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  • 2021-06-16 发布

【数学】广东省六校联盟2021届高三上学期第二次联考试题

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广东省六校联盟 2021 届高三上学期第二次联考数学试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 1.已知集合 A={-1,0,1,2},B={x|-21,b>1 且 ab-(a+b)=1,那么( ) A.a+b 有最小值 2+2 2 B.a+b 有最大值 2+2 2 C.ab 有最小值 3+2 2 D.ab 有最大值 1+ 2 11.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,则下列命 题正确的有( ) A.直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值 B.三棱锥 D-BPC1 的体积为定值 C.异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值 D.直线 CD 和平面 BPC1 平行 12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现了数列:1,1,2,3,5,8,…, 该数列的特点是:前两项均为 1,从第三项起,每一项都等于它前面两项的和.人们把这个 数列 nf 称为斐波那契数列. 将数列 nf 中的各项除以 4 所得余数按原顺序构成的数列记 为 ng ,则下列结论正确的有( ) A. 2019 2g  B.        2 2 21 23 22 20 22 21 0f f f f f f    C. 1 2 3 2019 2688g g g g     D. 2 2 2 2 1 2 3 2019 2018 20202f f f f f f     第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 若复数 iziz  1,)1( 2 2 1 ,则 2 1 z z 等于 . 14. 已知数列 na 中, 3 72, 1a a  .若 1 na       为等差数列,则 5a  . 15.已知 tan( ) 7cos( )2      , 11cos( ) 14     , , (0, )2    ,则 cos (2 分),角   .(3 分) 16.已知函数          ,0,1)1( ,20,2 2 )( xxf xxx xf 且 若关于 x 的方程 f (x)=kx 有 6 个不同的根,则 实数 k 的取值范围是 .(用集合或区间表示) 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分)已知点 ),( tpA 、 )4,( tqB 、 C )2,0( , O 为坐标原点.若 AB ∥ OC 且 5OBOA ,求 OA 的取值范围. 18.(12 分)从① 32 b ; ② n n n n a b a b a b 2 646 2 2 1 1   ; ③ n nn nbababa 2)32(32211   中任选两个..补充到下面问题中的横线上,然后完成问题的解答. 问题:已知数列 na 为正项等比数列, 1 1a  ;数列 nb 满足: . (1)求 na ; (2)求 1 1 n nb b        的前 n 项和 nT . 注:如果多次选择条件分别解答,按第一个解答计分. 19.(12 分)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥FC,∠CEF=∠FCB= 90°,AD= 3,EF=2. (1)求证:AE∥平面 DCF; (2)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60°. 20.(12 分)已知函数 xaexxxf  sin)( ,其中 a 为实数, e 是自然对数的底数. (1)若 a= 1 ,证明:f (x)≥0; (2)若 f (x)在(0,π)上有唯一的极值点,求实数 a 的取值范围. 21.(12 分)微型无人机航空摄影测量系统具有运行成本低、执行任务灵活等优点,正逐渐 成为航空摄影测量系统的有益补充.为了测量一高层地标建筑 AB 的高度,无人机在空中适 当高度的水平平面 DEC 内测得相关数据如下:在 D 位置测得顶端 A 的仰角和底端 B 的俯角 分别为 60 、 45 ,建筑上的点 C 的方位角为 98 ;在 E 位置测得 A 的仰角和 B 的俯角分 别为 45 、 30 ,建筑上的点 C 的方位角为 68 .D、E 间相距 220 米.求建筑 AB 的高度. (说明:本题中将建筑 AB 看作与地面所在水平平面垂直于底端 B 的线段.方位角是水平面 内从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的角.) 22.(12 分)已知函数 bxaxxxxf  )1(2 3ln)( 2 . (1)当 3a 时,求 )(xf 的单调区间; (2)e 为自然对数的底数,若 )13,13(  eea 时, 0)( xf 恒成立,证明: 062  ab . 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D B B C D B CD AC BCD AB 二、填空题 13. i1 14. 4 3 15. 7 1 , 3  16. )5 8,7 10[ 部分客观题解析 9.将 y=3sin 2x 的图象向左平移π 3 个单位长度得到 y= )3 22sin(3)]3(2sin[3   xx ,故 A 错误;由 2x+5π 4 =kπ+π 2 ,k∈Z,得 x=kπ 2 -3π 8 ,k∈Z,得 x=π 8 是其对称轴,故 B 正确; 令 f (x)=esin 2x,∴f (x+π)=esin[2(x+π)]=f (x),故 f (x)=esin 2x 的周期为π,且在 )4,0(  上为增函 数,故 C 错误; 由 0tan x 得 )(,2 Zkkxk   ,故 D 正确. 10.ab=1+(a+b)≤ 2)2( ba  (当且仅当 a=b>1 时取等号), 即(a+b)2-4(a+b)-4≥0 且 a+b>2,解得 a+b≥2+2 2, ∴a+b 有最小值 2+2 2,知 A 正确; 由 ab-(a+b)=1,得 ab-1=a+b≥2 ab(当且仅当 a=b>1 时取等号), 即 ab-2 ab-1≥0 且 ab>1,解得 ab≥3+2 2, ∴ab 有最小值 3+2 2,知 C 正确. 11.选项 A,由线面所成角的定义,令 BC1 与 B1C 的交点为 O,可得∠CPO 即为直线 CP 和 平面 ABC1D1 所成的角,当 P 移动时∠CPO 是变化的,故 A 错误. 