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- 2021-06-16 发布
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西南名校联盟高考诊断性联考卷
秘密★启用前
2020 届“3+3+3” 高考备考诊断性联考卷(三)
理科数学
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写
清楚.
2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分,考试用时 120 分钟.
一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.若复数 z 满足 ,则在复平面上复数 z 所对应的点所在象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已 知 集 合 , 集 合 ( 其 中 z 表 示 整 数 集 ), 则
A. {1,2, 3} B. {-1, 1} C. {1, 2} D. {1}
3.已知数列 既是等差数列又是等比数列,首项 a1=1,则它的前 2020 项的和等于
A. B. C.2020 D.0
4.任取满足 的一对实数 x,y,下列选项中,事件“x2+y2≥1”发生的概率最接近的百
分数是
A.20% B.30% C.70% D.80%
5. (1+2x2)(1-x)5 的展开式中 x 的系数等于
( )(1 )z i i i− − =
{ }4log 1xA x= < { }2 3 0,B x x x z= − ≥ ∈
( )ZA C B =
{ }na
20201
1
q
q
−
− 12021 2021 1010a d+ ×
2x y+ ≤
A.3 B. 4 C. -5 D. -6
6.函数 的图象在点 T(0, f(0))处的切线 l 与坐标轴围成的三
角形面积等于
A. B. C. D.
7.方程 的图形大致形状为
8.已知 .其中 a,b 表示直线, 、β 表示平面,给出如下 5 个命题:①若 // ,则
// ②若 a⊥b,则 ⊥ :③ 与 不垂直,则 a⊥b 不可能成立:④若 .
则 ⊥β;⑤ ⊥β, ∩β=l, a⊥l,则 a⊥b.其中真命题的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.已知非负实数 x,y 满足: ,则 2x-3y 的取值范围是
A. [-2, B. C. [-3, 0] D. [-2, 0]
10.已知 O 是线段 KF 的中点,|KF|=4. 直线 l 经过点 K 且与 KF 垂直,PH⊥l(垂足是 H),
PO=PF=PH,则∆POF 的外接圆半径等于
A. B. C. D.
11.已知函数 ,则
A. B.
C. D.
12.已知函数 ,对 ∈[0, π],都有
,满足 f(x2)=0 的实数 x 有且只有 3 个,给出下述四个结论:
①满足题目条件的实数 x0 有且只有 1 个; ②满足题目条件的实数 x1 有且只有 1 个;
( ) 3sin 4cosf x x x= +
4
3
5
3
7
3
8
3
2x y+ =
,a bα β⊂ ⊂ α α β a
β α β α β = , ,l a l b lα β ⊥ ⊥
α α α
2 2 0,3 2 2 0x y x y− + ≥ − − ≤
4]3
4[ 3, ]3
−
9 3
8
9 2
8
8 3
9
8 2
9
( ) cos 2 2x xf x x −= − −
1
33
4(log ) ( 2) ( 3)f f f> − >
1
3 2
3( 3) (log ) ( 2)f f f− > >
1
3 5
6( 3) ( 2) (log )f f f> − >
1
3 4
5( 2) ( 3) (log )f f f> >
0 1 2( ) 2sin( )( 0), , , [0, ]6f x x x x x
πω ω π= − > ∈ x∀
0 1( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤
③f(x)在 上单调递增; ④ 的取值范围是
其中所有正确结论的编号是
A.①③ B.②④ C.①②④ D.①③④
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.如图 1,在∆MBC 中,D, E 是 BC 的两个三等分点,若
,则
14.已知等差数列| 满足: 表
示 的前 n 项之和,则
15.设 F1,F2 是双曲线 C: 的左、右焦点,M 是 C 上的第一象限的一点,若∆MF1F2
为直角三角形,则 M 的坐标为_____________.
16.如图 2 的几何体,是在用密度等于 8g/cm3 的钢材铸成的底面直径和高都等
于 cm 的圆维内部挖去一个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在
圆锥母线上,另四个顶点在圆锥底面上),这个几何体的质量等于_____g (对小数部分四舍五入
进行取整).
