【数学】2020届一轮复习人教B版9-8n次独立重复试验与二项分布学案 13页

第八节　n次独立重复试验与二项分布 条件概率、相互独立事件及二项分布 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．‎ 知识点一　条件概率 条件概率的定义 条件概率的性质 已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．‎ 当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB)‎ 类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝.‎ ‎(1)0≤P(B|A)≤1‎ ‎(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ 易误提醒　(1)条件概率不一定不等于非条件概率．若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．‎ ‎(2)P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同．‎ 前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．‎ ‎[自测练习]‎ ‎1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．‎ 解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝＝.‎ 答案： 知识点二　事件的相互独立性 ‎1．定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．‎ ‎2．性质 ‎(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．‎ ‎(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．‎ 易误提醒　易混“相互独立”和“事件互斥”：‎ 两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥．‎ ‎[自测练习]‎ ‎2．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．‎ 则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．‎ 解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．‎ 由相互独立事件概率乘法，所求概率P＝1×0.2×0.82＝0.128.‎ 答案：0.128‎ 知识点三　独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算公式 Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A‎1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)‎ 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)‎ 易误提醒　易混淆二项分布与两点分布：‎ 由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．‎ ‎[自测练习]‎ ‎3．小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：所求概率P＝C·1·3－1＝.‎ 答案：A ‎4．某一批棉花种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：用X表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布B，P(X＝2)＝C21＝.‎ 答案：C 考点一　条件概率|‎ ‎1．(2018·丽江高三检测)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：由古典概型知P(A)＝，P(AB)＝，则由条件概率知P(B|A)＝＝＝.‎ 答案：A ‎2.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.‎ 解：由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝＝＝.‎ 事件AB表示“豆子落在△EOH内”，‎ 则P(AB)＝＝＝.‎ 故P(B|A)＝＝＝.‎ 答案： 条件概率的求法 ‎(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)．‎ ‎(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎　　‎ 考点二　相互独立事件概率|‎ ‎　(2018·洛阳模拟)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有1,2,3三个问题，每位参赛者按问题1,2,3的顺序作答，竞赛规则如下：‎ ‎①每位参赛者计分器的初始分均为10分，答对问题1,2,3分别加1分，2分，3分，答错任一题减2分；‎ ‎②每回答一题，积分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于12分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，累计分数仍不足12分时，答题结束，淘汰出局．‎ 已知甲同学回答1,2,3三个问题正确的概率依次为，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．‎ ‎(1)求甲同学能进入下一轮的概率；‎ ‎(2)用X表示甲同学本轮答题结束时的累计分数，求X的分布列．‎ ‎[解]　(1)设事件A表示“甲同学问题1回答正确”，事件B表示“甲同学问题2回答正确”，事件C表示“甲同学问题3回答正确”，依题意P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.‎ 记“甲同学能进入下一轮”为事件D，则 P(D)＝P(AC＋AB＋BC)‎ ‎＝P(AC)＋P(AB)＋P(BC)‎ ‎＝P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)＋P()P(B)P(C)‎ ‎＝××＋×＋××＝.‎ ‎(2)X可能的取值是6,7,8,12,13.‎ P(X＝6)＝P()＝×＝，‎ P(X＝7)＝P(A)＝××＝，‎ P(X＝8)＝P(B)＝××＝，‎ P(X＝12)＝P(AC)＝××＝，‎ P(X＝13)＝P(AB＋BC)＝P(AB)＋P(BC)＝×＋××＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎13‎ P 求解相互独立条件概率问题的三个注意点 ‎(1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．‎ ‎　　‎ ‎1.如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．‎ 解析：设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝，由独立事件概率公式知 P(A C)＝P(A)P()P(C)＝××＝.‎ 答案： 考点三　独立重复试验与二项分布|‎ ‎　(2018·江苏西亭中学模拟)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)．‎ ‎(1)5次预报中恰有2次准确的概率；‎ ‎(2)5次预报中至少有2次准确的概率；‎ ‎(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．‎ ‎[解]　令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B，故其分布列为P(X＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)．‎ ‎(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C×2×3＝10××≈0.05.‎ ‎(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×0×5－C××4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99.‎ ‎(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C××3×≈0.02.‎ 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．‎ ‎　　‎ ‎2．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．‎ ‎(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；‎ ‎(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数ξ的期望．‎ 解：(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.‎ ‎(2)甲被录取的概率为P甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.75×0.4＝0.3.‎ ‎∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即ξ～B(3,0.3)，∴E(ξ)＝3×0.3＝0.9.‎ ‎　　24.混淆相互独立事件与独立重复试验致误 ‎【典例】　(2018·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解]　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，‎ A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，‎ B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2.