2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1) 17页

集合、简易逻辑与不等式 一、单选题 ‎1．命题：“∀x∈（-1，1），都有x2＜1”的否定是（（　　）‎ A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 命题是全称命题，则否定是特称命题即： ∃x∈（-1，1），使得x2≥1， ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有量词的命题的否定，利用全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎2．已知，且，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D．无最小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ （当且仅当时取等号）.选C.‎ ‎3．有下列命题是假命题的是： （ ）‎ A．双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ B．是“x2－2x－3＜0” 充分不必要条件；‎ C．“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；‎ D．”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ B．因为，所以是“x2－2x－3＜0” 充分不必要条件；‎ C．“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题为“若，则且”是真命题．；‎ D．因为，所以“” 为假命题；故选D．‎ 考点：命题的判定．‎ ‎4．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：①；②；③；④‎ ‎．则其中是“保等比数列函数”的的序号为 A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析： 由等比数列性质可得：，‎ ‎①，，所以正确；‎ ‎②，，所以错误；‎ ‎③，，所以正确；‎ ‎④．所以错误；故选择C 考点：等比数列性质 ‎5．已知集合，，则集合（ ）‎ A． B．2， C．1， D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合．‎ ‎【详解】‎ 集合，‎ 或，‎ ‎，‎ 集合．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．‎ ‎6．已知命题P:,,则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 的否定是，的否定是，所以，故选C ‎7．下列命题正确的是（）‎ A．复数不是纯虚数 B．若，则复数为纯虚数 C．若是纯虚数，则实数 D．若复数，则当且仅当时，为虚数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.‎ 所以选B项.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.‎ ‎8．设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A．‎−2‎ B．‎4‎ C．‎−6‎ D．‎‎−8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据约束条件画出可行域，可行域是一个直角三角形，再画出目标函数，通过平移可知该目标函数在‎(−2,2)‎处取得最大值，所以最大值为-8.‎ 考点：本小题主要考查线性规划.‎ 点评：解决线性规划问题，首先要正确画出可行域，然后通过平移目标函数找到取最优解的点，有时要转化成斜率或距离等求解.‎ ‎9．已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（ ）‎ A．原命题为假，逆命题为真 B．原命题为真，逆命题为假 C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．‎ 详解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b≤2是真命题 所以原命题是真命题 逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a+b＞2，例如，当a=2，b=﹣2时，满足条件，当a+b=2+（﹣2）=0，这与a+b＞2矛盾，故为假命题 故选：B．‎ 点睛：判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假.‎ ‎10．设集合＝｛｜｝，＝｛｜｝.则＝‎ A．｛｜－7＜＜－5 ｝ B．｛｜ 3＜＜5 ｝‎ C．｛｜ －5 ＜＜3｝ D．｛｜ －7＜＜5 ｝‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ C 试题分析：因为，＝｛｜｝={x|-50时,则x<0时 其中正确结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ 试题分析：①特称命题的否定是全称命题，因此结论成立；②命题的逆命题：若则，命题是假命题；③，函数是增函数，所以函数有一个零点；④由得函数是奇函数，在对称区间单调性相同，是偶函数，在对称区间单调性相反 考点：1．四种命题；2．函数零点；3．函数奇偶性与单调性 ‎14．若变量x、y满足x+y+2≤0‎x-y+4≥0‎y≥a，若‎2x-y的最大值为‎-1‎，则a=‎______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y可知z的几何意义为直线y=2x-z在y轴上的截距，结合图象判断出目标函数2x-y的最大值和最小值，可求a，解：作出满足条件的平面区域，‎ 作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（-2-a，a）时，直线的纵截距最小，此时z最大，最大值为-4-2a-a=-1,a=-1,故可知实数a的值为-1.‎ 考点：简单线性规划 点评：本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及z的几何意义的判断是解答线性规划类小题的关键．‎ ‎15．方程的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，则实数m的取值范围是___ __．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，由题意得，解不等式得实数m的取值范围是 考点：一元二次方程根的分布 ‎16．