三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 12 分)
2020 年春节前后,一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来(已有证据
表明 2019 年 10 月、11 月国外已经存在新冠肺炎病毒),人传人,传播快,传播广,病亡率高,
对人类生命形成巨大危害。在中华人民共和国,在中共中央、国务院强有力的组织领导下,
全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎,疫情早在 3 月底已经得到了非常好的控制(累计病亡
人数 3869 人)。然而,国外因国家体制、思想观念与中国的不同,防控不力,新冠肺炎疫情越
来越严重。据美国约翰斯·霍普金斯大学每日下午 6 时公布的统计数据,选取 5 月 6 日至 5 月
(0, )9
π ω 13 19[ , )6 6
, ,BC mAD nAE m n R= + ∈ ___m n− =
{ }na 1 2019 20200,2020 2019 , na a a S≠ ⋅ = ⋅
{ }na 2019
2020
_____S
S
=
2
2 12
x y− =
2( 2 1)+
10 日的美国的新冠肺炎病亡人数如下表(其中 t 表示时间变量,日期“5 月 6 日”、“5 月 7 日”对
应于“t=6"、“t=7", 依次下去):
由上表求得累计病亡人数与时间的相关系数 r=0.98.
(1) 在 5 月 6 日~10 日,美国新冠肺炎病亡人数与时间(日期)是否呈现线性相关性?
(2)选择对累计病亡人数四舍五入后个位、十位均为 0 的近似数,求每日累计病亡人数 y 随时
间 t 变化的线性回归方程;
(3)请估计美国 5 月 11 日新冠肺炎病亡累计人数,请初步预测病亡人数达到 9 万的日期
附:回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为
18. (本小题满分 12 分)
已知∆ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别等于 a, b, c,列举如下五个条件:
① ② ;③cosA+cos2A=0; ④a=4;⑤∆ABC 的面积等
于 .
(1)请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角 A 大小的条件来求角 A;
(2)在(1)的结论的基础上,再在所给条件中选择一个(只需选择一个),求∆ABC 周长的取值范围
y a bt
∧ ∧ ∧
= +
1
2
1
( )( )
,
( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b a y bt
t t
∧ ∧ ∧
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
sin sin 2
B Ca B b
+= 3 cos sin 3A A+ =
4 3
19. (本小题满分 12 分)
如图 3 甲,E 是边长等于 2 的正方形的边 CD 的中点,以 AE、BE 为折痕将∆ADE 与△BCF 折起,
使 D,C 重合(仍记为 D),如图乙。
(1) 探索:折叠形成的几何体中直线 DE 的几何性质(写出一条即可,不含 DE⊥DA, DE⊥ DB,
说明理由);
(2)求二面角 D-BE-A 的余弦值
20. (本小题满分 12 分)
已知函数
(1) 若 f(x)在[0, 2]上是单调函数,求 a 的值;
(2) 已知对 ∈[1, 2], f(x)≤1 均成立,求 a 的取值范围
2 1( ) [ ( 2) 1] xf x x a x e −= − + +
x∀
21. ( 本小题满分 12 分)
已知椭圆 C 关于 x 轴、y 轴都对称,并且经过两点 4(0, ), B(1, )
(1)求椭圆 C 的离心率和焦点坐标;
(2) D 是椭圆 C 上到点 A 最远的点,椭圆 C 在点 B 处的切线 l 与 y 轴交于点 E,求△BDE 外接圆
的圆心坐标.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注
意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题,如果多做,
则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分 10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程]
在极坐标系中,方程 C: 表示的曲线被称作“四叶玫瑰线”( 如图 4). :
3 3
2
−
=sin 2 ( )Rρ θ ρ ∈
(1)求以极点为圆心的单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标和直角坐标; .
(2)直角坐标系的原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合.求直线 l:
上的点 M 与四叶攻瑰线上的点 N 的距离的最小值
23. (木小题满分 10 分) [选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 .
(1)若 ,解不等式 f(x)≤1;
(2)已知当 x>0 时, 的最小值等于 m,若 使不等式
成立,求实数 a 的取值范围.
2020 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(三)
理科数学参考答案
1
1
x t
y t
= −
= +
( ) 2f x x x a= + +
1a = −
2 3 1 2 3( )( )x x x x x x− − −+ + + + 0x R∃ ∈
0 0( ) ( )f x a f x m− > +
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C A C D A C B B A D
【解析】
1. ,故选 B.
2. , , ,则 ,故选 D.
3. 既是等差数列又是等比数列, ,则 (常数数列),前 2020 项的和等
于 2020,故选 C.
4.考虑用几何概型,如图 1, 表示边长等于 2 的正方
形区域, 表示半径等于 1 的单位圆的外部,两个区
域 的 中 心 重 合 , 事 件 “ ” 发 生 的 概 率
21.5%,对比四个选项,故选 A.
