新疆维吾尔自治区行知学校2020届高三上学期11月月考数学（理）试题 16页

昌吉州行知学校 ‎2019-2020学年第一学期高三年级第二次月考 理科数学 试卷 一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对数函数和指数函数的单调性，化简集合，再求集合的并集..‎ ‎【详解】∵lgx≤0=lg1，即0＜x≤1，∴A=（0，1]；‎ ‎∵2x≤1=20，即x≤0，∴B=（-∞，0]，‎ 则A∪B=（-∞，1]．‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了集合的并集运算，涉及了对数函数与指数函数的单调性的应用；求集合的并集，通常需要先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.‎ ‎2. 下列各命题正确的是（ ）‎ A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限角都是锐角 C. 锐角都是第一象限的角 D. 小于90度的角都是锐角 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：因为锐角是大于零小于90度的角都是第一象限角，成立，但是选项B不成立 选项A中，终边相同的角一定相差周角的整数倍，选项D中，小于90度的角都是锐角显然错误．选C ‎3.△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝，又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝＝.‎ ‎4.已知平面向量，，，若，，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先应用向量的数乘及坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线时坐标所满足的条件，列出等量关系式，求解k的值.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 又，由 得，解得，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力.‎ ‎5.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出，再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.‎ ‎【详解】解：，，，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由诱导公式可得sin160°=sin20°，再由两角和的余弦公式即可求值.‎ ‎【详解】cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式和两角和的余弦公式，直接运用公式即可得到选项，属于较易题.‎ ‎7.“”是“函数在上为单调函数”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用导函数求出函数在上为单调函数的取值范围，再由充分条件与必要条件得出选项．‎ ‎【详解】函数的导函数 ，‎ 若函数在上是单调函数，则或．‎ 设， ‎ 需或 ‎ 即或，又因，所以 ‎ 设，故 ‎ 所以或 综上，当或时，函数在上为单调函数．‎ 充分性：时，函数在上为单调函数，充分性成立；‎ 必要性：函数在上是单调函数，无法得到，必要性不成立．‎ 故“”是“函数在上为单调函数”的充分不必要条件．‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查利用导函数由函数的单调性求参数的取值范围、充分条件与必要条件，属于综合性题目．‎ ‎8.已知函数，，，则最值是（ ）‎ A. 最大值为8，最小值为3； B. 最小值为-1，无最大值；‎ C. 最小值为3，无最大值； D. 最小值为8，无最大值．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，得出的解析式，再根据的单调性求出的最值．‎ 详解】令可得，解得，‎ 在上单调递减，在上单调递增,上单调递增．‎ 的最小值为，没有最大值．‎ 故选C ‎【点睛】本题考查分段函数的最值，需判断分段函数的单调性，属于基础题．‎ ‎9.已知△ABC的边AB，AC的长分别为2，3，∠BAC=120°，则△ABC的角平分线AD的长为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由余弦定理求得和，再由角平分线定理求得，然后在三角形中由余弦定理可得．‎ ‎【详解】解：根据角平分线定理可得： ‎ 由余弦定理可得： ‎ ‎∴， ，‎ 在三角形中由余弦定理得 ‎ 三角形中由余弦定理得，‎ ‎，解得：．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．‎ ‎10.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）‎ A. 要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于直线对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数在上单调递增 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得到函数的解析式，然后根据其图像与性质逐一判断即可．‎ ‎【详解】由题意知函数中，，，， ‎ 又的图象关于点对称，，‎ 解得，又因为，‎ ‎ ‎ 对于A，的图象向右平移个单位， ‎ 得的图像，‎ 且，故A正确． ‎ 对于B，时，，的图像不关于对称，故B错误． ‎ 对于C，时，，，的最小值为，故C错误． ‎ ‎ 对于D，时，，是单调递减函数，故D错误．‎ 故选A ‎【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式以及根据解析式研究图像的平移变换、最值、单调性，属于三角函数的基础题．‎ ‎11.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )‎ A. 1010.1 B. ‎10.1 ‎C. lg10.1 D. 10–10.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.‎ ‎【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.‎ ‎12.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先构造函数，利用导函数求出的解析式，即可求解不等式．‎ ‎【详解】令，则，‎ 可设，‎ ‎， ‎ ‎ 所以 解不等式，即，所以 ‎ 解得，所以不等式的解集为 ‎ 故选A ‎【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为_______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的垂直关系，推出，然后求解在方向上的投影。‎ ‎【详解】向量，满足，，且，可得，‎ 即，可得，则在方向上的投影为： ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的数量积以及向量数量积的几何意义，要熟记向量数量积的几何意义，属于基础题。‎ ‎14.函数在上单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是 ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意分析可得函数为偶函数，结合函数的单调性分析可得 ‎，即可解得的取值范围．