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  • 2021-06-16 发布

天津市实验中学滨海分校2020届高三模拟考试(3月)数学试题

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‎2020年高考数学(3月份)模拟测试试卷 一、选择题 ‎1.已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式有意义条件及指数不等式可解得集合A与集合B,再由集合交集运算即可得解.‎ ‎【详解】对于集合 对于集合 所以 故选:D ‎【点睛】本题考查了指数不等式的解法与二次根式有意义的条件,交集的简单运算,属于基础题.‎ ‎2.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:,得不到,因为可能相交,只要和的交线平行即可得到;,,∴和没有公共点,∴,即能得到;∴“”是“”的必要不充分条件.故选B.‎ 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【方法点晴】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念,属于基础题;并得不到,根据面面平行的判定定理,只有内的两相交直线都平行于,而,并且 ‎,显然能得到,这样即可找出正确选项.‎ ‎3.已知奇函数在上是增函数,若,,,则的大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意:,‎ 且:,‎ 据此:,‎ 结合函数的单调性有:,‎ 即.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【考点】 指数、对数、函数的单调性 ‎【名师点睛】比较大小是高考常见题,指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性进行比较大小,特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小,还可以解不等式.‎ ‎4.要得到函数的图象,只需将函数的图象( )‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简,利用三角函数图象的平移变换法则可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 要得到函数图象,‎ 只需将函数的图象向左平移个单位长度,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握,能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎5.已知函数,对任意的,,总有成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得在为增函数,分段函数两段均为单调递增,而且右段的最低点不低于左段的最高点,即可求解.‎ ‎【详解】∵对任意的,,总有成立,‎ 不妨设,‎ ‎∴函数在定义域上是增函数,‎ ‎∴,解得,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性,要注意分段函数各段单调性相同的区间合并的条件,属于基础题.‎ ‎6.函数=的部分图像如图所示,则的单调递减区间为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由五点作图知,,解得,,所以,令,解得<<,,故单调减区间为(,),,故选D.‎ 考点:三角函数图像与性质 ‎7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,a=2,c=,则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,‎ ‎∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0,‎ ‎∵sinC≠0,‎ ‎∴cosA=﹣sinA,‎ ‎∴tanA=﹣1,‎ ‎∵<A<π,‎ ‎∴A= ,‎ 由正弦定理可得,‎ ‎∵a=2,c=,‎ ‎∴sinC== ,‎ ‎∵a>c,‎ ‎∴C=,‎ 故选B.‎ 点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,属于难题.在解与三角形有关的问题时,正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎8.设椭圆:的左、右焦点分别为、,是上的点,,则的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,在直角三角形中,依题意可求得与,利用椭圆离心率的定义,即可求得答案 ‎【详解】设,∵,,‎ ‎∴,,‎ 又,‎ ‎∴,,‎ ‎∴的离心率为:.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,在焦点三角形中注意椭圆定义的应用,属于基础题.‎ ‎9.已知函数,,若存在,使得,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数,再将存在性问题转化为对应函数最值问题,通过求最值得实数的取值范围.‎ ‎【详解】令,则存在,使得 ‎,即的最大值,因为在上单调递减,在上单调递增,所以最大值为,因此,选C.‎ ‎【点睛】利用导数解决数学问题,往往需要需要构造辅助函数.构造辅助函数常根据导数法则进行:如构造,构造,构造,构造等 二、填空题 ‎10.复数(为虚数单位)的共轭复数是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 复数,其共轭复数为,故填.‎ ‎11.的展开式中x7的系数为__________.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:展开式通项为,令,得,‎ 所以展开式中的系数为.故答案为.‎ ‎【考点】二项式定理 ‎【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步是根据所求的指数,再求所要求的项.‎ ‎②有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.‎ ‎12.已知,且,则的最小值为______________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式解得取值范围,再结合等号确定最值取法.‎ ‎【详解】,当且仅当时取等号,所以最小值为 ‎【点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意等号取得的条件,否则会出现错误.‎ ‎13.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.我们来重温这个伟大发现,圆柱的表面积与球的表面积之比为_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球的半径为,可知圆柱高为;根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积,作比得到结果.‎ ‎【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为,高为 圆柱的表面积;球的表面积 圆柱的表面积与球的表面积之比为 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用,属于基础题.‎ ‎14.如图,在中,,是边上一点,‎ ‎,则     .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由图及题意得 , =   ∴ =( )( )= + = = .‎ ‎15.