2018-2019学年安徽省太和第一中学高一下学期第一次学情调研数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年安徽省太和第一中学高一下学期第一次学情调研数学试题 一、单选题 ‎1．已知数列中，，，则等于　　‎ A．18 B．54 C．36 D．72‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得：数列是等比数列，公比为，利用等比数列通项公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 解：数列中，，，‎ 数列是等比数列，公比．‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．不等式的解集是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：将不等式变形为，解集是两根之间 ‎【考点】一元二次不等式的解法 ‎3．在中， ，那么这样的三角形有（　　）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎【解析】据余弦定理可得，代入题中数据化简得，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得有两个解．‎ ‎【详解】‎ 解：在中，，，，‎ 由余弦定理，得：，‎ 得：… ‎ ‎，且两根之和、两根之积都为正数，‎ 方程有两个不相等的正实数根，即有两个边满足题中的条件．‎ 由此可得满足条件的有两个解．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题．‎ ‎4．已知数列的通项公式是，那么这个数列是　　‎ A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 ‎【答案】A ‎【解析】要判断数列的单调性，根据数列单调性的定义，只要判断an与an+1的大小，即只要判断an+1﹣an的正负即可 ‎【详解】‎ an+1﹣an=﹣=＞0，‎ ‎∴an+1＞an．‎ an＞0．‎ 数列是递增数列．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的单调性的定义在解题中的应用，解题的关键是要灵活应用数列的单调性的定义，属于基础题．‎ ‎5．已知中，三边与面积的关系为，则的值为　　‎ A． B． C． D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用已知条件，结合三角形的面积以及余弦定理转化即可求得，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 解：中，三边与面积的关系为，‎ 可得，可得，‎ 所以，可得．‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题。‎ ‎6．设一元二次不等式的解集为则的值为（ ）‎ A．1 B． C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意可知方程的根为，‎ 所以有 ‎【考点】三个二次关系 ‎7．若，且那么（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】同向相加得 ‎8．设等差数列中首项为，公差为d，且从第5项开始是正数，则公差d的范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的公差为d，由题意可得不等式组，解不等式组可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：设等差数列的公差为d，‎ 由题意可得，‎ 解不等式组可得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式及性质，涉及不等式组的解法，属基础题．‎ ‎9．已知在数列中，，，则等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由递推公式依次求出数列的前四项由此猜想，再用数学归纳法进行证明，从而能求出．‎ ‎【详解】‎ 解：在数列中，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由此猜想．‎ 当时，，成立．‎ 假设时，成立，‎ 则当时，，‎ 也成立，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推关系，注意递推思想和数学归纳法的合理运用，考查观察能力及计算能力，是中档题。‎ ‎10．在山脚A处测得该山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为　　‎ A．200m B．300m C．400m D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据题意可知，进而根据余弦定理可求得的值进而求得，最后在直角三角形PCD中求解．‎ ‎【详解】‎ 解：依题意可知，‎ ‎，‎ 所以该山峰的高度 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理及给值求角问题，考查计算能力及转化能力，属于基础题。‎ ‎11．在中，是以为第项，为第项的等差数列的公差，是以为第项，为第项的等比数列的公比，则该三角形形状为（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 ‎【答案】A ‎【解析】首先由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得，，然后利用两角和的正切公式可求出，从而求出，再结合题意确定A、B的范围，从而确定的形状．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得，‎ ‎，，所以 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ 又，，，，‎ ‎，，‎ 故为锐角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题。‎ ‎12．定义：在数列中，若满足为常数），称为“等差比数列”．已知在“等差比数列”中，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用定义，可得是以1为首项，2为公差的等差数列，从而，利用，可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎，‎ 是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的应用，考查新定义，考查等差数列的通项公式及转化能力，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎13．在中，，，所对的边分别是，，，已知，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，变形后利用余弦定理表示出，即可确定出的度数.