高中数学选修2-2课时练习第一章 2_1 11页

‎§2　综合法与分析法 ‎2．1　综合法 ‎[学习目标]‎ ‎1．了解直接证明的一种基本方法——综合法．‎ ‎2．理解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．‎ ‎[知识链接]‎ 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？‎ 答　综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．综合法的定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．‎ ‎2．综合法证明的思维过程 用P表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图表示为：‎ ―→―→―→…―→ 要点一　综合法证明数列问题 例1　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3…)，‎ 证明：(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ 证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn(n∈N*)，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，‎ 整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴＝2·(n∈N*)．‎ 故数列是公比为2，首项是1的等比数列．‎ ‎(2)由(1)知＝4·(n≥2)．‎ ‎∵an＋1＝Sn，‎ ‎∴an＝Sn－1(n≥2)．‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)．‎ 又a2＝3S1＝3，‎ 故S2＝a1＋a2＝4＝‎4a1.‎ 因此对于任意正整数n≥1，都有Sn＋1＝4an.‎ 规律方法　综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下数列的相关知识：‎ ‎(1)数列的概念，特别是等差数列、等比数列的定义；‎ ‎(2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前n项和的性质；‎ ‎(3)数列的通项公式an与数列的前n项和Sn之间的关系 an＝ ‎(4)递推公式与通项公式的关系．‎ 跟踪演练1　在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．‎ 证明　由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C①‎ 因为A，B，C为△ABC的内角，所以 A＋B＋C＝π，②‎ 由①②得，B＝，③‎ 由a，b，c成等比数列，有b2＝ac.④‎ 由余弦定理及③，可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.‎ 再由④，得a2＋c2－ac＝ac，‎ 即(a－c)2＝0，因此a＝c.‎ 从而有A＝C.⑤‎ 由②③⑤，得A＝B＝C＝.‎ 所以△ABC为等边三角形．‎ 要点二　综合法证明不等式问题 例2　已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：‎ ‎(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤.‎ 证明　(1)∵a2＋≥，b2＋≥，c2＋≥，‎ ‎∴＋＋ ‎≥a＋b＋c(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)‎ ‎＝(a＋b＋c)＝.‎ ‎∴a2＋b2＋c2≥.‎ ‎(2)∵ ≤， ≤，‎ ‎ ≤，‎ 三式相加得＋＋≤(a＋b＋c)＋＝1.‎ ‎(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)‎ ‎∴＋＋≤ .‎ 规律方法　综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：‎ ‎(1)a2≥0(a∈R)．‎ ‎(2)(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，‎ 2≥ab，a2＋b2≥.‎ ‎(3)若a、b∈(0，＋∞)，则≥，特别是＋≥2.‎ ‎(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．‎ 由基本不等式a2＋b2≥2ab，易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，而此结论是一个很重要的不等式，许多不等式的证明都可以用到该结论．‎ ‎(5)a＋b＋c，a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca这三个式子之间的关系，由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)给出，三式中知道两式，第三式可以由该等式用另两式表示出来．‎ 跟踪演练2　已知a，b，c是正实数，a，b，c互不相等且abc＝1.‎ 证明：＋＋＜＋＋.‎ 证明　因为a，b，c是正实数，a，b，c互不相等且abc＝1，所以＋＞2 ＝2，＋＞2 ＝2，＋＞2 ＝2，所以2＞2(＋＋)，即＋＋＜＋＋.‎ 要点三　用综合法证明数学中的其他问题 例3　已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，A在椭圆上，满足AF2⊥F‎1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF2|.求证：a＝b.‎ 证明　设F1(－c,0)、F2(c,0)(a2＝b2＋c2)，‎ 则|OF2|＝c，设A(x0，y0)，∵AF2⊥F‎1F2，‎ ‎∴x0＝c，代入＋＝1可解得y0＝±，‎ ‎∴|AF2|＝.‎ ‎∴|AF1|＝‎2a－|AF2|＝‎2a－＝，‎ 在Rt△AF‎2F1中，O是F‎1F2的中点，‎ ‎∴O到AF1的距离为 d＝＝ ‎＝＝|OF2|＝c.‎ ‎∴＝c，化简整理得a2＝2b2.∴a＝b.‎ 规律方法　综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要依据，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等等．‎ 跟踪演练3　‎ 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA＝45°.求证：MN⊥平面PCD.‎ 证明　如图：PA⊥平面ABCD⇒PA⊥AD，PA⊥CD.‎ ‎∠PDA＝45°⇒PA＝AD＝BC，‎ 又M是AB的中点，‎ 连结CM，可得 Rt△PAM≌Rt△CBM ⇒MN⊥PC.‎ 设E为CD的中点，连结ME、EN，‎ ‎∴PD∥NE，AD∥ME，ME⊥CD ⇒MN⊥平面PCD.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)‎ A．x<x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，‎ 则＝，2xy＝，∴x<2xy<b，则ac2>bc2‎ B．若>，则a>b C．若a3>b3且ab<0，则> D．若a2>b2且ab>0，则< 答案　C 解析　对于A：若c＝0，则A不成立，故A错；对于B：若c<0，则B不成立，B错；对于C：若a3>b3且ab<0，‎ 则，所以>，故C对；对于D：若，则D不成立．‎ ‎3．求证：＋＋<2.‎ 证明　因为＝logab，所以左边 ‎＝log195＋2log193＋3log192‎ ‎＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.‎ 因为log19360b2＋c2 D．a2≤b2＋c2‎ 答案　C 解析　由cos A＝＜0知，b2＋c2－a2＜0，所以a2＞b2＋c2.‎ ‎4．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎1 C. D. 答案　D 解析　由函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则a＝，1≤b≤3；或2 ，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．‎ ‎10．若不等式(－1)na＜2＋对于任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　 解析　当n为正偶数时，原不等式化简为a＜2－恒成立，则a＜；当n为正奇数时，原不等式化简为－a＜2＋恒成立，即a＞－2－，只需a≥max即可，当n为正奇数且n→＋∞时，－2－→－2，但不等于－2，则a≥－2.所以－2≤a＜‎ eq f(3,2).‎ ‎11．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列．求证：acos2＋ccos2≥b.‎ 证明　∵左边＝＋ ‎＝(a＋c)＋(acos C＋ccos A)‎ ‎＝(a＋c)＋ ‎＝(a＋c)＋b≥＋ ‎＝b＋＝b＝右边，‎ ‎∴acos2＋ccos2≥b.‎ ‎12．已知数列{an}为等比数列，a2＝6，a5＝162，‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Sn是数列{an}的前n项和，证明：≤1.‎ ‎(1)解　设等比数列{an}的公比为q，‎ 则a2＝a1q，a5＝a1q4，‎ 依题意，得方程组 解得a1＝2，q＝3，∴an＝2·3n－1.‎ ‎(2)证明　∵Sn＝＝3n－1，‎ ‎∴＝ ‎ ≤＝1，‎ 即≤1.‎ 三、探究与创新 ‎13．(2013·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N＋.‎ ‎(1)求a2的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.‎ ‎(1)解　当n＝1时，＝‎2a1＝a2－－1－＝2，‎ 解得a2＝4.‎ ‎(2)解　2Sn＝nan＋1－n3－n2－n①‎ 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)②‎ ‎①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n 整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝＋1，－＝1，‎ 当n＝1时，－＝2－1＝1.‎ 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．‎ 所以＝n，即an＝n2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N＋.‎ ‎(3)证明　因为＝＜＝－(n≥2)，‎ 所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.‎