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- 2021-06-16 发布
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广东省六校联盟 2021 届高三上学期第二次联考数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．)
1．已知集合 A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|－21，b>1 且 ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b 有最小值 2＋2 2 B．a＋b 有最大值 2＋2 2
C．ab 有最小值 3＋2 2 D．ab 有最大值 1＋ 2
11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列命
题正确的有( )
A．直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值
B．三棱锥 D－BPC1 的体积为定值
C．异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值
D．直线 CD 和平面 BPC1 平行
12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现了数列：1，1，2，3，5，8，…，
该数列的特点是：前两项均为 1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．人们把这个
数列 nf 称为斐波那契数列. 将数列 nf 中的各项除以 4 所得余数按原顺序构成的数列记
为 ng ，则下列结论正确的有( )
A. 2019 2g B. 2 2
21 23 22 20 22 21 0f f f f f f
C. 1 2 3 2019 2688g g g g D. 2 2 2 2
1 2 3 2019 2018 20202f f f f f f
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．)
13. 若复数 iziz 1,)1( 2
2
1 ，则
2
1
z
z 等于 .
14. 已知数列 na 中， 3 72, 1a a ．若 1
na
为等差数列，则 5a ．
15．已知 tan( ) 7cos( )2
， 11cos( ) 14
， , (0, )2
，则
cos （2 分），角 ．（3 分）
16．已知函数
,0,1)1(
,20,2
2
)(
xxf
xxx
xf
且
若关于 x 的方程 f (x)＝kx 有 6 个不同的根，则
实数 k 的取值范围是 .（用集合或区间表示）
四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．（10 分）已知点 ),( tpA 、 )4,( tqB 、 C )2,0( ， O 为坐标原点．若 AB ∥ OC 且
5OBOA ，求 OA 的取值范围．
18.（12 分）从① 32 b ； ② n
n
n n
a
b
a
b
a
b
2
646
2
2
1
1 ；
③ n
nn nbababa 2)32(32211
中任选两个．．补充到下面问题中的横线上，然后完成问题的解答.
问题：已知数列 na 为正项等比数列， 1 1a ；数列 nb 满足： .
（1）求 na ；
（2）求
1
1
n nb b
的前 n 项和 nT .
注：如果多次选择条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(12 分)如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE∥FC，∠CEF＝∠FCB＝
90°，AD＝ 3，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面 DCF；
(2)当 AB 的长为何值时，二面角 A－EF－C 的大小为 60°.
20.（12 分）已知函数 xaexxxf sin)( ，其中 a 为实数， e 是自然对数的底数．
(1)若 a＝ 1 ，证明：f (x)≥0；
(2)若 f (x)在(0，π)上有唯一的极值点，求实数 a 的取值范围．
21.（12 分）微型无人机航空摄影测量系统具有运行成本低、执行任务灵活等优点，正逐渐
成为航空摄影测量系统的有益补充．为了测量一高层地标建筑 AB 的高度，无人机在空中适
当高度的水平平面 DEC 内测得相关数据如下：在 D 位置测得顶端 A 的仰角和底端 B 的俯角
分别为 60 、 45 ，建筑上的点 C 的方位角为 98 ；在 E 位置测得 A 的仰角和 B 的俯角分
别为 45 、 30 ，建筑上的点 C 的方位角为 68 ．D、E 间相距 220 米.求建筑 AB 的高度．
（说明：本题中将建筑 AB 看作与地面所在水平平面垂直于底端 B 的线段．方位角是水平面
内从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的角．）
22.（12 分）已知函数 bxaxxxxf )1(2
3ln)( 2 .
（1）当 3a 时，求 )(xf 的单调区间；
（2）e 为自然对数的底数，若 )13,13( eea 时， 0)( xf 恒成立，证明： 062 ab .
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D B B C D B CD AC BCD AB
二、填空题
13. i1 14. 4
3 15．
7
1 ，
3
16. )5
8,7
10[
部分客观题解析
9．将 y＝3sin 2x 的图象向左平移π
3
个单位长度得到 y＝ )3
22sin(3)]3(2sin[3 xx ，故
A 错误；由 2x＋5π
4
＝kπ＋π
2
，k∈Z，得 x＝kπ
2
－3π
8
，k∈Z，得 x＝π
8
是其对称轴，故 B 正确；
令 f (x)＝esin 2x，∴f (x＋π)＝esin[2(x＋π)]＝f (x)，故 f (x)＝esin 2x 的周期为π，且在 )4,0( 上为增函
数，故 C 错误；
由 0tan x 得 )(,2 Zkkxk ，故 D 正确．
10．ab＝1＋(a＋b)≤ 2)2( ba (当且仅当 a＝b>1 时取等号)，
即(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0 且 a＋b>2，解得 a＋b≥2＋2 2，
∴a＋b 有最小值 2＋2 2，知 A 正确；
由 ab－(a＋b)＝1，得 ab－1＝a＋b≥2 ab(当且仅当 a＝b>1 时取等号)，
即 ab－2 ab－1≥0 且 ab>1，解得 ab≥3＋2 2，
∴ab 有最小值 3＋2 2，知 C 正确．
11．选项 A，由线面所成角的定义，令 BC1 与 B1C 的交点为 O，可得∠CPO 即为直线 CP 和
平面 ABC1D1 所成的角，当 P 移动时∠CPO 是变化的，故 A 错误．
选项 B，三棱锥 D－BPC1 的体积等于三棱锥 P－DBC1 的体积，而△DBC1 大小一定，∵P∈
AD1，而 AD1∥平面 BDC1，∴点 A 到平面 DBC1 的距离即为点 P 到该平面的距离，∴三棱锥
D－BPC1 的体积为定值，故 B 正确；
选项 C，∵在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，∴CB1⊥平
面 ABC1D1，∵C1P
⊂
平面 ABC1D1，∴CB1⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值 90°，故
C 正确；
选项 D，直线 CD 和平面 ABC1D1 平行，∴直线 CD 和平面 BPC1 平行，故 D 正确.
