2018-2019学年福建省厦门外国语学校高一下学期第一次月考数学试题（解析版） 18页

‎2018-2019学年福建省厦门外国语学校高一下学期第一次月考数学试题 一、多选题 ‎1．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）‎ A．若，则一定是等边三角形 B．若，则一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是锐角三角形 ‎【答案】AC ‎【解析】利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.‎ ‎【详解】‎ 由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；‎ 由正弦定理可得，或，‎ 是等腰或直角三角形，不正确；‎ 由正弦定理可得，即，‎ 则等腰三角形，正确；‎ 由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.‎ 二、单选题 ‎2．数列2，6，12，20，的第8项是（ ）‎ A．56 B．72 C．90 D．110‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据数列前四项发现规律：相邻两项的差成等差数列，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题通过观察数列的前四项，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.‎ ‎3．已知，则的等比中项为 （ ）‎ A．2 B． C． D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用等比中项的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为的等比中项是，‎ 所以的等比中项为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比中项的定义与求法，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.‎ ‎4．在中，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角形内角和定理求角，再由正弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ 则， 由正弦定理，得，解得，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理及其应用，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎5．已知等差数列的前项和，且，则（ ）‎ A．16 B．8 C．4 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用等差数列的性质和等差数列前项和公式，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为, ，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式的应用，属于中档题. 解答有关等差数列问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.‎ ‎6．已知数列满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由递推公式依次求出，找出数列的项之间规律即周期性，利用周期性求出.‎ ‎【详解】‎ 由和得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 可得数列是周期为4的周期数列，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.‎ ‎7．已知的内角所对的边分别为，若,，则（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得，再利用余弦定理解方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 得，‎ 即 ‎，‎ 得，‎ 因为，‎ 所以，‎ 化为，得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和的正弦公式以及余弦定理解三角形，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎8．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度,作差后可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，，‎ ‎，‎ 在中，又，‎ ‎，‎ 在中， ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 河流的宽度等于，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角差的正切公式、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数,意在考查综合应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎9．已知等比数列的前项和为，且,则 (   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的性质可得仍成等比数列，进而可用表示和,代入化简可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由等比数列的性质可得，仍成等比数列，‎ ‎，‎ ‎ ,成等比数列，‎ ‎，解得，‎ ‎,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质与应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.‎ ‎10．等差数列的前项和为，若公差，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由公差可得，由可得，可得，，由等差数列的性质可得，，从而可得结论．‎ ‎【详解】‎ 公差，，‎ ‎，‎ ‎，，,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式与性质以及单调性、不等式的性质，属于中档题．解答等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）.‎ 三、解答题 ‎11．在等差数列中，. ‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据等差数列中，求出、公差 的值，从而可得数列的通项公式；(2) 由（1）可得，每相邻两项结合求和，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎, ‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ ‎12．如图，在梯形中，， ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的长度.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)由正弦定理求出的正弦值，再利用可得结果；（2）求得,利用正弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在中，由正弦定理，得，‎ ‎∴,‎ ‎∵，∴，‎ ‎.‎ ‎(2)由（1）可知 ‎ ‎,‎ ‎,‎ 在中，由正弦定理，‎ 得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎13．已知是等差数列，是等比数列，且 ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，根据等比数列的性质求得、的值，即可得的通项公式，再根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）结合（1）可得，根据错位相减法，利用等比数列求和公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）等比数列的公比，‎ 所以，．‎ 设等差数列的公差为．‎ 因为，，‎ 所以，即．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）知，，．‎ 因此．‎ 从而数列的前项和,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ 两式作差可得,‎ ‎,‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列和等差数列的通项、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.‎ ‎14．在中，角，，所对的边分别为，，，若．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用余弦定理，将即可求出，继而得；（2）利用三角形内角和定理将所求表达式表示为关于的三角函数式，结合三角函数的性质求解最大值.‎ 试题解析：（1）由题意，余弦定理：，∵，所以.‎ ‎（2）因为，，则．那么： ∵，∴，当时，取得最大值为1，即的最大值1.‎ ‎15．某企业2017年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力逐年下降，若不能进行技术改造，预测从2018年起每年比上一年纯利润减少20万元，2018年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（以2018年为第一年）的利润为万元（为正整数）.‎ ‎（1）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求，的表达式；‎ ‎（2）依上述预测，从2018年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润？‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】（1）利用等差数列的求和公式可得，由等比数列的求和公式可得 的表达式；（2）令,构造函数，根据函数的单调性，利用特殊值验证，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎. .‎ ‎（2）令,‎ 设在单调递增,‎ ‎，,‎ 所以当时 ,‎ 即经过4年，进行技术改造后的累计利润超过不进行技术改造的累计纯利润 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列与等差数列的求和公式以及函数单调性的应用，考查的阅读能力与建模能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎16．已知数列的满足，且,记.‎ ‎(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；‎ ‎(2)设，求的值；‎ ‎(3)是否存在正实数，使得对任意都成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.‎ ‎【解析】(1)化简，从而可得的通项公式；（2）结合（1）可得 ,利用裂项相消法可得结果；（3）利用“累乘法”化简左边式子为,从而可得对任意恒成立,构造函数 ,利用单调性求得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ,‎ 所以是以为首项，2为公差的等差数列,‎ ‎ .‎ ‎（2） ,‎ ‎, ‎ ‎ .‎ ‎ (3) 左边 ‎ ,‎ 由题意可知,对任意恒成立,‎ 令 ,则由对钩函数的性质可知 在上单调递增，故，‎ 综上可以，即正实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求和、不等式恒成立问题，属于难题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ 四、填空题 ‎17．在等差数列中，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而根据等差数列的通项公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ ‎18．已知的内角所对的边分别为，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,,‎ 是锐角，由正弦定理可得，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理解三角形以及特殊角的三角函数，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎19．在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由三角形面积公式求得，由等腰三角形的性质可得的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径的值.‎ ‎【详解】‎ 中，，‎ 三角形的面积，‎ ‎，‎ 故，‎ 再由正弦定理可得，‎ 三角形外接圆的半径，故答案为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理以及三角形面积公式的的应用，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，如果已知三角形一条边与其对角，可求三角形外接圆半径.‎ ‎20．等比数列中，是关于的方程两个实根，则________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由,根据是关于的方程 的两个实根，利用韦达定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为等比数列中， ,‎ 是关于的方程的两个实根，‎ 则，，‎ 则,则有,‎ 因为，所以，‎ ‎，故答案为8.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质，涉及一元二次方程中根与系数的关系，属于基础题. 等比数列最主要的性质是下标性质：解答等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若则.‎ ‎21．已知等比数列的前项和为满足，则数列的通项公式________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，是以2为公差，以2为首项的等差数列，求得，利用可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故，，‎ 故是以2为公差，以2为首项的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 综上所述可得，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.‎ ‎22．锐角的三边和面积满足条件，且角既不是的最大角也不是的最小角，则实数的取值范围是________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据余弦定理和面积公式可得 ，得，结合的范围确定结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 锐角三角形不是最大角、也不是最小角，‎ 则，，‎ ‎，故荅案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