5 . 其 中 的 展 开 式 中 含 的 项 是
, 的展开式中没有含 的项,故选 C.
6 . 则 切 线 的 方 程 为
取 解得切线 在 轴上的截距 取 解得切线 在 轴上
的截距 则直线 与坐标轴围成的三角形面积 ,故选 D.
7.取 得 ,图形在 轴上的截距等于 ;取 得 ,图形在 轴上的
截距等于 ;取 得 ,则点 在图形上,排除 B,C,D,故选 A.
另解:当 时, ,将抛
物线弧(凹的) 上移 2 个单位得到
的图象,再因 的图形关于两条坐标轴对称,选 A,或者排除 B,C,D,故选
A.
i i (1 i) 1 1i i1 i 2 2 2z
+− = = = − +−
, 1 3 i2 2z = − +
(0 4)A = , { || | 3 }B x x x= ∈Z≥ , ( ) { 1 0 1}BZ
= − , , ( ) {1}A BZ
=
{ }na 1 1a = *1( )na n= ∈N
| | | | 2x y+ ≤
2 2 1x y+ ≥
2 2 1x y+ ≥ P =
4 π π14 4
− = − ≈
2 5(1 2 )(1 )x x+ − 5 2 51 (1 ) 2 (1 )x x x= − + − , 51 (1 )x− x
1 1
5C ( ) 5x x− = − 2 52 (1 )x x− x
( ) 3sin 4cosf x x x= + , ( ) 3cos 4sinf x x x′ = − , (0) 4f = , (0) 3f ′ = , l
4 3( 0)y x− = − , 0x = , l y 4b = , 0y = , l x
4
3a = − , l 1 8| || |2 3S a b= =△
0x = , 2y = ± y 2± 0y = , 4x = ± x
4± 1x = , 1y = ± (1 1)±,
0 0x y≥ , ≥ 2| | | | 2 2 ( 2) ( 0 0 2)x y x y y x x y+ = ⇔ = − ⇔ − = ≥ , ≤ ≤
2 ( 0 2 0)y x x y= −≥ , ≤ ≤ 2( 2) ( 0 0 2)y x x y− = ≥ , ≤ ≤
| | | | 2x y+ =
图 1
8.命题①⑤是真命题,其它是假命题,故选 C.
9.设 作出四个不等式 , , , 组合后表
示的可行域(四边形),解得可行域的四个顶点: , , , ,
一一代入计算,比较得 , ,所以 的取值范围是 ,故选 B.
10.已知 则点 位于以 为焦点、直线 为准线的抛物线上,以 的中点 为原
点、直线 为 轴建立直角坐标系( 在正半轴上),依据 ,求得抛物线方程为
,焦点 ,作 轴( 是垂足),由 知 平分 ,求得
, 由 对 称 性 , 只 需 取 , 设 外 接 圆 的 方 程 为
,将点 , , 的坐标代入求得 ,
, ,所以 外接圆的半径 ,故选 B.
11.设 ,求得 ,当 时, ,则 在 上
递 增 , 易 知 是 上 的 偶 函 数 , 且 在 上 递 减 ,
, ,故选 A.
12. , ,设 进
行 替 换 , 作 的 图 象 如 图 2 , 在 上 满 足
的 实 数 有 且 只 有 3 个 , 即 函 数 在
上 有 且 只 有 3 个 零 点 , 由 图 象 可 知
, ,结论④正确;由图象知, 在 上
只有一个极小值点,有一个或两个极大值点,结论① 正确,结论② 错误;当
时 , , 由 知 , 所 以
在 上递增,则 在 上单调递增,结论③正确,故选 D.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
2 3x y z− = , 0x≥ 0y≥ 2 2 0x y− + ≥ 3 2 2 0x y− − ≤
(0 0)O , 2 03A
, (2 2)B , (0 1)C ,
min 3z = − max
4
3z = z 43 3
− ,
PF PH= , P F l KF O
KF x F | | 4KF =
2 8y x= (2 0)F , PM x⊥ M PO PF= , M OF
(1 2 2)P ±, (1 2 2)P , POF△
2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = (0 0)O , (2 0)F , (1 2 2)P , 0F =
2D = − 7 2
4E = − POF△ 2 21 9 2
2 8r D E= + =
( ) 2 2x xg x −= + ( ) (2 2 )ln 2x xg x −′ = − 0x > ( )>0g x′ ( )g x [0 )+ ∞,
( ) cos 2 2x xf x x −= − − R π0 2
,
3
3 4 5 6
π2 3 log 2 log 3 log 4 log 5 0 2
∈ , , , , , , 3
4log 3 2 3< <
0ω > [0 π]x∈ ⇒, π π ππ6 6 6xω ω − ∈ − − , π
6x tω − =
siny x= [0 π],
2( ) 0f x = 2x siny x=
π ππ6 6
ω − − ,
π2π π 3π6
ω − <≤ 13 19
6 6
ω <≤ siny x= π ππ6 6
ω − − ,
π0 9x ∈ ,
π π π π
6 6 9 6x
ωω − ∈ − − , 13 19
6 6
ω <≤ 2π π π 5π π0 27 9 6 27 2t
ω< = − < <≤
siny x= π π π
6 9 6
ω − − , ( )f x π0 9
,
图 2
题号 13 14 15 16
答案 或
【解析】
13.已知 是 的两个三等分点,则 ,已知
,则 , .