选项 B,三棱锥 D-BPC1 的体积等于三棱锥 P-DBC1 的体积,而△DBC1 大小一定,∵P∈ AD1,而 AD1∥平面 BDC1,∴点 A 到平面 DBC1 的距离即为点 P 到该平面的距离,∴三棱锥 D-BPC1 的体积为定值,故 B 正确; 选项 C,∵在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在线段 AD1 上运动,∴CB1⊥平 面 ABC1D1,∵C1P ⊂ 平面 ABC1D1,∴CB1⊥C1P,故这两个异面直线所成的角为定值 90°,故 C 正确; 选项 D,直线 CD 和平面 ABC1D1 平行,∴直线 CD 和平面 BPC1 平行,故 D 正确. 12.对于 A 选项: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1 2 3 1 0g g g g g g g g g g g g           , , , , , , , 数列 ng 是以 6 为最小正周期的数列,又 2019 6 336+3  ,所以 2019 2g  ,故 A 选项正 确; 对于 C 选项:    1 2 3 2019 336 1+1+2+3+1+0 + 1+1+2 2692g g g g       ,故 C 选 项错误; 对于 B 选项:斐波那契数列总有: +2 +1 +n n nf f f ,∴ 12   nnn fff 0)()()()()()( 21222221202222212321 2 212220 2 222321  ffffffffffffffff , 故 B 正确; 对于 D 选项:  2 1 2 +2 +1 1 1 2+n n nf f f f f f f f    , , ,  2 2 2 3 1 2 3 2 1f f f f f f f f    ,  2 3 3 4 2 3 4 3 2f f f f f f f f    , ,  2 +1 1 2 1 2 1n n n n n n n nf f f f f f f f        。 所以 2 2 2 2 1 2 3 2019f f f f           1 2 2 3 1 2 3 4 3 2 2018 2019 2018 2017 2019 2020 2019 2018+ + + + +f f f f f f f f f f f f f f f f f f     2019 2020f f ,故 D 选项错误. 16.关于 x 的方程 f (x)=kx 有 6 个不同的根,等价于 y=f (x)与 y=kx 的图象有 6 个交点, 因为 f (x)= 2 x+2 ,x≤0 且 x≠-2, f x-1+1,x>0, 所以若 00 时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴函数 g (x)的极小值也是最小值为 1)0( g , 3 分 所以 g(x)≥g(0)=1,而 xsin ≤1,所以 ex-x≥ xsin ,即 f (x)≥0. 5 分 (2)解 f (x)在(0,π)上有唯一的极值点等价于 f′(x)= xaex 1cos =0 在(0,π)上有唯一的 变号零点, f′(x)=0 等价于 a= xe x 1cos  , 6 分 设 h(x)= xe x 1cos  ,x∈(0,π), h′(x)= xe xx 1cossin  = xe x )4sin(21  , 7 分 ∵x∈(0,π),∴ )4 5,4(4  x , 当 00,h(x)在 ),2(  上为增函数, ∴函数 h(x)的极小值也是最小值为 2 1)2(   e h  , 10 分 又 h(0)=0,h(π)= e 2 , 11 分 所以当 02  ae 时,方程 a= xe x 1cos  在(0,π)上有唯一的变号零点, 所以 a 的取值范围是 )0,2[ e  . 12 分 21.(12 分) 解:由 AB⊥平面 DEC 知,  90BCEBCDACEACD , 在 AECRtADCRt  , 中,  45,60 AECADC , 得 ACECACDC  ,3 3 , 2 分 在 DEC 中,  306898DCE , 4 分 由余弦定理有 2 3 3 323 1cos2 222222  ACACACDCEECDCECDCDE 化简得 22 3 1 ACDE  , 所以, DEAC 3 , 6 分 在 BDCRt 中,  45CDB , DEDEACDCBC  33 3 3 3 , 即 DEBC  , 10 分 ∴ ))(31(2203 米 DEDEBCACAB 答:建筑 AB 的高度为 ))(31(220 米 . 12 分 22.(12 分) 解:(1) axxaxxxf  3ln131ln)(' 1 分 当 3a 时, 33ln)('  xxxf 0)1(' f ,且 33ln)('  xxxf 在 ),0(  上单调递增, 2 分 ∴当 10  x 时, 0)(' xf , )(xf 单调递减; 当 1x 时, 0)(' xf , )(xf 单调递增. 3 分 ∴当 3a 时, )(xf 的递减区间为 )1,0( ,递增区间为 ),1(  . 4 分 (2) axxxf  3ln)(' 在 ),0(  上单调递增, ∵ 1313  eae 031)1('  aeef , 031)('  aeef , ∴存在唯一的 ),1(0 eex  ,使 0)(' 0 xf ,即 03ln 00  axx ,得 00 3ln xxa  . 6 分 而且,当 00 xx  时, 0)(' xf , )(xf 单调递减; 当 0xx  时, 0)(' xf , )(xf 单调递增. ∴ )(xf 的唯一极小值即 )(xf 的最小值 bxxxxxxbxaxxxxfxf  000 2 0000 2 0000min )13(ln2 3ln)1(2 3ln)()( bxx  0 2 02 3 7 分 ∵ 0)( xf 恒成立, ∴ 02 3)( 0 2 0min  bxxxf ,得 0 2 02 3 xxb  , 8 分 ∴ 6ln252 36)3(ln22 362 00 2 0000 2 0  xxxxxxxab , 设 ),1(6ln252 3)( 000 2 00 eexxxxxh  9 分 0 00 0 0 2 0 0 00 )2)(13(253253)(' x xx x xx xxxh  10 分 当 21 0  xe 时, 0)(' 0 xh , )( 0xh 单调递减; 当 ex  02 时, 0)(' 0 xh , )( 0xh 单调递增. ∴ )( 0xh 极小值 0)2ln1(22ln2262ln21042 3)2( h 即 062  ab . 12 分

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