12．对于 A 选项：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1 2 3 1 0g g g g g g g g g g g g ， ， ， ， ，
， ，
数列 ng 是以 6 为最小正周期的数列，又 2019 6 336+3 ，所以 2019 2g ，故 A 选项正
确；
对于 C 选项： 1 2 3 2019 336 1+1+2+3+1+0 + 1+1+2 2692g g g g ，故 C 选
项错误；
对于 B 选项：斐波那契数列总有： +2 +1 +n n nf f f ，∴ 12 nnn fff
0)()()()()()( 21222221202222212321
2
212220
2
222321 ffffffffffffffff ，
故 B 正确；
对于 D 选项： 2
1 2 +2 +1 1 1 2+n n nf f f f f f f f ， ， ， 2
2 2 3 1 2 3 2 1f f f f f f f f ，
2
3 3 4 2 3 4 3 2f f f f f f f f ， ，
2
+1 1 2 1 2 1n n n n n n n nf f f f f f f f 。
所以 2 2 2 2
1 2 3 2019f f f f
1 2 2 3 1 2 3 4 3 2 2018 2019 2018 2017 2019 2020 2019 2018+ + + + +f f f f f f f f f f f f f f f f f f
2019 2020f f ，故 D 选项错误.
16.关于 x 的方程 f (x)＝kx 有 6 个不同的根，等价于 y＝f (x)与 y＝kx 的图象有 6 个交点，
因为 f (x)＝
2
x＋2
，x≤0 且 x≠－2，
f x－1＋1，x>0，
所以若 00 时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴函数 g (x)的极小值也是最小值为 1)0( g ， 3 分
所以 g(x)≥g(0)＝1，而 xsin ≤1，所以 ex－x≥ xsin ，即 f (x)≥0. 5 分
(2)解 f (x)在(0，π)上有唯一的极值点等价于 f′(x)＝ xaex 1cos ＝0 在(0，π)上有唯一的
变号零点，
f′(x)＝0 等价于 a＝ xe
x 1cos ， 6 分
设 h(x)＝ xe
x 1cos ，x∈(0，π)，
h′(x)＝ xe
xx 1cossin ＝ xe
x )4sin(21
， 7 分
∵x∈(0，π)，∴ )4
5,4(4
x ，
当 00，h(x)在 ),2( 上为增函数，
∴函数 h(x)的极小值也是最小值为
2
1)2(
e
h ， 10 分
又 h(0)＝0，h(π)＝ e
2 ， 11 分
所以当 02 ae 时，方程 a＝ xe
x 1cos 在(0，π)上有唯一的变号零点，
所以 a 的取值范围是 )0,2[ e
． 12 分
21.（12 分）
解：由 AB⊥平面 DEC 知，
90BCEBCDACEACD ，
在 AECRtADCRt , 中，
45,60 AECADC ，
得 ACECACDC ,3
3 , 2 分
在 DEC 中， 306898DCE , 4 分
由余弦定理有
2
3
3
323
1cos2 222222 ACACACDCEECDCECDCDE
化简得 22
3
1 ACDE ，
所以， DEAC 3 , 6 分
在 BDCRt 中， 45CDB ，
DEDEACDCBC 33
3
3
3 ,
即 DEBC , 10 分
∴ ))(31(2203 米 DEDEBCACAB
答：建筑 AB 的高度为 ))(31(220 米 . 12 分
22.（12 分）
解：（1） axxaxxxf 3ln131ln)(' 1 分
当 3a 时， 33ln)(' xxxf
0)1(' f ，且 33ln)(' xxxf 在 ),0( 上单调递增， 2 分
∴当 10 x 时， 0)(' xf ， )(xf 单调递减；
当 1x 时， 0)(' xf ， )(xf 单调递增. 3 分
∴当 3a 时， )(xf 的递减区间为 )1,0( ，递增区间为 ),1( . 4 分
（2） axxxf 3ln)(' 在 ),0( 上单调递增，
∵ 1313 eae
031)1(' aeef ， 031)(' aeef ，
∴存在唯一的 ),1(0 eex ，使 0)(' 0 xf ，即 03ln 00 axx ，得 00 3ln xxa . 6 分
而且，当 00 xx 时， 0)(' xf ， )(xf 单调递减；
当 0xx 时， 0)(' xf ， )(xf 单调递增.
∴ )(xf 的唯一极小值即 )(xf 的最小值
bxxxxxxbxaxxxxfxf 000
2
0000
2
0000min )13(ln2
3ln)1(2
3ln)()(
bxx 0
2
02
3 7 分
∵ 0)( xf 恒成立，
∴ 02
3)( 0
2
0min bxxxf ，得 0
2
02
3 xxb ， 8 分
∴ 6ln252
36)3(ln22
362 00
2
0000
2
0 xxxxxxxab ，
设 ),1(6ln252
3)( 000
2
00 eexxxxxh 9 分
0
00
0
0
2
0
0
00
)2)(13(253253)(' x
xx
x
xx
xxxh 10 分
当 21
0 xe
时， 0)(' 0 xh ， )( 0xh 单调递减；
当 ex 02 时， 0)(' 0 xh ， )( 0xh 单调递增.
∴ )( 0xh 极小值 0)2ln1(22ln2262ln21042
3)2( h
即 062 ab . 12 分
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