2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章　9 第9讲　函数模型及其应用 15页

第9讲　函数模型及其应用 ‎1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)‎ 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)‎ 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，‎ a>0且a≠1，b≠0)‎ 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c ‎(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)‎ 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)‎ ‎2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1)‎ y＝logax(a>1)‎ y＝xn(n>0)‎ 在(0，＋∞)‎ 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与y轴接近平行 随x值增大，图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 ‎[疑误辨析]‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)幂函数增长比直线增长更快．(　　)‎ ‎(2)不存在x0，使ax01)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　　)‎ ‎(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎[教材衍化]‎ ‎1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：‎ x ‎0.50‎ ‎0.99‎ ‎2.01‎ ‎3.98‎ y ‎－0.99‎ ‎0.01‎ ‎0.98‎ ‎2.00‎ 则对x，y最适合的拟合函数是(　　)‎ A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝x2－1‎ C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．‎ ‎2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)‎ A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1‎ B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．‎ ‎3．(必修1P107A组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．‎ 解析：设隔墙的长度为x(0g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)‎ C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)‎ 解析：选B.由函数性质知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.‎ ‎2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．‎ 解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．‎ 答案：18‎ ‎3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________．‎ 解析：由题意可得 y＝ 答案：y＝ ‎　　　　　　应用所给函数模型解决实际问题 ‎ 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170 p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)‎ A．30元　　　　　　　　 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 ‎【解析】　设毛利润为L(p)元，则由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)‎ ‎＝(8 300－170p－p2)(p－20)‎ ‎＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，‎ 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.‎ 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．‎ 当p∈(0，30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.‎ ‎【答案】　D 应用所给函数模型解决实际问题的关键点 ‎(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．‎ ‎(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．‎ ‎(3)利用该模型求解实际问题．　 ‎ ‎1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)＝已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：‎ 月份 用气量 煤气费 一月份 ‎4 m3‎ ‎4元 二月份 ‎25 m3‎ ‎14元 三月份 ‎35 m3‎ ‎19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)‎ A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元 解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5.‎ ‎2．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．‎ 解析：当t＝0时，y＝a；‎ 当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝.‎ 当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．‎ 答案：16‎ ‎　　　　　　构建函数模型解决实际问题(高频考点)‎ 构建函数模型是每年高考的重点，难度中等．主要命题角度有：‎ ‎(1)构建二次函数模型；‎ ‎(2)构建指数函数、对数函数模型；‎ ‎(3)构建分段函数模型；‎ ‎(4)构建y＝x＋(a>0)模型．‎ 角度一　构建二次函数模型 ‎ 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30－R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　)‎ A．[4，8]　　　　　　　　　　 B．[6，10]‎ C．[4%，8%] D．[6%，10%]‎ ‎【解析】　根据题意，要使附加税不少于128万元，‎ 需×160×R%≥128，‎ 整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，‎ 即R∈[4，8]．‎ ‎【答案】　A 角度二　构建指数函数、对数函数模型 ‎ 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)‎ ‎(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎【解析】　根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>，又≈＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.‎ ‎【答案】　B 角度三　构建分段函数模型 ‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，‎ 车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．‎ ‎(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；‎ ‎(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)‎ ‎【解】　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；‎ 当200)模型 ‎ 要建造一个容积为2 400 m3，深为6 m的长方体无盖水池．池底造价为100元/m2，池壁造价为80元/m2，则最低造价为________(元)．‎ ‎【解析】　设水池长为x，则宽为＝.‎ 则总造价y＝(12x＋)×80＋400×100‎ ‎＝960(x＋)＋40 000‎ ‎≥960×2＋40 000‎ ‎＝78 400(元)．‎ 当且仅当x＝，‎ 即x＝20时，最低造价为78 400元．‎ ‎【答案】　78 400‎ 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．　 ‎ ‎　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ 解：设该单位每月获利为S，‎ 则S＝100x－y ‎＝100x－ ‎＝－x2＋300x－80 000‎ ‎＝－(x－300)2－35 000，‎ 因为400≤x≤600，‎ 所以当x＝400时，S有最大值－40 000.‎ 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．‎ 核心素养系列4　数学建模——函数建模在实际问题中的妙用 ‎ 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：‎ 年份 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎…‎ 投资成本x ‎3‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎17‎ ‎…‎ 年利润y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ 给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．‎ ‎(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；‎ ‎(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．‎ ‎【解】　(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，‎ 得解得所以y＝x－.‎ 当x＝9时，y＝4，不符合题意；‎ 将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，‎ 得解得所以y＝·()x＝2.‎ 当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；‎ 将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，‎ 得解得所以y＝log2(x－1)．‎ 当x＝9时，y＝log28＝3；‎ 当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．‎ ‎(2)令log2(x－1)>6，则x>65.‎ 因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型．‎ 解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．