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- 2021-06-16 发布
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课后限时集训51
圆的方程
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一、选择题
1.已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为( )
A.(-1,1) B.(-1,0)
C.(1,-1) D.(0,-1)
D [由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r==,
要使圆的面积最大,须使半径最大,
所以当k=0时,rmax==1,
此时圆的方程为x2+y2+2y=0,
即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).]
2.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5
A [由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r.
∴=,解得a=1.
∴r==,
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.]
3.设P(x,y)是曲线x2+(y+4)2=4上任意一点,则的最大值为( )
A.+2 B.
C.5 D.6
A [的几何意义为点P(x,y)与点A(1,1)之间的距离.易知点A(1,1)在圆x2+(y+4)2=4的外部,由数形结合可知的最大值为+2=+2.故选A.]
4.动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是
( )
6
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=4
C.(2x-3)2+4y2=1 D.2+y2=
C [设中点M(x,y),则动点A(2x-3,2y).∵点A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.故选C.]
5.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2 B.8
C.4 D.10
C [设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
解得
∴圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,
∴M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),
∴|MN|=4,故选C.]
二、填空题
6.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为________.
4 [如图所示,圆心M(3,-1)与直线x=-3的最短距离为|MQ|=3-(-3)=6,
又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4.]
7.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为________.
(x-2)2+(y-1)2=1 [设对称圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心(1,2)关于直线y=x的对称点为(2,1),故对称圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.]
8.圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的范围为________.
(0,4) [设圆心为C(a,0),由|CA|=|CB|得(a+1)2+12=(a-1)2+32.所以a=2.
半径r=|CA|==.
故圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
由题意知(m-2)2+()2<10,
解得0<m<4.]
三、解答题
6
9.已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值.
[解] (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又|QC|==4,
∴|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.
由直线MQ与圆C有交点,
所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
∴的最大值为2+,最小值为2-.
10.如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2,高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程;
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程.
[解] (1)由已知可知A(-3,0),B(3,0),C(,3),D(-,3),
设圆心E(0,b),由|EB|=|EC|可知
(0-3)2+(b-0)2=(0-)2+(b-3)2,解得b=1.
所以r2=(0-3)2+(1-0)2=10.
所以圆的方程为x2+(y-1)2=10.
(2)设P(x,y),由点P是MN中点,得M(2x-5,2y-2).
将M点代入圆的方程得(2x-5)2+(2y-3)2=10,
即2+2=.
1.(2018·全国卷Ⅲ)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )
6
A.[2,6] B.[4,8]
C.[,3] D.[2,3]
A [圆心(2,0)到直线的距离d==2,所以点P到直线的距离d1∈[,3].根据直线的方程可知A,B两点的坐标分别为A(-2,0),B(0,-2),所以|AB|=2,所以△ABP的面积S=|AB|d1=d1.因为d1∈[,3],所以S∈[2,6],即△ABP面积的取值范围是[2,6].]
2.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为( )
A.1 B.5
C.4 D.3+2
D [由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,
∴2a+2b-2=0,整理得a+b=1,
∴+=(a+b)=3++
≥3+2=3+2,
当且仅当=,即b=2-,a=-1时,等号成立.
∴+的最小值为3+2.]
3.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为________.
(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2 [设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
则点C到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.
由题意可知∴或
故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.]
4.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
[解] (1)由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).
6
则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上得
a+b-3=0.①
又因为直径|CD|=4,
所以|PA|=2,
所以(a+1)2+b2=40.②
由①②解得 或
所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).
所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
1.(2019·厦门模拟)设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),则·的最大值为________.
12 [由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.]
2. 在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.
[解] 由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0.设A(x1,0),B(x2,0),可得Δ=m2-8m>0,则m<0或m>8,x1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).
(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0(舍去)或m=-.
此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,
半径r=|CM|=,
故所求圆的方程为2+y2=.
6
(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,
将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,
所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0.
整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.
令
可得或
故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和.
6