【数学】2019届文科一轮复习人教A版5-热点探究课3数列中的高考热点问题教案 9页

热点探究课(三)　数列中的高考热点问题 ‎(对应学生用书第76页)‎ ‎ [命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．‎ 热点1　等差、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．‎ ‎　(2016·天津高考)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.‎ ‎ (1)求{an}的通项公式；‎ ‎ (2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ ‎ [解]　(1)设数列{an}的公比为q.‎ ‎ 由已知，有－＝，‎ ‎ 解得q＝2或q＝－1. 2分 ‎ 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，‎ ‎ 所以a1·＝63，得a1＝1.‎ ‎ 所以an＝2n－1. 5分 ‎ (2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)‎ ‎ ＝(log22n－1＋log22n)＝n－，‎ ‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列. 8分 ‎ 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 ‎ T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎ ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ‎ ＝＝2n2. 10分 ‎ [规律方法]　　1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列．‎ ‎ 2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．‎ ‎[对点训练1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？ ‎ ‎【导学号：79170176】‎ ‎ [解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝‎2a1，a1(λa1－2)＝0.‎ ‎ 若a1＝0，则Sn＝0.‎ ‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，‎ ‎ 所以an＝0(n≥1).2分 ‎ 若a1≠0，则a1＝.‎ ‎ 当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，‎ ‎ 两式相减得2an－2an－1＝an，‎ ‎ 所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，‎ ‎ 所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.‎ ‎ 综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝. 5分 ‎ (2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，‎ ‎ 由(1)知，bn＝lg＝2－nlg 2. 7分 ‎ 所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg 2.‎ ‎ b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg 1＝0，‎ ‎ 当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg0，n∈N*.‎ ‎(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.‎ ‎[解]　(1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，‎ 两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.‎ 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，‎ 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．‎ 所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．‎ 从而an＝qn－1.3分 由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，‎ 所以a3＝2a2，故q＝2.‎ 所以an＝2n－1(n∈N*).5分 ‎(2)由(1)可知an＝qn－1，‎ 所以双曲线x2－＝1的离心率 en＝＝.8分 由e2＝＝2解得q＝，‎ 所以e＋e＋…＋e ‎＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]‎ ‎＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]‎ ‎＝n＋＝n＋(3n－1).12分 ‎4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋<7. 【导学号：79170184】‎ ‎[解]　(1)由题意得an＋1＋1＝2－＝，‎ bn＋1＝＝＝＝＋ ‎＝bn＋.3分 又b1＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列，∴bn＝.5分 ‎(2)证明：当n＝1时，左边＝＝4<7不等式成立；6分 当n＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5<7不等式成立；8分 当n≥3时，＝<＝4，‎ 左边＝＋＋…＋<4＋1＋4－＋－＋…＋－＝5＋4 ‎＝7－<7. 10分 ‎∴＋＋…＋<7. 12分