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- 2021-06-16 发布
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高三年级数学试卷 第 1页(共 4 页) 高三年级数学试卷 第 2页(共 4 页)
天津市耀华中学 2021 届高三第一学期期中质量调查
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间
120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页。
祝各位考生考试顺利!
第 Ⅰ 卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上;
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;
3.本卷共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设全集为 7U x x N ,集合 A={1,3,6 },集合 B={2,3,4,5},则
集合 UA B ð ( ).
(A) 3 (B) 1,3,6 (C) 2,4,5 (D) 1,6
(2)设 x∈R,则“ 3x≤ ”是“ 2 3 0x x ≤ ”的( ).
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件
(3)函数 3
e 1
e 1
x
xf x
x
(其中 e 为自然对数的底数)的图象大致为( ).
(A) (B) (C) (D)
(4)设
0.2
2
1 1 3log lg3 3 2a b c
, , ,则 a,b,c 的大小关系是( ).
(A)a>c>b (B)b>c>a
(C)c>a>b (D)c>b>a
(5)已知函数 sin 0, 0f x A x 的
部分图象如图所示,则 f x 的解析式为( ).
(A) 2sin 12f x x
(B) 2sin 2 3f x x
(C) 2sin 2 6f x x
(D) 32sin 3 4f x x
(6)设数列 na 的前 n 项和 2 1nS n ,则 8a 的值为( ).
(A)65 (B)16 (C)15 (D)14
(7)已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数,且当 0x≥ 时, 2log 2 1f x x ,
则 6f 等于( ).
(A)2 (B)4 (C) 2 (D) 4
(8)若将函数 sin 2 0f x x 的图象向左平移
3
个单位长度后,得到的
函数图象关于 ,02
对称,则函数 cosg x x 在 ,2 6
上的最小值是
( ).
(A) 1 (B) 3
2
(C) 1
2
(D)0
( 9 ) 已 知 函 数
2
1+ log
4 0
1 0a
x a, x >f x
x x
.
,
, ≤
在 R 上 单 调 递 增 , 且 关 于 x 的 方 程
3f x x 恰有两个不相等的实数解,则实数 a 的取值范围是( ).
(A) 1 3 13,4 4 16
∪ (B) 1 3 13,4 4 16
∪
(C) 1 13,4 16
(D) 3 130, 4 16
∪
x
y
3
5
12
O
2
高三年级数学试卷 第 3页(共 4 页) 高三年级数学试卷 第 4页(共 4 页)
第 Ⅱ 卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔答题;
2.本卷共 12 小题,共 105 分。
二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分。
(10)设 i 是虚数单位,复数
2
3
1 i
_______.
(11) 2 2 0x ax ax R, 都成立,则 a 的取值范围是 .
(12)在 ABC△ 中, 7 2 60AC BC B , , ,则 ABC△ 的面积等于 .
(13)已知 na 为等差数列, nS 为其前 n 项和,n N ,若 3 2011 80a S , ,则 10S
的值为 .
(14)已知 x y, 均为正实数, 1x y ,则 1y
x y
的最小值为 .
(15)若函数 2log 4af x ax 在 0,1 上为减函数,则实数 a 的取值范围
是 .
三、解答题:本大题共 5 题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(16)(本小题满分 14 分)
已知函数 f x 为二次函数, f x 的图象过点 0,2 ,对称轴为 1x ,函数 f x 在 R
上的最小值为 1 .
(Ⅰ)求 f x 的解析式;
(Ⅱ)当 2,x a a a R, 时,求函数 f x 的最小值(用 a 表示).
(17)(本小题满分 15 分)
在 ABC△ 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , , .a b c 已知 sin sin 3a C c A
.
(Ⅰ)求角 A 的大小;
(Ⅱ)设 6 4b c , ,求 a 和 cos 2A C 的值.
(18)(本小题满分 15 分)
已知函数 1cos sin cos 2f x x x x .
(Ⅰ)若 0 ,2
且 1sin 3
,求 f ;
(Ⅱ)求函数 f x 的最小正周期及单调递增区间.
(19)(本小题满分 15 分)
已知函数 2e ,xf x x ax a 其中 a 是常数.
(Ⅰ)当 1a 时,求曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线方程;
(Ⅱ)若存在实数 k ,使得关于 x 的方程 f x k 在 0, 上有两个不相等的实数根,
求 k 的取值范围.
.
(20)(本小题满分 16 分)
已知数列 na 的前 n 项和
2
.2n
n nS
数列 nb 满足: 1
1 2 12 2 .n
n nb b b b n
N,
(Ⅰ)求数列 ,n na b 的通项公式;
(Ⅱ)求 2 1
1 2
1 .
n
i i
i i
a b nb
N
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高三数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题:(本题共 9 小题,每题 5 分,共 45 分)
题 号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
答 案 D B D A B C C D A
二、填空题:(本题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分)
(10) 3i2
(11) 8,0 (12) 3 3
2
(13)60 (14)3 (15) 1,4
三、解答题.共 75 分.
(16)本小题满分 14 分.