1 4 . 已 知 是 等 差 数 列 , 设 其 公 差 为
则 的 前 项 和
.
15 . 设 当 是 的 直 角 顶 点 时 , 联 立 与
解 得 ; 当 是 的 直 角 顶 点 时 , 轴 ,
代 入 解 得 , 所 以 的 坐 标 是 或
.
16.如图 3,设被挖去的正方体的棱长为 ,由(半)轴截面中的
直角三角形相似,得 该模型的
体积 ,所以制作该模
型所需材料质量约为 .(因四舍五入误差,考生答 171,172,173
时都给满分)
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 12 分)
6− 2019
2021
2 6 3
3 3
, 23 2
, 172(171 172 173 ), , 均给满分
D E, BC 3 3( )BC DE AE AD= = − = 3 3AD AE− +
BC mAD nAE= + 3 3m n= − =, 6m n− = −
{ }na d, 2019 20202020 2019a a= ⇒ 12020( 2018 )a d+ =
12019( 2019 )a d+ 1 0a d⇒ = ≠ , { }na n 1
1 ( 1)2nS na n n d= + − =
1 ( 1) 02 n n d+ ≠ , 2019
2020
1 2019 2020 20192
1 20212020 20212
S
S
= =
0 0 0 0( )( 0 0)M x y x y> >, , , M 1 2MF F△ 2 2
0 0 3x y+ =
2
20
0 12
x y− = , 0 0
2 6 3
3 3x y= =, 2F 1 2MF F△ 2MF x⊥
0 3x c= =
2
20
0 12
x y− = , 0
2
2y = M 2 6 3
3 3
,
23 2
,
cmx
2
22 2( 2 1) 22
x r x x rr r
−= ⇒ = − = ,
2 31 3.14 ( 2 1) 2( 2 1) 2 21.453V ≈ × × + × + − ≈
21.45 8 172m V ρ= ≈ × ≈
图 3
解 : ( 1 ) 每 日 累 计 病 亡 人 数 与 时 间 的 相 关 系 数
,…………………………………(1 分)
(建议 ,或者比 0.75 大的也可给分,没有说明的但是答案正确扣一分)
所 以 每 日 病 亡 累 计 人 数 与 时 间 呈 现 强 线 性 相 关
性,…………………………………………(2 分)
(可以建立线性回归方程 来进行估计)可以删掉.
(2)5 天 5 个时间的均值 . ………………………………(3 分)
5 天 5 个病亡累计人数的均值 .
……………………(4 分)
计算 5 个时间与其均值的差 ,计算 5 个累计病亡人数与其均值的差 ,制作下表:
日 期 5 月 6 日 5 月 7 日 5 月 8 日 5 月 9 日 5 月 10
日 均值
时间 6 7 8 9 10
新冠肺炎
累计病亡人数 72300 75500 76900 78500 80000
−2 −1 0 1 2
−4340 −1140 260 1860 3360
用公式 进行计算:
(可以不用列表,照样给分)
,…………………(6 分)
.…………………(7 分)
所以每日累计病亡人数 随时间 变化的线性回归方程是 .
