2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第4节课件（33张）（全国通用） 33页

第 4 节　直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲　 1. 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 . 1. 直线与圆的位置关系 知 识 梳 理 方法   位置 关系 几何法 代数法 相交 d < r Δ >0 相切 d ＝ r Δ ＝ 0 相离 d > r Δ <0 2. 圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R ， r ， R ＞ r ，圆心距为 d ，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 d ＞ R ＋ r d ＝ R ＋ r R － r ＜ d ＜ R ＋ r d ＝ R － r d ＜ R － r 代数特征 无实 数解 一组实 数解 两组实 数解 一组实 数解 无实 数解 公切线条数 4 3 2 1 0 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 关注一个直角三角形 当直线与圆相交时，由弦心距 ( 圆心到直线的距离 ) 、弦长的一半及半径构成一个直角三角形 . 2. 两圆相交时公共弦的方程 设圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＋ D 1 x ＋ E 1 y ＋ F 1 ＝ 0 ， ① 圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＋ D 2 x ＋ E 2 y ＋ F 2 ＝ 0 ， ② 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由 ① － ② 所得，即： ( D 1 － D 2 ) x ＋ ( E 1 － E 2 ) y ＋ ( F 1 － F 2 ) ＝ 0. 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (1) “ k ＝ 1 ” 是 “ 直线 x － y ＋ k ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交 ” 的必要不充分条件 .( 　　 ) (2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 .( 　　 ) (3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 .( 　　 ) (4) 从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 .( 　　 ) (5) 过圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程是 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 .( 　　 ) 解析　 (1) “ k ＝ 1 ” 是 “ 直线 x － y ＋ k ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 相交 ” 的充分不必要条件 . (2) 除外切外，还有可能内切 . (3) 两圆还可能内切或内含 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 2. 若直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 与圆 ( x － a ) 2 ＋ y 2 ＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A .[ － 3 ，－ 1] B.[ － 1 ， 3] C .[ － 3 ， 1] D .( － ∞ ，－ 3] ∪ [1 ，＋ ∞ ) 答案　 C 解得－ 3 ≤ a ≤ 1. 3. 直线 3 x ＋ 4 y ＝ b 与圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 相切，则 b 的值是 ( 　　 ) A . － 2 或 12 B.2 或－ 12 C . － 2 或－ 12 D.2 或 12 答案　 D 4. (2018· 嘉兴月考 ) 在坐标平面内，与点 A (1 ， 2) 距离为 1 ，且与点 B (3 ， 1) 的距离为 2 的直线共有 ________ 条 . 解 析　 分别以 A ， B 为圆心，以 1 ， 2 为半径作圆，两圆的公切线有两条 . 答 案 　 2 5. 若直线 3 x － 4 y ＋ 5 ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 ( r >0) 相交于 A ， B 两点，且 ∠ AOB ＝ 120°( O 为坐标原点 ) ，则 r ＝ ________. 解析　 如图，过 O 点作 OD ⊥ AB 于 D 点，在 Rt △ DOB 中， ∠ DOB ＝ 60° ， ∴∠ DBO ＝ 30° ， ∴ r ＝ 2| OD | ＝ 2. 答案　 2 6. ( 必修 2P133A9 改编 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 4 ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 的公共弦所在直线的方程为 ________ ；公共弦长为 ________. 相减得 x － y ＋ 2 ＝ 0 ，即为两圆公共弦所在的直线方程 . 又圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 的圆心到直线 x － y ＋ 2 ＝ 0 的距离为 考点一　直线与圆的位置关系 【例 1 】 (1) 已知点 M ( a ， b ) 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 外，则直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 O 的位置关系是 ( 　　 ) A . 相切 B. 相交 C . 相离 D. 不确定 ( 2) ( 一题多解 ) 圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 与直线 y ＝ kx ＋ 2 没有公共点的充要条件是 ________. 规律方法 　判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1) 几何法：利用 d 与 r 的关系 . (2) 代数法：联立方程之后利用 Δ 判断 . (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 . 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 . 【训练 1 】 (1) “ a ＝ 3 ” 是 “ 直线 y ＝ x ＋ 4 与圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 8 相切 ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 答案 　 (1)A 　 (2)D 考点二　圆的切线、弦长问 题 【例 2 】 (1) 过点 (3 ， 1) 作圆 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 的弦，其中最短弦的长为 ________. ( 2) 过点 P (2 ， 4) 引圆 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 的切线，则切线方程为 ________. (2) 圆的切线方程的两种求法 ① 代数法：设切线方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 Δ ＝ 0 进而求得 k . ② 几何法：设切线方程为 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d ，然后令 d ＝ r ，进而求出 k . 答案 　 (1)4π 　 (2)4 考点三　圆与圆的位置关系 【例 3 】 (2017· 浙江五校联考 ) 已知两圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 y － 1 ＝ 0 ， x 2 ＋ y 2 － 10 x － 12 y ＋ m ＝ 0. ( 1) m 取何值时两圆外切？ ( 2) m 取何值时两圆内切？ ( 3) 当 m ＝ 45 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 . 规律方法 　 (1) 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法 .(2) 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x 2 ， y 2 项得到 . 答案 　 (1)B 　 (2)C