江苏省徐州市三校2019-2020学年高二下学期联考数学试题 Word版含解析 17页

www.ks5u.com ‎2019-2020-2三校联考高二数学试卷 一、单项选择题 ‎1.设复数满足（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则即可得出．‎ ‎【详解】解：是虚数单位），‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2.下列求导运算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的运算法则计算即可.‎ ‎【详解】由导数的运算法则，知，，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算法则，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎3.已知i为虚数单位，若，则（ ）‎ - 17 -‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件，结合复数的运算可得，由模长公式可得答案．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ 故.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的相关概念，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ）‎ A. 54 B. 5×4×3×2 C. 45 D. 5×4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由乘法原理可得：不同的选择种数是 .‎ ‎5.函数在上的最大值与最小值之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数的单调性即可得到最值.‎ ‎【详解】由已知，，令得，，令得或，‎ 故在上单调递增，在上单调递减，所以，又 - 17 -‎ ‎，，故，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.‎ ‎6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎4项工作分成3组,可得：=6，‎ 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，‎ 可得：种．‎ 故选D.‎ ‎7.已知,为的导函数，则的图象是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的导函数，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】依题意，令，则.由于，故排除C选项.由于，故在 - 17 -‎ 处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.‎ ‎8.已知函数有极值，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有零点，且在零点两侧的符号相反．‎ ‎【详解】，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，恒成立，时，恒成立，‎ 当时，有解，且在解的两侧的符号相反，即有极值．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查用导数与函数的极值的关系，要注意，不能保证是极值点，实际上还要有在两侧的符号相反．‎ 二、多项选择题 ‎9.若复数满足（其中是虚数单位），则（ ）‎ A. 的实部是2 B. 的虚部是 C. D. ‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法运算可得，再结合复数的实部、虚部的概念及共轭复数及复数模的运算即可得解.‎ ‎【详解】解：，‎ - 17 -‎ 即的实部是1，虚部是，故A错误，B错误，‎ 又，，‎ 故C，D均正确.‎ 故选：CD.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了共轭复数及复数模的运算，属基础题.‎ ‎10.如果对定义在上的奇函数，，对任意两个不相等的实数，所有，则称函数为“函数”，下列函数为函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】CD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知是奇函数，且在上是增函数，对选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】由题意，是奇函数，故排除选项B，因为，‎ 所以，即在上是增函数，由于在R上不具 单调性，故排除A；对于C，，，所以在上 增函数，满足题意，对于D，易知在上单调递增，又是奇函数，‎ 故在上是增函数，满足题意.‎ 故选：CD ‎【点睛】本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的奇偶性、单调性，是一道容易题.‎ ‎11.对于函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在 - 17 -‎ 上恒成立，则 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项A、C，只需研究的单调性即可；对于选项B，令解方程即可；对于选项D，采用分离常数，转化为函数的最值即可.‎ ‎【详解】由已知，，令得，令得，故 在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，‎ A正确；‎ 又令得，即，当只有1个零点，B不正确；‎ ‎，所以，故C正确；‎ 若在上恒成立，即在上恒成立，设，‎ ‎，令得，令得，故 在上单调递增，在单调递减，所以，，‎ 故D正确.‎ 故选：ACD ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎12.已知函数，则下列结论正确的是（）‎ A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 - 17 -‎ C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项.‎ ‎【详解】A.,解得，所以A正确；‎ B.，‎ 当时，，当时，或 ‎ 是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，‎ 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确.‎ C.当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；‎ ‎ ‎ D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.‎ 故选A,B,C ‎【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是 - 17 -‎ 是函数的单调递减区间，但当时，，所以图像是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.‎ 三、填空题 ‎13.已知复数，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算结合的周期性即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，，，‎ 所以.‎ 故答案：1‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本计算，涉及到复数的除法运算、的周期性等知识，是一道容易题.‎ ‎14.已知函数，则的单调增区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求导，令，解不等式即可.