‎ 因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以 P(B1)＝P(A‎1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，‎ P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)＝×＋×＝.‎ 故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.‎ 于是P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝，‎ P(X＝2)＝C21＝，‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的数学期望为E(X)＝3×＝.‎ ‎[易误点评]　(1)本题中所给出的事件较多，在求解第(1)问时注意事件分析与表示．尤其是顾客抽奖1次获二等奖易表示错．‎ ‎(2)对于第(2)问中事件易与相互独立事件混淆其实为三次独立重复试验．‎ ‎[防范措施]　(1)正确理解相互独立事件与n次独立重复试验的定义及区别．(2)审题时要学会分析事件，并准确记事件与表示事件．‎ ‎[跟踪练习]　(2018·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648　　　　　　　　 B．0.432‎ C．0.36 D．0.312‎ 解析：由题意得所求概率P＝C×0.62×(1－0.6)＋C×0.63＝0.648.‎ 答案：A A组　考点能力演练 ‎1．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中靶的概率为×＝.‎ 答案：D ‎2．若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C2；或三次都击中，其概率为C3，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P＝C2＋C3＝，故选A.‎ 答案：A ‎3．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. 解析：设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，‎ 则P(A)＝，P(AB)＝×＝.‎ 则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ 答案：D ‎4．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵X～B，‎ ‎∴P(X＝3)＝C3·3＝.‎ 答案：A ‎5．(2018·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　)‎ A．0.12 B．0.42‎ C．0.46 D．0.88‎ 解析：因为甲、乙两人是否被录取相互独立，‎ 又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，‎ 由对立事件和相互独立事件概率公式知，‎ P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.‎ 答案：D ‎6．在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．‎ 解析：由题意知，两个人都不去此地的概率是×＝，∴至少有一个人去此地的概率是1－＝.‎ 答案： ‎7．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.‎ 解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B，即有P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.‎ 故P(ξ＝4)＝C4×1＝.‎ 答案： ‎8．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________．‎ 解析：设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝，‎ 而P(A)＝＝.‎ 答案： ‎9．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.‎ ‎(1)求p；‎ ‎(2)求电流能在M与N之间通过的概率．‎ 解：记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，‎ B表示事件“电流能在M与N之间通过”．‎ ‎(1)＝123，A1，A2，A3相互独立，‎ P()＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝(1－p)3，‎ 又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，‎ 故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.‎ ‎(2)B＝A4∪(‎4A1A3)∪(4‎1A2A3)，‎ P(B)＝P(A4)＋P(‎4A1A3)＋P(4 ‎1A2A3)＝P(A4)＋P(4)P(A1)P(A3)＋P(4)P(1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.‎ ‎10．(2018·石家庄模拟)某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．‎ ‎(1)估计全市学生综合素质成绩的平均值；‎ ‎(2)若评定成绩不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看作有放回的抽样)，变量ξ表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量ξ的分布列及期望E(ξ)．‎ 解：(1)依题意可知 ‎55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6，‎ 所以综合素质成绩的平均值为74.6.‎ ‎(2)由频率分布直方图知优秀率为10×(0.008＋0.022)＝0.3，‎ 由题意知，ξ～B，P(ξ＝k)＝Ck3－k，‎ 故其分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝3×＝.‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2018·高考陕西卷)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；‎ ‎(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．‎ 解：(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，‎ ‎∵利润＝产量×市场价格－成本，‎ ‎∴X所有可能的取值为 ‎500×10－1 000＝4 000,500×6－1 000＝2 000，‎ ‎300×10－1 000＝2 000,300×6－1 000＝800.‎ P(X＝4 000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，‎ P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，‎ 所以X的分布列为 X ‎4 000‎ ‎2 000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1,2,3)，‎ 由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，‎ P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2,3)，‎ ‎3季的利润均不少于2 000元的概率为 P(C‎1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；‎ ‎3季中有2季利润不少于2 000元的概率为 P(‎1C2C3)＋P(C1‎2C3)＋P(C‎1C23)＝3×0.82×0.2＝0.384，‎ 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.‎ ‎2．(2018·高考北京卷)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：‎ A组：10,11,12,13,14,15,16；‎ B组：12,13,15,16,17,14，a.‎ 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．‎ ‎(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；‎ ‎(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)‎ 解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，‎ 事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.‎ 由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2，…，7.‎ ‎(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.‎ ‎(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．‎ 由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.‎ 因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.‎ ‎(3)a＝11或a＝18.‎