‎ ‎【详解】根据题意，关于对称，则为偶函数，且，‎ 则 ，‎ 又在上单调递增 所以，解得 故答案为 ‎【点睛】本题考查利用函数的性质解不等式，考查学生分析问题和转化的能力，属于中档题．‎ ‎15.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.‎ ‎【答案】－8‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】答案：－8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角．‎ ‎16.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像 与函数，根据图像可知两函数图像关于直线对称，且在直线的左右两侧各有个交点，有对称性即可得到所有点的横坐标之和为 ‎【详解】在同一平面直角坐标系中，‎ 画出函数的图像与函数（如下图）‎ 有图可知函数的图像与函数的图像都关于对称，且在直线的左右两侧各有个交点，个交点都分别关于直线对称，所以所有点的横坐标之和为 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查数形结合思想，发现两个函数图像都关于对称是解决本题的入口，找出上的交点个数是本题的难点．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.求下列函数的导数．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式化简，再由求导公式求导即可．‎ ‎（2）由复合函数的求导公式即可求解． ‎ ‎【详解】（1）因为 所以.‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．‎ ‎18. 已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，‎ ‎（1）求f（x）的表达式；‎ ‎（2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据函数类型设出函数的解析式，然后根据f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，建立两个等式关系，解之即可；‎ ‎（2）要使f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，只需研究函数f（x）在闭区间[﹣1，1]上的最小值即可，利用配方法结合二次函数的性质即可求出f（x）的最小值．‎ 解：（1）设f（x）=ax2+bx+c∵f（0）=0∴c=0‎ ‎∴f（x）=ax2+bx，f（x）+x+1=ax2+（b+1）x+1，‎ f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（‎2a+b）x+a+b ‎∵f（x+1）=f（x）+x+1，‎ ‎∴ax2+（‎2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1‎ ‎∴∴‎ ‎（2）f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立 ‎∴x＞a在x∈[﹣1，1]恒成立 ‎∴在x∈[﹣1，1]恒成立．‎ ‎∴‎ 考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．‎ ‎19.在中，角，，所对的边分别为，，，已知满足.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可求得，结合范围，可求的值；（Ⅱ）根据正弦定理将表示成的形式，根据三角形的面积公式可求，结合范围，利用正弦函数的图象和性质可求得面积的取值范围．‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ 由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得： ‎ 同理：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的面积的取值范围为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．‎ ‎20.已知，设函数 ‎（1）若，求函数在上的最小值；‎ ‎（2）讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）1，（2）当时，函数的单调递增区间是,当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数解析式，对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性，进而可求出其最小值；‎ ‎（2）先对函数求导，分别讨论，两种情况，即可得出函数单调性.‎ ‎【详解】（1）若，则,所以，‎ 所以，在上单调递减，在上单递增.‎ 故当时，函数取得最小值，最小值是 ‎（2）由题意可知，函数的定义域是，又 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，‎ 令解得，，此时函数是单调递增的 令解得，，此时函数是单调递减的 综上所述，当时，函数的单调递增区间是 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用，通常先对函数求导，用导数的方法求函数最值，以及研究函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎21.将函数的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可通过题意中函数图像的转化得到，然后通过正弦函数的相关性质即可计算出函数的单调递增区间；‎ ‎(2)首先通过计算出函数的最大值以及最小值，然后将转化为，即可列出不等式组，通过计算得出结果．‎ ‎【详解】（1）函数的图像向左平移个单位长度可得，‎ 然后将上所有点的横坐标伸长到原来的倍可得，‎ 令，即，‎ 故的单调递增区间为.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以函数在上的最大值为，此时，即，‎ 最小值为，此时，即.‎ 对于任意的，不等式恒成立，‎ 即恒成立，，‎ 所以，，故实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的图像变换以及通过三角函数性质解不等式，考查推理能力，在三角函数的图像变换中一定要注意函数向左平移个单位得出的函数是，是中档题．‎ ‎22.已知，．‎ ‎（1）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（3）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g'（x）＝0的两个根．然后解a即可．（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式‎2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可．‎ ‎【详解】（1）由题意的解集是：‎ 即的两根分别是，1．‎ 将或代入方程得．∴．‎ ‎（2）由（1）知：，∴，‎ ‎∴点处的切线斜率，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为：，即．‎ ‎（3）∵，即：对上恒成立 可得对上恒成立 设，则 令，得或（舍）‎ 当时，；当时，‎ ‎∴当时，取得最大值∴．的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立．‎