………………………………………………………………………………………(8 分)
(3)日期 5 月 11 日对应时间 , ,
0.98 0.7r ≈ >
0.98 0.75r ≈ >
y t
ˆˆ ˆy b t a= +
6 7 8 9 10 85t
+ + + += =
23 55 69 85 10070000 100 766405y
+ + + += + × =
t t− y y−
t 8t =
76640y =
t t−
y y−
1
2
1
( )( )
ˆ ˆ
( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b a y bt
t t
- -
-
-
å
å
,=
=
= =
2 2 2 2 2
( 2)( 4340) ( 1)( 1140) 0 260 1 1860 2 3360ˆ 1840( 2) ( 1) 0 1 2b
− − + − − + × + × + ×= =− + − + + +
ˆˆ 76640 1840 8 61920a y b t= − = − × =
y t ˆ 1840 61920y t= +
11t = ˆ 1840 11 61920 82160y = × + =
所以,估计 5 月 11 日累计病亡人数是 82160.
………………………………………………………………………………………(10 分)
令 ,解得 ,…………………………(11 分)
病亡人数要达到或超过 9 万,必须且只需 , 对应于 5 月 16 日,
因此预测 5 月 16 日美国新冠肺炎病亡人数超过 9 万人.
………………………………………………………………………………………(12 分)
18.(本小题满分 12 分)
解:(1)选择① 作为依据,
由正弦定理得 ,……………………………(2 分)
由 得 ,……………………………(3 分)
……………………………(4 分)
,……………………………(5 分)
, .………………………………………………(6 分)
(2)选择添加条件⑤ 的面积等于 ,
则 , .……………………………(8 分)
由余弦定理和基本不等式: 周长
,……………………………(9 分)
当且仅当 时取等号,……………………………(10 分)
所以 的周长 的最小值等于 12.……………………………(11 分)
, ,可以让 ,此时周长 .
的周长 的取值范围是 .……………………………………………(12 分)
若选择添加“④ ”作为条件,用余弦定理和基本不等式,
ˆ 1840 61920 90000y t= + ≥ 15.26t ≥
16t ≥ 16t =
sin sin 2
B Ca B b
+=
πsin sin sin sin 2 2
AA B B = −
sin 0B ≠ , sin cos 2
AA =
π2sin cos cos 02 2 2 2 2
A A A A = < < ,
1 πsin 02 2 2 2
A A = < <
π
2 6
A = π
3A =
π
3A Aæ ö÷ç = ÷ç ÷çè ø
选择② ③ 难 ④ ⑤ 边长或 均可确定 ,并且 度更低; 与 都涉及 ,不能唯一确定角 .
ABC△ 4 3
1 3sin 4 32 4ABCS bc A bc= = =△ 16bc =
ABC△ 2 2 2 cos ( )L a b c b c bc A b c= + + = + − + +
π2 2 cos 2 3 123bc bc bc bc− + = =≥
4b c= =
ABC△ L
π
3A = 16bc = 16+ 0b c b
→ ∞ = →, +L → ∞
ABC△ L [12 + )∞,
4a =
,
……………………………(9 分)
则 , 时取等号.……………………………(10 分)
又 ,则 .……………………………(11 分)
所以 的周长 的取值范围是 .(与选择⑤结果不同)
………………………………………………………………………………………(12 分)
19.(本小题满分 12 分)
解:(1)性质 1: 平面 .………………………………………(2 分)
证明如下:翻折前, ,
翻折后仍然 ,………………………………………(3 分)
且 ,………………………………………(4 分)
则 平面 .………………………………………(5 分)
性质 2: .………………………………………(2 分)
证明如下:
与性质 1 证明方法相同,得到 平面 .………………………………………(4 分)
又因 平面 ,则 .………………………………………(5 分)
性质 3: 与平面 内任一直线都垂直.…………………………(2 分)
证明如下:
与性质 1 证明方法相同,得到 平面 ,………………………(4 分)
从而 与平面 内任一直线都垂直.………………………………………(5 分)
性质 4:直线 与平面 所成角等于 .………………………(2 分)
证明如下:
2
2 2 2 2 2 2116 2 cos ( ) 3 ( ) 3 = ( )2 4
b ca b c bc A b c bc b c b c
+ = = + − = + − + − + ≥
8b c+ ≤ 4b c= =
4b c a+ > = 8 12a b c< + + ≤
ABC△ L (8 12],
DE ⊥ ABD
DE DA DE BC⊥ ⊥,
DE DA DE DB⊥ ⊥,
DA DB D=
DE ⊥ ABD
DE AB⊥
DE ⊥ ABD
AB ⊂ ABD DE AB⊥
DE ABD
DE ⊥ ABD
DE ABD
DE ABE π
3
如图 4,取 的中点 ,连接 , ,
由 得 ,
与性质 2 证明相同,得 , …………(3 分)
再因 ,则 平面 ,进而平面 平面 .
