求。‎ ‎【详解】解：总的基本事件构成整个棋盘，构成的面积为 ‎，而随机取一点，该点落在九宫内这件事情构成的面积为，设为该点落在九宫内的概率，则 ‎【点睛】本题考查几何概型，是一道简单题。‎ ‎15.实数x，y满足不等式组，则的最大值为______．‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出满足条件的平面区域，求出的坐标，令得：‎ ‎，通过图象求出的最大值即的最大值即可．‎ ‎【详解】解：实数满足不等式组，对应的平面区域如图：‎ 三角形的三边及其内部部分：‎ 联立得：．联立得：，‎ 令得：，显然直线过时，最大，此时=21，‎ 直线过时，最小，此时=1，故=，故的最大值是21，故答案为：21．‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．‎ ‎16.P是AB的垂直平分线上一点，O是平面上一点，，，且，，则___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 注意到在线段的垂直平分线上，若设中点为，则，，且，代换转化为的运算即可得到结果。‎ ‎【详解】解：设中点为，则，，‎ 且，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查线段垂直平方线的性质、向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方，考查转化计算能力．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据．‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤．‎ 参考公式：，．‎ ‎【答案】（1）见试题解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）散点图如下图所示：‎ ‎（2）由题中数据易得，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故，‎ 所以，‎ 故所求线性回归方程为．‎ ‎（3）根据回归方程的预测，现在生产100吨甲产品消耗的标准煤为（吨），‎ 故生产能耗降低了吨标准煤．‎ ‎18.△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设·,求．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：，又，所以，所以，展开两边同除以即可；（2）因为·，，所以，则，由余弦定理得 ‎，所以，．‎ 试题解析：（1）‎ ‎∴‎ ‎（2）∵·，∴，‎ 则 ‎∴‎ ‎∴，‎ 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式．‎ ‎19.如图所示，在直三棱柱中，,,，点是的中点． ‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由勾股定理计算得AC⊥BC，再由直棱柱性质得C1C⊥AC，最后根据线面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1；（2）设CB1与C1B的交点为E，由三角形中位线性质得DE∥AC1，再根据线面平行判定定理得结论；（3）因为DE∥AC1，所以∠CED为AC1与B1C所成的角．再根据解三角形得所成角的余弦值．‎ ‎【详解】(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.‎ 又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.‎ ‎∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.‎ ‎(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，‎ 又四边形BCC1B1为正方形．‎ ‎∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.‎ ‎∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1.‎ ‎(3)∵DE∥AC1，‎ ‎∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝AC1＝，‎ CD＝AB＝，CE＝CB1＝2，∴cos∠CED＝＝.‎ ‎∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎20.‎ 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为 l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．‎ ‎(1)求a，b，c的值；‎ ‎(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.‎ 试题解析：‎ ‎(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，‎ 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.‎ 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①‎ 当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②‎ 由①②，解得a＝2，b＝－4.‎ 由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.‎ ‎(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4.‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)取值及变化情况如下表所示：‎ x ‎－3‎ ‎(－3，－2)‎ ‎－2‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎8‎ 单调递增 ‎13‎ 单调递减 单调递增 ‎4‎ 所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.‎ 点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.‎ ‎21.已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹；‎ ‎（2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足,若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）及；（2）不存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设动圆圆心为，做轴交轴于N.‎ 若两圆外切，，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 若两圆内切，，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 综上，动圆圆心的轨迹方程为 及，‎ ‎（2）设直线存在其方程可设为，‎ 依题意，它与曲线交于A，D，‎ 与曲线交于B，C，‎ 由与，‎ 得及，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ 将代入方程，‎ 得，‎ 因为曲线中横坐标范围为（-∞，-2）∪（2，+∞），‎ 所以这样的直线不存在.‎ ‎22.在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为，过点的直线l的参数方程为 ‎（为参数），直线l与曲线C交于M、N两点。‎ ‎（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程：‎ ‎（2）若成等比数列，求a的值。‎ ‎【答案】（1）l的普通方程；C的直角坐标方程；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数即可得到直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线的参数方程，代入曲线的方程，利用参数的几何意义即可得出，从而建立关于的方程，求解即可．‎ ‎【详解】（1）由直线l的参数方程消去参数t得,‎ ‎，即为l的普通方程 由，两边乘以得 ‎ 为C的直角坐标方程.‎ ‎（2）将代入抛物线得 由已知成等比数列，‎ 即，，，‎ 整理得 ‎ ‎（舍去）或.‎ ‎【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．‎ ‎23.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：‎ ‎（Ⅰ）ab+bc+ac；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，，得：‎ ‎，‎ 由题设得，‎ 即，‎ 所以，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以.‎ 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎ ‎