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  • 2021-06-16 发布

江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题(新疆班)

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www.ks5u.com 江苏省邗江中学2019-2020学年度第一学期 新疆部高一数学期中考试试卷 一、选择题:(共60分,每小题5分,每题有且仅有一个正确答案)‎ ‎1.直线的倾斜角为( )度 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的斜率,即可得出该直线的倾斜角.‎ ‎【详解】将直线的方程变形为,该直线的斜率为,‎ 因此,该直线的倾斜角为度.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角,解题的关键就是求出直线的斜率,利用斜率与倾斜角的关系来求解,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎2.已知正四棱锥的底面边长是,高为,则该正四棱锥的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出正四棱锥的底面积,然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积.‎ ‎【详解】正四棱锥的底面积为,因此,该正四棱锥的体积为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查正四棱锥体积的计算,考查锥体体积公式的应用,属于基础题.‎ ‎3.已知点、,且直线的斜率为,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率公式建立关于的方程,解出该方程可得出实数的值.‎ ‎【详解】由斜率公式可得,整理得,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用斜率公式求参数的值,解题的关键就是要建立方程求解,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎4.圆的圆心到直线的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的方程表示为标准方程,求出圆的圆心坐标,然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.‎ ‎【详解】圆的标准方程为,圆心坐标为,‎ 因此,该圆的圆心到直线的距离为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,解题的关键就是利用点到直线的距离公式进行计算,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎5.棱长都是1的三棱锥的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和,‎ 故,故选A.‎ ‎6.直线与直线平行,则它们之间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解:因为直线与直线平行,则,则m=2,它们之间的距离为,选D ‎7.当时,两条直线、的交点在( )象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立两直线的方程,得出两直线的交点坐标,然后由得出交点横坐标和纵坐标的符号,即可判断出两直线交点所在的象限.‎ ‎【详解】联立,解得,当时,,,‎ 因此,两条直线、的交点在第三象限.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查两直线交点所在象限的判断,解题的关键就是联立两直线的方程,求出交点坐标,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎8.两圆和的位置关系是( )‎ A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出两圆圆心距,再将圆心距与两圆半径差的绝对值和两圆半径和进行大小比较,可得出两圆的位置关系.‎ ‎【详解】圆的标准方程为,圆心坐标为 ‎,半径为,两圆圆心距为,,‎ 因此,两圆和相交.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查两圆位置关系的判断,一般利用圆心距与两圆半径差与和的绝对值进行大小比较,利用几何法来进行判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.‎ ‎9.点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为( )‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,‎ 所以(或其补角)就是PA与BD所成的角;‎ 因PD⊥平面ABCD,所以PD⊥DC,PD⊥AD.‎ 设正方形ABCD边长为2,则PA=PC=BD=‎ 所以OD=OE=DE=,是正三角形,‎ ‎,‎ 故选C ‎10.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为、、,则此球的表面积为( )‎ A. B. C. D. 都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出长方体的体对角线长,作为长方体外接球的直径,然后利用球体的表面积公式可计算出长方体外接球的表面积.‎ ‎【详解】设长方体外接球的半径为,则,.‎ 因此,长方体外接球的表面积为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算,解题的关键就是要知道长方体体对角线长即为外接球的直径,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎11.,,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A. , B. ,‎ C. ,,共面 D. ,,共点,,共面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解:因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条,必定垂直于另一条。