‎ 　 ‎ ‎　某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．‎ ‎(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?‎ ‎(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.‎ ‎①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；‎ ‎②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．‎ 解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.‎ ‎(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，‎ 由f(0)＝4，f(2)＝6，‎ 可得p＝4，(2－q)2＝1，‎ 又q＞1，所以q＝3，‎ 所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．‎ ‎②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，‎ 所以f′(x)＝3x2－12x＋9，‎ 令f′(x)＜0，得1＜x＜3.‎ 所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)‎ x ‎1.992‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5.15‎ ‎6.126‎ y ‎1.517‎ ‎4.041 8‎ ‎7.5‎ ‎12‎ ‎18.01‎ A.y＝2x－2　　　　　 　　 B．y＝(x2－1)‎ C．y＝log2x D．y＝logx 解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.‎ ‎2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)‎ 解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.‎ ‎3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(‎ 剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　)‎ A．5.2 B．6.6‎ C．7.1 D．8.3‎ 解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(1－10%)x＝，化简得0.9x＝，即x＝log0.9＝＝＝≈6.6(年)．故选B.‎ ‎4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为(　　)‎ A．13 m3 B．14 m3‎ C．18 m3 D．26 m3‎ 解析：选A.设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y＝ 则10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.‎ ‎5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　)‎ A．40万元 B．60万元 C．120万元 D．140万元 解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.‎ ‎6.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为(　　)‎ A．[2，4] B．[3，4]‎ C．[2，5] D．[3，5]‎ 解析：选B.根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，‎ 所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，‎ 由得2≤x<6.‎ 所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，‎ 所以腰长x的范围是[3，4]．‎ ‎7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时的累计里程(千米)‎ ‎2016年5月1日 ‎12‎ ‎35 000‎ ‎2016年5月15日 ‎48‎ ‎35 600‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．‎ 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．‎ 解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．‎ 答案：8‎ ‎8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.‎ 解析：设出租车行驶x km时，付费y元，‎ 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9.‎ 答案：9‎ ‎9．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．‎ 解析：M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.‎ 设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，‎ ‎5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.‎ 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．‎ 答案：6　10 000‎ ‎10．(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．‎ 解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv2＋96，又当v＝10时，k×102＝6，‎ 解得k＝0.06，‎ 所以每小时的总费用y＝0.06v2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为小时，故总费用为W＝y＝(0.06v2＋96)＝0.6v＋≥2＝48，当且仅当0.6v＝，‎ 即v＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．‎ 答案：40‎ ‎11．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．‎ ‎(1)求x的取值范围；‎ ‎(2)把月供电总费用y表示成x的函数；‎ ‎(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？‎ 解：(1)x的取值范围为10≤x≤90.‎ ‎(2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)．‎ ‎(3)因为y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋，所以当x＝时，ymin＝.故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少．‎ ‎12.如图，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上)．若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°.‎ ‎(1)求y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x 取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？‎ 解：(1)由题意易知x>1，BC＝2x，‎ 又AB＝y，AC＝y－1，‎ 在△ABC中，由余弦定理得，(y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos 60°，‎ 所以y＝(x>1)．‎ ‎(2)M＝30(2y－1)＋40x＝－30＋40x，其中x>1，‎ 设t＝x－1，则t>0，‎ 所以M＝－30＋40(t＋1)＝160t＋＋250≥2＋250＝490，‎ 当且仅当t＝时等号成立，此时x＝.‎ 所以当x＝时，修建中转站和道路的总造价M最低．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)‎ A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 解析：选C.由已知得192＝eb，①‎ ‎48＝e22k＋b＝e22k·eb，②‎ 将①代入②得e22k＝，则e11k＝，‎ 当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.‎ ‎2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．10‎ 解析：选C.由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N*)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.‎ ‎3．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中 m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．‎ 解析：因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.‎ 答案：4.24‎ ‎4．某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．‎ 解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．‎ 答案：43‎ ‎5．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．‎ ‎(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；‎ ‎(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．‎ 解：(1)由题图，设y＝ 当t＝1时，由y＝4得k＝4，‎ 由＝4得a＝3.‎ 所以y＝ ‎(2)由y≥0.25得或 解得≤t≤5.‎ 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)．‎ ‎6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．‎ ‎(1)求f(50)的值；‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？‎ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，‎ 则乙大棚投入150万元，‎ 所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(万元)．‎ ‎(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得⇒20≤x≤180，‎ 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．‎ 令t＝，则t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，‎ 当t＝8，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.‎ 所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．‎