(Ⅰ)解:设二次函数 f x 的解析式为 2f x ax bx c ,其中 0a . ……1 分
由题意可知,
0 2
12
12
f
b
a
bf a
,
,
,
………………4 分
解得 3 6 2a b c , , . ………………5 分
所以 f x 的解析式为 23 6 2f x x x . ………………6 分
(Ⅱ)解:当 1a ≤ 时,函数 f x 在 2,a a 上单调递减,此时 f x 的最小值为
23 6 2f a a a ; ………………8 分
当 2 1a a ,即 1 1a 时,函数 f x 在 2, 1a 上单调递减,在 1,a 上
单调递增,此时 f x 的最小值为 1 1f ; ………………11 分
当 2 1a ≥ ,即 1a≥ 时,函数 f x 在 2,a a 上单调递增,此时 f x 的最小值为
22 3 6 2f a a a . ………………13 分
综上所述,当 1a ≤ 时, f x 的最小值为 23 6 2a a ;当 1 1a 时,函数 f x
的最小值为 1 ;当 1a≥ 时, f x 的最小值为 23 6 2a a . ………………14 分
(17)本小题满分 15 分.
(Ⅰ)解:由已知及正弦定理可得 πsin sin sin sin 3A C C A
.
因为 0, πC ,所以sin 0C ,故 πsin sin 3A A
,………………2 分
即 π πsin sin cos cos sin3 3A A A .
整理得 sin 3 cosA A ,所以 tan 3A .………………………………4 分
因为 0, πA ,所以 π
3A . ………………………………5 分
(Ⅱ)解:根据余弦定理, 2 2 2 2 cosa b c bc A ,解得 2 28a .
因为 0a ,所以 2 7a . ………………………………7 分
根据正弦定理,
sin sin
a c
A C
,解得 21sin 7C . ……………………9 分
又因为 c a ,所以 π
3C ,则 2 2 7cos 1 sin 7C C .………………10 分
可求得 4 3sin 2 2sin cos 7C C C , 2 2 1cos 2 cos sin 7C C C . ……14 分
则 13cos 2 cos cos 2 sin sin 2 14A C A C A C .…………………………15 分
(18)本小题满分 15 分.
(Ⅰ)解:因为 π0 2
,且 1sin 3
,所以 2 2 2cos 1 sin 3
.…2 分
故 1 4 2 7cos sin cos 2 18f . ………………………………5 分
(Ⅱ)解:因为 2 1sin cos cos 2f x x x x 1 1 cos 2 1sin 22 2 2
xx ……9 分
1 1 2 πsin 2 cos 2 sin 22 2 2 4x x x
,………………11 分
所以函数 f x 的最小正周期为 π . ………………………………12 分
设 π2 4t x ,由 2 sin2y t 的单调递增区间是 π π2 π 2 π2 2k k
, , k Z ,
令
π π π2 π 2 2 π2 4 2k x k ≤ ≤ ,解得
3π ππ π8 8k x k ≤ ≤ , k Z .…………14 分
故函数 f x 的单调递增区间为 3π ππ π8 8k k
, , k Z . …………15 分
(19)本小题满分 15 分.
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(Ⅰ)解: 2e e 2 e 2x x xf x x ax a x a x x a , xR .
当 1a 时, 1 ef , 1 4ef .………………………………3 分
设曲线 y f x 在点 1, e 处的切线方程为 e 4e 1y x ,
所以直线 4e 3e 0x y 即为所求. ………………………………5 分
(Ⅱ)解:令 0f x ,解得 0x ,或 2x a . ………………6 分
当 2 0a ≤ ,即 2a ≥ 时,对于任意 0,x 都有 0f x ≥ ,所以函数 f x 在
单调递增,不存在符合题意的实数 k. ………………………………8 分
当 2 0a ,即 2a 时, f x , f x 随 x 的变化情况如下表:
x 0 0, 2 a 2 a 2 ,a
f x 0 0
f x a ↘ 极小值 ↗
所以函数 f x 在 0, 上的最小值为 2
42 e a
af a
,且当 x 时,
有 f x . ………………………………12 分
因此,若存在实数 k ,使得关于 x 的方程 f x k 在 0, 上有两个不相等的实数
根,只需曲线 y f x 与直线 y k 的图象在区间 0, 有两个不同的交点,
故 2
4
e a
a k a
≤ .
综上所述, k 的取值范围是 2
4 ,e a
a a
.……………………………15 分
(20)本小题满分 16 分.
(Ⅰ)解:由已知,当 1n 时, 1 1 1a S ; ……………………………2 分
当 2n≥ 时, 1n n na S S n ,且该式也适用于 1n 的情况.
所以数列 na 的通项公式为 na n , *nN . ………………………5 分
由 1
1 2n
n nb b
( *nN ),可知当 2n≥ 时, 1 2n
n nb b ,因此 1 12n nb b .
可知当 2 1n k ( *k N )时,
1
2
2 1 2 2
n
k
n kb b
; …………………7 分
当 2n k ( *k N )时, 2
2 2 2
n
k
n kb b .…………………………9 分
所以, nb 的通项公式为
1
2
2
2 ,
2 ,
n
n n
nb
n
为奇数,
为偶数.
………………10 分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 2 1
1 1 1 12
1 12 22 2
n n n n
i i
i i i i
i i i ii
ia b i ib
.
记
1
2
n
i
i
M i
,
1 2
n
i
i
iN
.则 ………………………………11 分
2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n ,
2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n nM n n ,
上述两式相减,得 2 3 1 1 12 1 2
2 2 2 2 2 2 21 2
n
n n n nM n n
,
整理得 12 1 2nM n . ………………………………13 分
又有
2 3 11 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2
n n
N n n
,
2 3 4 11 1 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2
n n
N n n
,
上述两式相减,得
2 3 1 1 1
1 111 1 1 1 1 1 1 12 2
12 2 2 2 2 2 2 21 2
n n n nn
N n n
,
整理得 22 2n
nN . ……………………………15 分
所以 1
2 1
1 2
1 21 2 2
n
n
i i n
i i
na b M N nb
.……………………………16 分