作 于 ,则 平面 ,
即 就是直线 与平面 所成的角.……………………………(4 分)
, , , .
………………………………………………………………………………………(5 分)
说明:写出一条并且只需写出一条正确的性质(允许在以上 4 条之外),给 3 分,完成正确的
证明后合计给 5 分.
(2)与(1)之性质 4 证明相同,得到 , 平
面 , , 平面 内,则平面
平
面 .以 为坐标原点、 为 轴建立如图 5 所示的空
间直角坐标系.………………………………………(6 分)
, ,则平面 的一个法向量 ,
, , ,………………………………………(7
分)
, .设 是平面 的法向量,
则 ………………………………………(8 分)
AB F DF EF
DA DB= , DF AB⊥
DE AB⊥ DE DF⊥ ,
DE DF D= AB ⊥ DEF DEF ⊥ ABE
DH EF⊥ H DH ⊥ ABE
DEF∠ DE ABE
1DE = 2EF = 1cos 2
DEDEF EF
∠ = = π
3DEF∠ =
DE DF⊥ AB ⊥
DEF AB EF⊥ AB ⊂ ABE DEF ⊥
ABE E EF x
3
2
DE DFDH EF
×= = 1
2EH = ABE 30 0 2HD
=
, ,
(0 0 0)E , , (2 1 0)B ,, 1 302 2D
, ,
1 302 2ED
=
, , ( )n x y z= , , BDE
2 0
1 3 02 2
n EB x y
n ED x z
= + =
= + =
,
,
图 4
图 5
取 ,求得一个法向量 ……………………………(9 分)
记二面角 的大小为 ,则 与 相等或互补,
,…………………(11 分)
因 是锐角,则 .…………………………………………………………(12 分)
20.(本小题满分 12 分)
解:(1) ,
………………………………………(1 分)
令 解得 , .………………………………………(2 分)
若 即 ,
则 对 成立,函数 在 上单调,符合题目要
求;………………………………………(3 分)
若 即 ,
当 时, ,当 时, ,
函数 在 上不单调,不符合题目要求;……………………………(4 分)
若 即 ,
当 时, ,当 时, ,
函数 在 上不单调,不符合题目要求.……………………………(5 分)
综上,若 在 上是单调函数,则 取唯一值: .
…………………………………………………………………………………(6 分)
(2)解法一:已知“对 , 均成立”,
取 得 ,………………………………………(7 分)
1z = ( 3 2 3 1)n = − , , ,
D BE A− − θ θ n HD〈 〉 ,
33 0 2 3 0 1 2| | 1| cos | | cos | 4| | | | 34 2
n HDn HD
n HD
θ
− × + × + ×
= 〈 〉 = = =
×
,
θ 1cos 4
θ =
2 1( ) [ ( 2) 1]e xf x x a x −= − + + , 1( ) ( 1)[ ( 3)]e ( )xf x x x a x−′ = − − − + ∈R
( ) 0f x′ = , 1 1x = 2 3x a= +
3 1a + = , 2a = −
( ) 0f x′ ≤ x∀ ∈R ( )f x [0 2],
3 1a + < , 2a < −
( 3 1)x a∈ + , ( ) 0f x′ > (1 + )x∈ ∞, ( ) 0f x′ <
( )f x [0 2],
3 1a + > , 2a > −
( 1)x∈ −∞, ( ) 0f x′ < (1 3)x a∈ +, ( ) 0f x′ >
( )f x [0 2],
( )f x [0 2], a 2a = −
[1 2]x∀ ∈ , ( ) 1f x ≤
1x = , (1) 1f a= − ≤
则 , ,则 时, , 在 上增,……………(8 分)
“对 , 均成立”等价于
,………………………………………(9 分)
,………………………………………(10 分)
与 取交集,仍然得 ,所求 的取值范围是 ………(12 分)
解法二:根据(1),
若 ,则 在 上单减,
“在区间 上, 恒成立”等价于 ,不成立;
………………………………………(7 分)
若 即 ,则 时, ,函数 在 上单减,
在区间 上, ,“在区间 上, 恒成立”不成立;
………………………………………(8 分)
若 即 ,则 时, ,函数 在 上单增,
在区间 上, ,………………………………………(9 分)
“在区间 上, 恒成立” ,
解得 ,与 相交取交集,得 ;…………………………(10 分)
若 即 ,则 时, , 时,
,函数 在 上递增,在 上递减,
在区间 上, ,
“在区间 上, 恒成立” .
