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  • 2021-06-16 发布

2021高考数学一轮复习课后限时集训51圆的方程理北师大版

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课后限时集训51‎ 圆的方程 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为(  )‎ A.(-1,1)      B.(-1,0)‎ C.(1,-1) D.(0,-1)‎ D [由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,‎ 要使圆的面积最大,须使半径最大,‎ 所以当k=0时,rmax==1,‎ 此时圆的方程为x2+y2+2y=0,‎ 即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).]‎ ‎2.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为(  )‎ A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5‎ C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5‎ A [由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r.‎ ‎∴=,解得a=1.‎ ‎∴r==,‎ ‎∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.]‎ ‎3.设P(x,y)是曲线x2+(y+4)2=4上任意一点,则的最大值为(  )‎ A.+2 B. C.5 D.6‎ A [的几何意义为点P(x,y)与点A(1,1)之间的距离.易知点A(1,1)在圆x2+(y+4)2=4的外部,由数形结合可知的最大值为+2=+2.故选A.]‎ ‎4.动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是 ‎(  )‎ 6‎ A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=4‎ C.(2x-3)2+4y2=1 D.2+y2= C [设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y).∵点A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.故选C.]‎ ‎5.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(  )‎ A.2 B.8‎ C.4 D.10‎ C [设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,‎ 则 解得 ‎∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.‎ 令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,‎ ‎∴M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),‎ ‎∴|MN|=4,故选C.]‎ 二、填空题 ‎6.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为________.‎ ‎4 [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,‎ 又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]‎ ‎7.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为________.‎ ‎(x-2)2+(y-1)2=1 [设对称圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心(1,2)关于直线y=x的对称点为(2,1),故对称圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]‎ ‎8.圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的范围为________.‎ ‎(0,4) [设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|得(a+1)2+12=(a-1)2+32.所以a=2.‎ 半径r=|CA|==.‎ 故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.‎ 由题意知(m-2)2+()2<10,‎ 解得0<m<4.]‎ 三、解答题 6‎ ‎9.已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).‎ ‎(1)求|MQ|的最大值和最小值;‎ ‎(2)求的最大值和最小值.‎ ‎[解] (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,‎ 可得(x-2)2+(y-7)2=8,‎ ‎∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.‎ 又|QC|==4,‎ ‎∴|MQ|max=4+2=6,‎ ‎|MQ|min=4-2=2.‎ ‎(2)可知表示直线MQ的斜率k.‎ 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.‎ 由直线MQ与圆C有交点,‎ 所以≤2,‎ 可得2-≤k≤2+,‎ ‎∴的最大值为2+,最小值为2-.‎ ‎10.如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2,高为3.‎ ‎(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程;‎ ‎(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程.‎ ‎[解] (1)由已知可知A(-3,0),B(3,0),C(,3),D(-,3),‎ 设圆心E(0,b),由|EB|=|EC|可知 ‎(0-3)2+(b-0)2=(0-)2+(b-3)2,解得b=1.‎ 所以r2=(0-3)2+(1-0)2=10.‎ 所以圆的方程为x2+(y-1)2=10.‎ ‎(2)设P(x,y),由点P是MN中点,得M(2x-5,2y-2).‎ 将M点代入圆的方程得(2x-5)2+(2y-3)2=10,‎ 即2+2=.‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅲ)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(  )‎ 6‎ A.[2,6] B.[4,8]‎ C.[,3] D.[2,3]‎ A [圆心(2,0)到直线的距离d==2,所以点P到直线的距离d1∈[,3].根据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以△ABP的面积S=|AB|d1=d1.因为d1∈[,3],所以S∈[2,6],即△ABP面积的取值范围是[2,6].]‎ ‎2.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为(  )‎ A.1 B.5‎ C.4 D.3+2 D [由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,‎ ‎∴‎2a+2b-2=0,整理得a+b=1,‎ ‎∴+=(a+b)=3++ ‎≥3+2=3+2,‎ 当且仅当=,即b=2-,a=-1时,等号成立.‎ ‎∴+的最小值为3+2.]‎ ‎3.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为________.‎ ‎(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2 [设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,‎ 则点C到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.‎ 由题意可知∴或 故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.]‎ ‎4.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.‎ ‎(1)求直线CD的方程;‎ ‎(2)求圆P的方程.‎ ‎[解] (1)由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).‎ 6‎ 则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.‎ ‎(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上得 a+b-3=0.①‎ 又因为直径|CD|=4,‎ 所以|PA|=2,‎ 所以(a+1)2+b2=40.②‎ 由①②解得 或 ‎ 所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).‎ 所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.‎ ‎1.(2019·厦门模拟)设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为________.‎ ‎12 [由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.]‎ ‎2. 在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+‎2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.‎ ‎[解] 由曲线Γ:y=x2-mx+‎2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+‎2m=0.设A(x1,0),B(x2,0),可得Δ=m2-‎8m>0,则m<0或m>8,x1+x2=m,x1x2=‎2m.令x=0,得y=‎2m,即C(0,‎2m).‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,得x1x2+‎4m2‎=0,即‎2m+‎4m2‎=0,所以m=0(舍去)或m=-.‎ 此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,‎ 半径r=|CM|=,‎ 故所求圆的方程为2+y2=.‎ 6‎ ‎(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+‎2m=0,‎ 将点C(0,‎2m)代入可得E=-1-‎2m,‎ 所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+‎2m)y+‎2m=0.‎ 整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.‎ 令 可得或 故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和.‎ 6‎

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