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 为三角形内角，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.‎ ‎14．已知数列满足，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先化条件为，再利用累乘法得.‎ 详解： ∵在数列中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，，，，‎ ‎∴．‎ 点睛：本题考查累乘法求数列通项公式，考查基本求解能力.‎ ‎15．若集合，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】[0,4)‎ ‎【解析】解：因为集合为空集，因此要对a讨论 当a=0时，不等式显然不成立，‎ 综上可知a的范围为[0,4)‎ ‎16．数列的通项为，前项和为，则=__________．‎ ‎【答案】150‎ ‎【解析】n为偶数时，；，时，；，时，；由此利用数列的周期性能求出．‎ ‎【详解】‎ 解：为偶数时，‎ ‎，‎ n为奇数时，若，，‎ 则，‎ ‎，‎ 若，，则，‎ ‎，‎ 不妨以四项为一个整体 ‎．‎ 故答案为：150．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的周期性及分类思想，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列的前n项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求使不等式成立的n的最小值 ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)15.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出公差d，由已知得到公差和首项的方程组，求出通项公式；（2）Sn＞an是一个关于n的二次不等式，先解出n的范围，然后根据n是正整数，可得其最小值.‎ 试题解析：（1）设{an}的公差为d，依题意，‎ 有．‎ 联立得，解得．‎ ‎∴an＝－6＋（n－1）·1＝n－7．n∈N ‎（2）∵an＝n－7， ．‎ 令，即，‎ 解得n＜1或n＞14．‎ 又n∈N，∴n＞14．‎ ‎∴n的最小值为15．‎ ‎【考点】等差数列通项公式与前n项和，二次不等式 ‎18．已知中，角所对的边分别为．是锐角，且.‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）若的面积为，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）89‎ ‎【解析】利用正弦定理，可把变形为，从而解出，进而求出A．‎ 利用三角形的面积公式可得，代入余弦定理即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：1，‎ 由正弦定理知：，‎ 是三角形内角，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，，‎ 是锐角，‎ ‎．‎ ‎2，的面积为，‎ ‎，‎ ‎；‎ 由余弦定理得，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的变形，，，三角形面积公式和余弦定理，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎19．已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列．‎ ‎1求数列的通项公式；‎ ‎2设是首项为1公比为2的等比数列，求数列前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出．‎ ‎2，由此利用错位相减法能求出数列前n项和．‎ ‎【详解】‎ 解：1等差数列的前n项和为，公差，‎ 且，，，成等比数列．‎ ‎，‎ 解得 ‎，‎ ‎2是首项为1公比为2的等比数列，‎ 两式相减得：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎20．如图，在中， 为钝角， ， ， ， 为延长线上一点，且．‎ ‎（）求的大小．‎ ‎（）求， 的长．‎ ‎【答案】（）．（）， ．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出，再根据因为为钝角，求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后再用余弦定理即可求出AC的长．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）在中，‎ 因为， ，‎ 由正弦定理可得，‎ 即，‎ 所以．‎ 因为为钝角，所以．‎ 所以． 7分 ‎（Ⅱ）在△中，由余弦定理可知，‎ 即，‎ 整理得．‎ 在△中，由余弦定理可知，‎ 即，‎ 整理得．解得．‎ 因为为钝角，所以．所以．‎ ‎ 14分．‎ ‎【考点】1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎1当时，解关于x的不等式；‎ ‎2当时，解关于x的不等式．‎ ‎【答案】（1）；（2），或 ‎【解析】试题分析：第一问考查了一元二次不等式的解法，第二问首先对二次三项式因式分解得到，再分类讨论两根的大小得到不等式的解集．‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，不等式可化为，‎ 即，解得，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）当时，不等式可化为，即，‎ 则，‎ 当时，，则不等式的解集为，或；‎ 当时，不等式化为，此时不等式解集为；‎ 当时，，则不等式的解集为，或．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法，分类讨论的思想．‎ ‎22．数列中，，点在直线上．‎ 求数列的通项公式；‎ 令，数列的前n项和为．‎ 求；‎ 是否存在整数，使得不等式恒成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意结合等差数列的定义可知数列为等差数列，公差为，据此求解其通项公式即可；‎ ‎（2）(ⅰ)由题意可得，然后裂项求和确定其前n项和即可.‎ ‎(ⅱ)由题意分类讨论为奇数和为偶数两种情况可得取值集合为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，在直线，‎ 所以，即数列为等差数列，公差为，‎ 所以-1.‎ ‎（2）(ⅰ)，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎(ⅱ)存在整数使得不等式(n∈N)恒成立．‎ 因为＝.‎ 要使得不等式(n∈N)恒成立，应有：‎ 当为奇数时，，即-.‎ 所以当时，的最大值为－，所以只需－.‎ 当为偶数时，，‎ 所以当时，的最小值为，所以只需.‎ 可知存在，且.‎ 又为整数，所以取值集合为.‎ ‎【点睛】‎ 本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