………………………………………(11 分)
构造辅助函数处理,设 ,
则 , 在 上递增, ,
1a −≥ 3 2a + ≥ (1 2)x∈ , ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2],
[1 2]x∀ ∈ , ( ) 1f x ≤
max
1 2( ) (2) 1e
af x f
−= = ≤
1 e
2a
−≥
1a −≥ 1 e
2a
−≥ a 1 e
2
− + ∞ , .
2a = − ( )f x R
[1 2], ( ) 1f x ≤ max( ) (1)f x f= 2 1= ≤
3 1a + < , 2a < − (1 )x∈ + ∞, ( ) 0f x′ < ( )f x [1 2],
[1 2], max( ) (1) 2f x f a= = − > [1 2], ( ) 1f x ≤
3 2a + ≥ , 1a −≥ [1 2]x∈ , ( ) 0f x′ > ( )f x [1 2],
[1 2], max
1 2( ) (2) e
af x f
−= =
[1 2], ( ) 1f x ≤ max( ) 1f x⇔ ≤ 1 2(2) 1e
af
−⇔ = ≤
1 e
2a
−≥ 1a −≥ 1 e
2a
−≥
1 3 2a< + < , 2 1a− < < − (1 3)x a∈ +, ( ) 0f x′ > ( 3 2)x a∈ + ,
( ) 0f x′ < ( )f x (1 3)a +, ( 3 2)a + ,
[1 2], max 2
4( ) ( 3) ea
af x f a +
+= + =
[1 2], ( ) 1f x ≤ 2
4 1ea
a
+
+⇔ ≤ 2e 4 0a a+⇔ − − ≥
2( ) e 4( 2 1)xg x x x+= − − − < < −
2( ) e 1xg x +′ = − ( )g x′ ( 2 1)− −, ( ) ( 2) 0g x g′ > − =
则函数 在 上递增, ,
因此 时, 均不成立.
综上,所求 的取值范围是
……………………………………………………………………………(12 分)
21.(本小题满分 12 分)
解:(1)已知椭圆 C 关于 轴、 轴都对称,设其方程为 (这样设可回避
焦点在哪条轴上的分类讨论).…………………………………………(1 分)
由 在椭圆上,得 ,联立解得 ,
,…………………………………………(3 分)
得椭圆 C 的方程是 .…………………………………………………………(4
分)
用 依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距,
则 , ,则 , , .…………………(5 分)
所以,椭圆 C 的离心率 ,焦点坐标为
…………………………………………………………………………………(6 分)
(2)设 ,则 ,即 ,
.…………………………………………(7 分)
函数 在区间 上递减,
则 取最大时, ,此时 ,
所以,椭圆 C 上到点 最远的点是 ……………………………(8 分)
设椭圆 C 在点 处的切线 的方程为 ,即 ,
与 联立消去 后整理得 ,
( )g x ( 2 1)− −, ( ) ( 1) e 3 0g x g< − = − <
2 1a− < < − ( )g a = 2e 4 0a a+ − − ≥
a 1 e
2
− + ∞ , .
x y 2 2 1mx ny+ =
3(0 3) 1 2A B − , , , 93 1 14n m n= + =, 1
4m =
1
3n =
2 2
14 3
x y+ =
a b c, ,
2 24 3a b= =, 2 2 2 1c a b= − = 2a = 3b = 1c =
1
2
ce a
= = 1 2( 1 0) (1 0)F F− , , , .
( )D x y,
2 2
14 3
x y+ = 2 244 ( 3 3)3x y y= − − ≤ ≤
2 2 2| | ( 0) ( 3)DA x y= − + − 2 244 ( 2 3 3)3 y y y = − + − +
21 ( 3 3) 163 y= − + +
21| | ( ) ( 3 3) 163DA f y y= = − + + [ 3 3]− ,
| |DA 3y = − 0x =
A (0 3)D −, .
31 2B − , l 3 ( 1)2y k x+ = − 3
2y kx k = − +
2 2
14 3
x y+ = y 2 2 2(3 4 ) 4 (2 3) (2 3) 12 0k x k k x k+ − + + + − =
判别式 ,
由相切条件得 , ,……………………………………(9 分)
所以椭圆 C 在点 处的切线 的方程是 ,
令 得 ,得切线 与 轴的交点坐标 .……………………(10 分)
设 外接圆的方程为 ,
由三点 都在圆上,
得 解得 …………………………………(11 分)
, ,
所以 外接圆的圆心坐标是
………………………………………………………………………(12 分)
22.(本小题满分 10 分)【选修 4−4:坐标系与参数方程】
解:(1)
……………………………………(2 分)
所以 , ,…………………………………………(3 分)
取 ,得 ,…………………………………………(4 分)
从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为 ,
化成直角坐标就是
………………………………………………………………………………………(5 分)
(2)直观发现,四叶玫瑰线关于直线 对称.