已知函数,若函数恰有4个零点,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数恰有4个零点,等价于函数与函数的图象有四个不同的交点,画出函数图象,利用数形结合思想进行求解即可.‎ ‎【详解】函数恰有4个零点,等价于函数与函数的图象有四个不同的交点,画出函数图象如下图所示:‎ 由图象可知:实数的取值范围是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题,考查了数形结合思想和转化思想.‎ 三、解答题 ‎16.某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满400元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就继续摸球规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励 ‎(1)求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率:‎ ‎(2)记为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布列和数学期望 ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得第二次摸到黑球,第一次为其它球,求出概率;‎ ‎(2)先求出摸奖一次获得的的奖金数额,再求5次的数额,求出相应的概率,进而求出分布列,及期望.‎ ‎【详解】(1)由题意可得第一次是红黄白中的一个,概率为,‎ 不放回的第二次为黑球,是从剩余的3个球中摸出黑色的球,概率为,‎ 所以1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为;‎ ‎(2)顾客摸奖一次获得的奖金数额设为,‎ 的可能取值0,10,20,30,40,‎ 则,,‎ ‎,,‎ ‎;‎ 所以1名顾客5次摸奖获得奖金数额的分布列为 所以随机变量的期望 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列和期望,求出随机变量的概率是解题的关键,属于中档题.‎ ‎17.已知数列是递增的等比数列,且 ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设为数列的前n项和,,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)设等比数列的公比为q,,根据已知由等比数列的性质可得,联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得 ‎(2)根据等比数列的求和公式,有所以,裂项求和即可 试题解析:(1)设等比数列的公比为q,所以有 联立两式可得或者又因为数列为递增数列,所以q>1,所以 数列的通项公式为 ‎(2)根据等比数列的求和公式,有 所以 所以 考点:等比数列的通项公式和性质,数列求和 ‎18.如图,为圆的直径,点,在圆上,,矩形和圆所在的平面互相垂直,已知,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小;‎ ‎(Ⅲ)当的长为何值时,二面角的大小为.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 试题分析:(1)利用面面垂直性质,可得平面,再利用线面垂直的判定,证明平面,从而利用面面垂直的判定可得平面平面;(2)确定为直线与平面所成的角,过点作,交于,计算,即可求得直线与平面所成角的大小;(3)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求得的长.‎ 试题解析:(1)∵平面平面,‎ 平面平面,∴平面,‎ ‎∵平面,∴,‎ 又∵为圆的直径,∴,∴平面,‎ ‎∵平面,∴平面平面 ‎(2)根据(1)的证明,有平面,‎ ‎∴为在平面内的射影,‎ 因此,为直线与平面所成的角,‎ ‎∵,∴四边形为等腰梯形,过点作,交于,‎ ‎,则,‎ 在中,根据射影定理,得,‎ ‎,∴,‎ ‎∴直线与平面所成角的大小为30°‎ ‎(3)‎ 设中点为,以为坐标原点,方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系(如图).设,则点的坐标为,则,又,∴,‎ 设平面的法向量为,则,即,‎ 令,解得.‎ ‎∴.‎ 由(1)可知平面,取平面的一个法向量为,‎ ‎∴,即,解得,‎ 因此,当的长为时,平面与平面所成的锐二面角的大小为60°.‎ 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了立体几何的综合问题,其中解答中涉及到直线与平面垂直平面的判定、平面与平面垂直的判定、直线与平面所成的角、二面角的求解等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及学生的推理与运算能力,本题的解答中熟记线面位置关系的判定与证明,建立空间直角坐标系,转化为空间向量的运算是解答的关键.‎ ‎【详解】‎ 请在此输入详解!‎ ‎19.在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且,直线与轴轴分别交于两点.‎ ‎①设直线斜率分别为,证明存在常数使得,并求出值;‎ ‎②求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2) ①证明见解析,;②.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)首先由题意得到,即.‎ 将代入可得,‎ 由,可得.得解.‎ ‎(2)(ⅰ)注意从确定的表达式入手,探求使成立的.‎ 设,则,‎ 得到,‎ 根据直线BD的方程为,‎ 令,得,即.得到.‎ 由,作出结论.‎ ‎(ⅱ)直线BD的方程,‎ 从确定的面积表达式入手,应用基本不等式得解.‎ 试题解析:(1)由题意知,可得.‎ 椭圆C的方程可化简为.‎ 将代入可得,‎ 因此,可得.‎ 因此,‎ 所以椭圆C的方程为.‎ ‎(2)(ⅰ)设,则,‎ 因为直线AB的斜率,‎ 又,所以直线AD的斜率,‎ 设直线AD的方程为,‎ 由题意知,‎ 由,可得.‎ 所以,‎ 因此,‎ 由题意知,‎ 所以,‎ 所以直线BD的方程为,‎ 令,得,即.‎ 可得.‎ 所以,即.‎ 因此存在常数使得结论成立.‎ ‎(ⅱ)直线BD的方程,‎ 令,得,即,‎ 由(ⅰ)知,‎ 可得的面积,‎ 因为,当且仅当时等号成立,‎ 此时S取得最大值,‎ 所以的面积的最大值为.‎ 考点:椭圆几何性质,直线与椭圆的位置关系,三角形面积,基本不等式的应用.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若存在两个极值点,证明:.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析 ‎【解析】‎ 分析:(1)首先确定函数的定义域,之后对函数求导,之后对进行分类讨论,从而确定出导数在相应区间上的符号,从而求得函数对应的单调区间;‎ ‎(2)根据存在两个极值点,结合第一问的结论,可以确定,令,得到两个极值点是方程的两个不等的正实根,利用韦达定理将其转换,构造新函数证得结果.‎ 详解:(1)的定义域为,.‎ ‎(i)若,则,当且仅当,时,所以在单调递减.‎ ‎(ii)若,令得,或.‎ 当时,;‎ 当时,.所以在单调递减,在单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,存在两个极值点当且仅当.‎ 由于的两个极值点满足,所以,不妨设,则.由于 ‎,‎ 所以等价于.‎ 设函数,由(1)知,在单调递减,又,从而当时,.‎ 所以,即.‎ 点睛:该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要时刻关注第一问对第二问的影响,再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.‎

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