‎ ‎【详解】由已知，，令得，故的单调递增区间为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎15.已知是定义在上的函数，且，对任意的都有，则的解集是______.‎ ‎【答案】‎ - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，易知在上单调递减，注意到，所以原不等式的解等价于，再利用单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】令，则对任意恒成立，所以在上 单调递减，注意到，所以，解得，‎ 所以的解集是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用构造法解抽象函数不等式，涉及到利用导数研究函数的单调性，是一道中档题.‎ ‎16.已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则与的关系为______（用表示），若函数在区间上是单调递增，则的最大值等于______..‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导利用导数的几何意义可得，即；函数在区间上是单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，只需解不等式即可.‎ ‎【详解】由已知，，由导数几何意义知，，，即；‎ - 17 -‎ 若函数在区间上是单调递增，则在上恒成立，‎ 在上恒成立，即在上恒成立，‎ 易知在上单调递增，所以，，解得；‎ 故答案为： (1). (2). ‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数解决不等式恒成立问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.‎ 四、解答题 ‎17.求下列函数导数.‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的运算法则计算即可.‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2）‎ ‎；‎ - 17 -‎ ‎（3）.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算法则，注意复合函数的导数方法：由外向内，层层求导，本题是一道基础题.‎ ‎18.已知，复数.‎ ‎（1）若为纯虚数，求的值；‎ ‎（2）在复平面内，若对应的点位于第二象限，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用复数的除法得到，根据为纯虚数可得.‎ ‎（2）先求出，根据其对应的点在第二象限可得横坐标、纵坐标满足的不等式，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 因为为纯虚数，所以，且，则 ‎（2）由（1）知，， ‎ 则点位于第二象限，‎ 所以，得. ‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法、复数的概念及复数的几何意义，属于基础题.‎ ‎19.已知名学生和名教师站在一排照相，求：‎ ‎（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？‎ ‎（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？‎ ‎（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；‎ ‎（2）先排4名学生有种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有种方法，根据分步计数原理即可得到答案；‎ ‎（3）先将2名老师看成一个整体，有种方法，再从4名学生种选2名排两端，有种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有种方法，由乘法原理即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．不相邻问题用插空法，解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手.‎ ‎20.如图，已知海岛到海岸公路的距离，间的距离为，从到必须先坐船到上的某一点，航速为，再乘汽车到，车速为，‎ ‎（1）①设，试将由到所用的时间表示为的函数；‎ ‎②记，试将由到所用的时间表示为的函数；‎ ‎（2）任意选取（1）中的一个函数，求登陆点选在何处，由到所用的时间最少？‎ ‎【答案】（1）①；②；（2）处 - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①②根据题意建模即可得到，；‎ ‎（2）分别对①②中的函数求导，找到单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】（1），，，则 ‎①，，则 ‎②中，，，‎ ‎（2）选①，得 当时，，时，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以时，取最小值 选②得 当时，，时，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以时，取最小值，此时 - 17 -‎ 答：选择距B处所用时间最少.‎ ‎【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，是一道中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）最小值是，最大值是；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）易得在递减，在递增，所以，再比较的大小可得最大值；‎ ‎（2），分，，，四种情况讨论即可.‎ ‎【详解】（1）时，，‎ ‎，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ ‎∴在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴的最小值是，‎ 而，，因为 故在的最大值是；‎ ‎（2），‎ ‎①时，易知在上单调递增，在上单调递减；‎ - 17 -‎ ‎②当时，‎ 若，，，，，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎③当时，，，在上单调递增；‎ ‎③当时，，，，，，‎ ‎，所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增 综上所述，时，的单调增区间为，单调减区间为；‎ 当时，单调增区间为，；单调减区间为；‎ 当时，单调增区间为，无单调减区间；‎ 当时，单调增区间为，；单调减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，考查学生分类讨论的思想及数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）求证：函数的图象恒在函数图象的上方；‎ ‎（2）当时，令的两个零点，.求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）构造新函数，求导，求出新函数的最小值，并判断出最小值的正负性即可；‎ ‎（2）对函数进行求导，判断出函数的单调性，结合零点存在原理进行求解即可.‎ - 17 -‎ ‎【详解】（1）证明：构造函数. ‎ 则，令得 ‎ 时，时 在为减函数，在为增函数， ‎ 所以，即 故函数的图象恒在函数图象的上方. ‎ ‎（2）证明：由有两个零点，‎ 当时 ‎ 则在为增函数，且，则当时，为减函数，当时，为增函数，， ‎ 又， ‎ ‎. ‎ 在和上各有一个零点，， ‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了已知函数的零点利用导数求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.‎ - 17 -‎ - 17 -‎