2011年数学理（广东）高考试题 12页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ ‎ 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎ 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎ 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。‎ ‎ 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。‎ ‎ 5．考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 参考公式：‎ ‎ 柱体的体积公式V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 ‎ 线性回归方程中系数计算公式 ‎ 其中表示样本均值。‎ ‎ N是正整数，则…）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设复数满足，其中为虚数单位，则=‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合 ∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 ‎ A．0　　　　 B．‎1　‎　　　 C．2　　　　　 D．3‎ ‎3．若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则 ‎ A．4　　　　 B．‎3　‎　　　　 C．2　　　　　　 D．0‎ ‎4．设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ‎ A．是偶函数　　　　　 B．是奇函数 ‎ C．是偶函数　　　　　　 D．是奇函数 ‎5．已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为 ‎ A．　　　 B．　　 C．4　　　　　 D．3‎ ‎6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 ‎ A．　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　 D．‎ ‎7．如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是 ‎ A．中至少有一个关于乘法是封闭的 ‎ B．中至多有一个关于乘法是封闭的 ‎ C．中有且只有一个关于乘法是封闭的 ‎ D．中每一个关于乘法都是封闭的 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎（一）必做题（9-13题）‎ ‎9．不等式的解集是 ．‎ ‎10．的展开式中，的系数是 （用数字作答）‎ ‎11．等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则k=____________．‎ ‎12．函数在x=____________处取得极小值。‎ ‎13．某数学老师身高‎176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm和‎182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm．‎ ‎（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 和，它们的交点坐标为___________．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线 和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，‎ ‎ ∠=∠, 则= 。‎ 三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设求的值．‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数 的分布列极其均值（即数学期望）。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，‎ ‎ 且∠DAB=60，,PB=2,‎ ‎ E,F分别是BC,PC的中点．‎ ‎（1） 证明：AD 平面DEF;‎ ‎（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。‎ ‎（1）求C的圆心轨迹L的方程;‎ ‎（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．‎ ‎20．（本小题共14分）‎ ‎ 设b>0,数列满足a1=b，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：对于一切正整数n，‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。‎ ‎（1）过点作L的切线教y轴于点 B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有 ‎（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X;‎ ‎（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．‎ 参考答案 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共8小题，每小题5分，满分40分。‎ A卷：1—4BCDA 5—8CDBA 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共7小题，每小题5分，满分35分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。‎ ‎9． 10．84 11．10 12．2 13．185 14． 15．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（1）‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。‎ ‎ （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 ‎ 故乙厂生产有大约（件）优等品，‎ ‎ （3）的取值为0，1，2。‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 故 ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。‎ ‎ 因PA=PD，有，在中，，有为等边三角形，因此，所以平面PBG ‎ 又PB//EF，得，而DE//GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。‎ ‎ （2），‎ ‎ 为二面角P—AD—B的平面角，‎ ‎ 在 ‎ 在 ‎ ‎ ‎ 法二：（1）取AD中点为G，因为 ‎ 又为等边三角形，因此，，从而平面PBG。‎ ‎ 延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，‎ ‎ 所以PO 平面ABCD。‎ ‎ 以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于 ‎ 得 ‎ 平面DEF。‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ 取平面ABD的法向量 ‎ 设平面PAD的法向量 ‎ 由 ‎ 取 ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ （1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知 ‎ ‎ ‎ 化简得L的方程为 ‎ （2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得 ‎ ‎ ‎ 解得 ‎ 因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故 ‎ ，若P不在直线MF上，在中有 ‎ ‎ ‎ 故只在T1点取得最大值2。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ （1）由 ‎ 令，‎ ‎ 当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ①当时，‎ ‎ ‎ ‎ ②当 ‎ ‎ ‎ （2）当时，（欲证）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 综上所述 ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）证明：切线的方程为 ‎ ‎ ‎ 当 ‎ 当 ‎ （2）的方程分别为 ‎ 求得的坐标，由于，故有 ‎ 1）先证：‎ ‎ （）设 ‎ 当 ‎ 当 ‎ （）设 ‎ 当 ‎ 注意到 ‎ 2）次证：‎ ‎ （）已知利用（1）有 ‎ （）设，断言必有 ‎ 若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，‎ ‎ 由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。‎ ‎ 故必有再由等价式1），‎ ‎ 综上，‎ ‎ （3）求得的交点 ‎ 而是Ｌ的切点为的切线，且与轴交于，‎ ‎ 由（１）线段Q1Q2，有 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ 在（0，2）上，令 ‎ 由于 ‎ 在[0，2]上取得最大值 ‎ ‎ ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 故