新课标高二数学同步测试(7) 6页

新课标高二数学同步测试（7）—（2－2 第一章 1.5—1.7） 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的 括号内（每小题 5 分，共 50 分）． 1．将和式的极限 )0(.......321lim 1   pn n P pppp n 表示成定积分 （ ） A． dxx1 0 1 B． dxx p1 0 C． dxx p1 0 )1( D． dxn x p1 0 )( 2．下列等于 1 的积分是 （ ） A． dxx1 0 B． dxx 1 0 )1( C． dx1 0 1 D． dx1 0 2 1 3． dxx |4|1 0 2  = （ ） A． 3 21 B． 3 22 C． 3 23 D． 3 25 4．已知自由落体运动的速率 gtv  ，则落体运动从 0t 到 0tt  所走的路程为 （ ） A． 3 2 0gt B． 2 0gt C． 2 2 0gt D． 6 2 0gt 5．曲线 ]2 3,0[,cos  xxy 与坐标周围成的面积 （ ） A．4 B．2 C． 2 5 D．3 6． dxee xx 1 0 )( = （ ） A． ee 1 B．2e C． e 2 D． ee 1 7．求由 1,2,  yxey x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A．［ 0， 2e ］ B．［ 0，2］ C．［ 1，2］ D．［ 0，1］ 8．由直线 1,  xyxy ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A．   dyyy 1 0 1 B．   dxxx 2 1 0 1 C．   dyyy 2 1 0 1 D．   dxxx 1 0 1 9．如果 1N 力能拉长弹簧 1cm，为将弹簧拉长 6cm，所耗费的功是 （ ） A．0.18 B．0.26 C．0.12 D．0.28 10．将边长为 1 米的正方形薄片垂直放于比彼一时为  的液体中，使其上距液面距离为 2 米，则该正方形 薄片所受液压力为 （ ） A． 3 2 dxx B．    2 1 2 dxx  C． 1 0 dxx D．    3 2 1 dxx  二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）． 11．将和式 )2 1.........2 1 1 1(lim nnnn  表示为定积分 ． 12．曲线 1,0,2  yxxy ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 13．由 xy cos 及 x 轴围成的介于 0 与 2π 之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力 2 21 r mmkF  ，ｋ为常数， 21,mm 为两质点的质量，ｒ为两点间距 离，若两质点起始距离为ａ，质点 1m 沿直线移动至离 2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞ a） ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)． 15．（12 分）计算下列定积分的值 （1）  3 1 2 )4( dxxx ；（2）  2 1 5)1( dxx ； （3） dxxx 2 0 )sin(  ；（4） dxx 2 2 2cos   ； 16．（ 12 分）求曲线 xxxy 223  与 x 轴所围成的图形的面积． 17．（ 12 分）求由抛物线 axy 42  与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值. 18．（ 12 分）一物体按规律 x＝bt3 作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速度 的平方．试求物体由 x＝0 运动到 x＝a 时，阻力所作的功． 19．（ 14 分）设 y=f（x）是二次函数,方程 f（x）=0 有两个相等的实根，且 f′（x）=2x+2. （1）求 y=f（x）的表达式； （2）求 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积. （2）若直线 x=－t（0＜t＜1＝把 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求 t 的值. 20．（ 14 分）抛物线 y=ax2＋bx 在第一象限内与直线 x＋y=4 相切．此抛物线与 x 轴所围成的图形的面 积记为 S．求使 S 达到最大值的 a、b 值，并求 Smax． 参考答案 一、 1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．D；7．B；8．C；9．A；10．A； 二、11． dxx  1 0 1 1 ；12． dxx 1 0 2 )1( ；13． dxx 2 0 |cos| ；14． )11(21 bamkm  ； 三、 15．（1） （2） （3） （4） O x y F A B C D E G 图 16．解：首先求出函数 xxxy 223  的零点： 11 x ， 02 x ， 23 x .又易判断出在 )0 , 1( 内，图形 在 x 轴下方，在 )2 , 0( 内，图形在 轴上方， 所以所求面积为 dxxxxA   0 1 23 )2( dxxxx  2 0 23 )2( 12 37 17．解：焦点坐标为 )0,(aF ，设弦 AB、CD 过焦点 F，且 OFAB ． 由图得知： FBDFBEAGFACF SSSS  ，故 AFBDOAACFDOA SS  ． 所求面积为： 22 0 2 3 8 42 adya yaA a         ． 18 ． 解 ： 物 体 的 速 度 23 3)( btbtdt dxV  ． 媒 质 阻 力 42222 9)3( tkbbtkkvFzu  ，其中 k 为比例常数，k>0． 当 x=0 时，t=0；当 x=a 时， 3 1 1 )(b att  ，又 ds=vdt，故阻力所作的功为 3 277 1 3 0 32 0 3 0 2 7 27 7 27)3(111 baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFW ttt zuzu   19．解：（1）设 f（x）=ax2+bx+c，则 f′（x）=2ax+b， 又已知 f′（x）=2x+2 ∴a=1，b=2. ∴f（x）=x2+2x+c 又方程 f（x）=0 有两个相等实根， ∴判别式Δ =4－4c=0，即 c=1. 故 f（x）=x2+2x+1. （2）依题意，有所求面积= 3 1|)3 1()12( 0 1 2320 1   xxxdxxx . （3）依题意，有 xxxxxx t t d)12(d)12( 202 1      ， ∴ 023 1 23 |)3 1(|)3 1( t t xxxxxx     ，－ 3 1 t3+t2－t+ = t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0， ∴2（t－1）3=－1，于是 t=1－ 3 2 1 . 评述：本题考查导数和积分的基本概念. 20．解 依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1=0，x2=－b/a，所以 3 20 2 6 1)( badxbxaxS a b   (1) 又直线 x＋y=4 与抛物线 y=ax2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组      bxaxy yx 2 4 得 ax2＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为 0，即(b＋1)2＋16a=0． 于是 ,)1(16 1 2 ba 代入（1）式得： )0(, )1(6 128)( 4 3    b b bbS ， 5 2 )1(3 )3(128)(   b bbbS ； 令 S'(b)=0；在 b＞0 时得唯一驻点 b=3，且当 0＜b＜3 时，S'(b)＞0；当 b＞3 时，S'(b)＜0．故在 b=3 时， S(b)取得极大值，也是最大值，即 a=－1，b=3 时，S 取得最大值，且 2 9 max S ．