2 2 2 2 216 (2 3) 4(4 3)[(2 3) 12] 36(2 1)k k k k k∆ = + − + + − = −
236(2 1) 0k∆ = − = 1
2k =
31 2B − , l 1 22y x= −
0x = , 2y = − l y (0 2)E −,
BDE△ 2 2 0x y mx ny p+ + + + =
31 (0 3)2B D − − , , , , (0 2)E −,
3 13 02 4
3 3 0
2 4 0
m n p
n p
n p
− + + =
− + + =
− + + =
,
,
,
1 2 3
4
2 3
2 3
m
n
p
+= −
= +
=
,
,
,
1 2 3
2 8
m +− = 312 2
n− = − −
BDE△ 1 2 3 318 2
+ − −
, .
sin 2 ( ) | sin 2 | ( 0)Rρ θ ρ ρ θ ρ= ∈ ⇔ = ≥ .
| sin 2 | | sin 2 | 1 sin 2 11
ρ θ θ θρ
= ⇒ = ⇒ = ± =
, ,
π2 π( )2 k kθ = + ∈Z π π
4 2
kθ = +
0 1 2 3k = ,, , π 3π 5π 7π
4 4 4 4
θ = , , ,
π 3π 5π 7π1 1 1 14 4 4 4A B C D
, , , , , , ,
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2A B C D
− − − −
, , , , , , , .
y x=
事实上,将极坐标方程 化作直角坐标方程得 ,
将 互换后方程不变,说明四叶玫瑰线关于直线 对称; ………(6 分)
将 换作 , 换作 后方程不变,说明四叶玫瑰线关
于直线 对称;………………………………………(7 分)
直线 的普通方程是 ,………………………………(8 分)
直线 与直线 垂直,且玫瑰线在直线 的同侧,
故 的最小值等于点 到直线 的距离:………………(9 分)
.……………………………………………………(10 分)
23.(本小题满分 10 分)【选修 4−5:不等式选讲】
解:(1)当 时, ………………………(1 分)
或 或 ………………(3 分)
或 ,……………………………(4 分)
所以,当 时,不等式 的解集是 .
………………………………………………………………………………………(5 分)
(2)当 时,利用柯西不等式,
,
………………………………………(6 分)
sin 2 ( )ρ θ ρ= ∈R 2 2 2 2( ) 2x y x y xy+ + =
x y, y x=
x y− y x−
y x= −
1
1
x tl y t
= −
= +
,: 2 0x y+ − =
l y x= l
| |MN 2 2
2 2A
, 2 0x y+ − =
min
2 2 22 2
| | 2 1
2
MN
+ −
= = −
1a = − ( ) 1f x ≤ 2 | 1| 1x x⇔ + − ≤
1
2 ( 1) 1
x
x x
⇔ + −
≥ ,
≤
1
2 (1 ) 1
x
x x
<
+ −
,
≤
1
2
3
x
x
⇔
≥ ,
≤
1
0
x
x
<
,
≤
x⇔ ∈∅ 0x ≤ 0x⇔ ≤
1a = − ( ) 1f x ≤ { | 0}x x ≤
0x >
2
2 3 1 2 3 3
3
1 1 1( )( ) 9x x x x x x x x xxx x
− − − + + + + + + =
≥
当且仅当 时取等号,所以 .………………………………………(7 分)
.
………………………………………(8 分)
, 时取等号,
则 .………………………………………(9 分)
所以,“ 使 成立”等价于 ,
解得 所以 的取值范围是 ………………………………(10 分)
1x = 9m =
( ) ( )f x a f x m− > + 2( ) | | 2 | | 9x a x x x a⇔ − + > + + + 2 9 | | | |a x x a⇔ + < − +
| | | | | ( ) | | |x x a x x a a− + − + =≤ ( 0) ( 0)2 2
a ax a x a< − > > − <或
max(| | | |) | |x x a a− + =
0x∃ ∈R, 0 0( ) ( )f x a f x m− > + max2 9 (| | | |) | |a x x a a+ < − + =
3a < − , a { | 3}a a < − .