‎ 选项A,可能相交。选项C中,可能不共面,比如三棱柱的三条侧棱,选项D,三线共点,可能是棱锥的三条棱,因此错误。选B.‎ ‎12.若是互不相同的空间直线,是不重合的平面,则下列命题中真命题是( )‎ A. 若则 B. 若 则 C. 若,,则 D. 若,,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A,考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理;‎ 对于B,考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理;‎ 对于C,考虑面面垂直的判定定理;‎ 对于D,考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.‎ ‎【详解】选项A中,除平行外,还有异面的位置关系,则A不正确;‎ 选项B中,与的位置关系有相交、平行、在内三种,则B不正确;‎ 选项C中,由,设经过的平面与相交,交线为,则,又,故,又,所以,则C正确;‎ 选项D中,与位置关系还有相交和异面,则D不正确;‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何问题,涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系,面面平行的性质,线面垂直的判定,面面垂直的判定和性质,属于简单题目.‎ 二、填空题:(共20分,每题5分)‎ ‎13.过点,斜率为的直线方程为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点斜式可得出该直线方程.‎ ‎【详解】由题意可知,该直线的方程为,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求解,要结合直线已知元素的类型选择合适的方式写出直线的方程,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎14.过点、,且圆心在直线上的圆的标准方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出线段的垂直平分线方程,将该直线方程与直线的方程联立,得出圆心的坐标,然后利用两点间的距离公式可求出圆的半径长,由此可得出圆的标准方程.‎ ‎【详解】直线的斜率为,则线段垂直平分线的斜率为,‎ 线段的中点坐标为,则线段垂直平分线的方程为.‎ 联立,解得,则圆心坐标为.‎ 所以,圆的半径为.‎ 因此,所求圆的标准方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程的求解,解题时要求出圆心坐标以及半径长,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎15.直线与圆相切,则___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离等于半径,可得出关于的方程,解出即可.‎ ‎【详解】圆的圆心为原点,半径为,由于直线与圆相切,‎ 则,即,因此,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数,一般转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎16.若圆锥的侧面积为,底面积为,则该圆锥的体积为____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,圆锥的侧面积为,底面积为,‎ 所以,‎ 解得,,所以,该圆锥的体积为。‎ 考点:圆锥的几何特征 点评:简单题,圆锥之中,要弄清r,h,l之间的关系,熟练掌握面积、体积计算公式。‎ 三、解答题:(共计70分)‎ ‎17.三角形ABC的三个顶点A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:‎ ‎(1)BC边所在直线的方程;‎ ‎(2)BC边上高线AD所在直线的方程.‎ ‎【答案】(1)x+2y-4=0 (2)2x-y+6=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接根据两点式公式写出直线方程即可; ‎ ‎(2)先根据直线的垂直关系求出高线的斜率,代入点斜式方程即可.‎ ‎【详解】(1)BC边所在直线的方程为:‎ ‎=,‎ 即x+2y-4=0;‎ ‎(2)∵BC的斜率K1=-,‎ ‎∴BC边上的高AD的斜率K=2,‎ ‎∴BC边上的高线AD所在直线的方程为:y=2(x+3),‎ 即2x-y+6=0.‎ ‎【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法,属于基础题。‎ ‎18.已知圆的方程为:‎ ‎(1)过点作圆的切线,求切线方程 ‎(2)过点作直线与圆交于、,且,求直线方程.‎ ‎【答案】(1)或;(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论,在切线与轴垂直时,得出直线的方程,验证圆心到直线的距离是否等于半径,在切线斜率存在的情况下,设切线方程为,利用圆心到直线的距离等于半径,求出的值,从而可得出切线方程;‎ ‎(2)利用几何法计算出弦心距,分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论,在直线的斜率不存在时,得出直线的方程为,验证圆心到直线是否等于弦心距,在直线的斜率存在时,可设直线的方程为,利用圆心到直线的距离等于弦心距求出的值,由此可得出直线的方程.‎ ‎【详解】(1)若切线与轴垂直时,则切线的方程为,此时圆的圆心到直线的距离为,不合乎题意;‎ 若切线的斜率存在时,设切线的方程为,即.‎ 由题意可得,整理得,‎ 整理得,解得或.‎ 因此,所求切线方程为或,即或;‎ ‎(2)由题意可知,圆心到直线的距离为.‎ 若直线的斜率不存在,则直线的方程为,此时圆心到直线的距离为,合乎题意;‎ 若直线的斜率存在,设直线的方程为,即.‎ 由题意可得,整理得,解得.‎ 因此,直线的方程为或,即或.