已知函数,,设为实数，若存在实数，使,则实数的取值范围为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的值域为，然后根据题意得到不等式，解不等式可得实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又函数在区间上单调递增，‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴函数的值域为．‎ 由题意得“存在实数，使”等价于“”，‎ 即，‎ 整理得，‎ 即，解得．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题以函数的值域和能成立问题为载体考查不等式的解法，解题的关键是将“存在实数，使”转化为求函数值域的问题，考查理解能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎17．已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.‎ 详解：设球的半径为R,所以 设AB=x,则，由余弦定理得 设底面△ABC的外接圆的半径为r,则 所以PA=.‎ 所以三棱锥的体积 ‎=.‎ 当且仅当x=时取等.‎ 故答案为：‎ 点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.‎ 三、解答题 ‎18．已知 ‎．‎ ‎（1）若 ，求实数m的值；‎ ‎（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1） ;（2） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据一元二次不等式的解法，对集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合，再根据，求出实数的值；(2 )由（1）解出的集合，因为是的充分条件,根据子集的定义和补集的定义，列出不等式进行求解.‎ 试题解析：（1）化简，‎ 由； ‎ ‎（2）若的充分条件,即易得： ．‎ 试题解析：‎ 由已知得：．‎ ‎（1） ‎ ‎∴ ∴， ； ‎ ‎ （2） 是 的充分条件， ，‎ 而 ‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎19．已知二次函数.‎ ‎（1）若，解不等式组：；‎ ‎（2）若，对任意的，证明：中至少有一个非负.‎ ‎【答案】（1）或 ‎（2）见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入解析式，解一元二次不等式组即可求解.‎ ‎（2）利用反证法，假设中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由，不恒成立，即可得证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若，由 则解不等式组，即解不等式组，即，‎ 故不等式的解集为或. ‎ ‎（2）若，对任意的，‎ 假设中一个都没有非负，即函数在 轴下方均有图像，‎ 所以恒成立，‎ 所以三式相加，‎ 即，又因为，显然上式不成立，‎ 即假设不成立，故中至少有一个非负.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知集合A={x|−2≤x≤5}‎，B={x|m+1≤x≤2m−1}‎.‎ ‎（1）当m=3‎时，求集合A∩B，A∪B；‎ ‎（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意求得集合B，然后进行集合集合运算可得：A∩B=x|4≤x≤5‎,A∪B=‎x|−2≤x≤5‎；‎ ‎(2)分类讨论集合B为空集和集合B不是空集两种情况，当B=∅‎时，m<2‎，当B≠∅‎时，‎2≤m≤3‎，则实数m的取值范围是m|m≤3‎.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，则 ‎,‎ ‎（2）当时，有，即 当时，有 综上，的取值范围：‎ ‎21．设．‎ ‎1若对任意恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎2讨论关于x的不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎1由题意可得对恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围；‎ ‎2讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集．‎ ‎【详解】‎ ‎1由题意，若对任意恒成立，‎ 即为对恒成立，‎ 即有的最小值，由，可得时，取得最小值2，‎ 可得；‎ ‎2当，即时，的解集为R；‎ 当，即或时，方程的两根为，，‎ 可得的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及一元二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎22．(本题满分14分)‎ 某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格(以班级为单位)：‎ 学段 ‎ 硬件建设(万元) ‎ 配备教师数 ‎ 教师年薪(万元) ‎ 初中 ‎ ‎26 / 班 ‎ ‎2 / 班 ‎ ‎2 / 人 ‎ 高中 ‎ ‎54 / 班 ‎ ‎3 / 班 ‎ ‎2 / 人 ‎ ‎ ‎ 因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班。‎ ‎（Ⅰ）请用数学关系式表示上述的限制条件；(设开设初中班x个，高中班y个)‎ ‎（Ⅱ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）70．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据题中条件即可得到线性约束条件；（Ⅱ）由题意得到目标函数z=2x+3y，根据（Ⅰ）作出可行域，得到可行域的顶点；利用平行移动目标函数的等值线l:2x+3y=0‎，得到目标函数的最优解，即当开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）设开设初中班x个，高中班y个，‎ 根据题意，线性约束条件为 即‎20≤x+y≤30‎x+2y≤40‎x≥0,x∈‎N‎∗‎y≥0,y∈‎N‎∗‎ ‎（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y 由（Ⅰ）作出可行域如图 由方程组x+y=30‎x+2y=40‎得交点M（20,10）‎ 作直线l:2x+3y=0‎，平移l，当l过点M（20,10），z取最大值70。‎ ‎∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元。‎ 考点：简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）.‎