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线方程,解题关键就是利用题中条件求出圆心到直线的距离,并结合点到直线的距离公式求出直线方程中的参数,在解题时还应对直线的斜率是否存在进行分类讨论,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.‎ ‎19.直角三角形的顶点坐标,直角顶点,顶点在轴上.‎ ‎(1)求边所在直线的方程;‎ ‎(2)圆是三角形的外接圆,求圆的方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)计算出直线斜率,利用可得出直线的斜率,然后利用点斜式可得出边所在直线的方程;‎ ‎(2)求出点的坐标,计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标,计算出作为圆的半径,由此可得出圆的标准方程.‎ ‎【详解】(1)直线的斜率为,‎ 由题意可知,则直线的斜率为.‎ 因此,边所在直线的方程为,即;‎ ‎(2)直线的方程为,由于点在轴上,则点.‎ 由于是以为直角的直角三角形,则该三角形的外接圆圆心为线段的中点,‎ 则,所以,圆的半径为.‎ 因此,圆的标准方程为.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求解,同时也考查了三角形外接圆的方程,一般利用圆的一般方程求解,也可以确定圆心坐标,利用标准方程求解,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎20.如图,直三棱柱中,点是上一点.‎ ‎(1)点是的中点,求证:平面;‎ ‎(2)若,求证:平面平面.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接交于点,则点为的中点,由中位线的性质得出,然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面;‎ ‎(2)由直棱柱的性质得出平面,可得出,再由,利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面,然后利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面平面.‎ ‎【详解】(1)如下图所示:‎ 连接交于点,则点为的中点,‎ 为的中点,,‎ 平面,平面,平面;‎ ‎(2)在直三棱柱中,平面,平面,.‎ 又,,平面,‎ 平面,平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,以及平面与平面垂直的判定,在证明平面与平面垂直时,其主要问题还是要证明直线与平面垂直,找出线面垂直是证明的关键,考查推理能力,属于中等题.‎ ‎21.如图,平面PAC⊥平面ABC,点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点,点G是线段CO的中点,AB=BC=AC=4,PA=PC=2.求证:‎ ‎(1)PA⊥平面EBO;‎ ‎(2)FG∥平面EBO.‎ ‎【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(1)证明线面垂直条件,一般利用线面垂直判断定理给予证明,即从线线垂直证明,而条件面面垂直,可利用其性质定理 ,转化为线面垂直,即由平面PAC⊥平面ABC得 BO⊥面PAC.进而得到线线垂直;(2)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理给予证明,即从线线平行出发,本题中可利用三角形重心性质或三角形中位线性质,因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点,因此AF与 BE交点Q是△PAB的重心,得到对应线段成比例,,从而得到线线平行.‎ 试题解析:证明:由题意可知,△PAC为等腰直角三角形,‎ ‎△ABC为等边三角形.‎ ‎(1)因为O为边AC的中点,所以BO⊥AC.‎ 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,‎ BO⊂平面ABC,所以BO⊥面PAC.‎ 因为PA⊂平面PAC,所以BO⊥PA.‎ 在等腰三角形PAC内,O、E为所在边的中点,所以OE⊥PA.‎ 又BO∩OE=O,所以PA⊥平面EBO.‎ ‎(2)连AF交BE于Q,连QO.‎ 因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点,‎ 所以,且Q是△PAB的重心,‎ 于是,所以FG∥QO.‎ 因为FG⊄平面EBO,QO⊂平面EBO,所以FG∥平面EBO.‎ ‎【注】第(2)小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH∥平面EBO证得.‎ 考点:线面垂直判断定理, 线面平行判定定理 ‎22.如图,在长方体中,,,点在棱 上移动.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求直线与平面所成的角;‎ ‎(3)当为的中点时,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)证明平面,即可得出;‎ ‎(2)由平面,可知直线与平面所成的角为,分析的形状,即可得出的大小;‎ ‎(3)由平面可知三棱锥的高为,并计算出的面积,然后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】(1)在长方体中,,‎ 则四边形是正方形,.‎ 平面,平面,.‎ ‎,平面.‎ 平面,;‎ ‎(2)在长方体中,平面,‎ 直线与平面所成角为.‎ 平面,平面,,‎ 又,是等腰直角三角形,且,,‎ 因此,直线与平面所成角为;‎ ‎(3)在长方体中,,‎ 为的中点,且,,的面积为.‎ 平面,为三棱锥的高,‎ 因此,.‎ 因此,三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线垂直、直线与平面所成角的计算以及三棱锥体积的计算,在计算三棱锥的体积时,通常利用选择合适的顶点与底面,利用等体积法进行计算,考查推理论证能力与计算能力,属于中等题.‎ ‎ ‎

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