山东专用2021版高考数学一轮复习考案6第六章不等式推理与证明综合过关规范限时检测含解析 7页

[考案 6]第六章 综合过关规范限时检测 (时间：45 分钟 满分 100 分) 一、单选题(本大题共 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分，在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的) 1．(2020·安徽省马鞍山市高三模拟)已知集合 A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|ln x>0}， 则(∁ R A)∩B＝( C ) A．∅ B．(0,4] C．(1,4] D．(4，＋∞) [解析] 由题意，集合 A＝{x|x2－3x－4>0}＝{x|x<－1 或 x>4}，B＝{x|ln x>0}＝{x|x>1}， ∁ RA＝[－1,4]，则(∁ RA)∩B＝(1,4]．故选 C. 2．(2020·河北廊坊第一中学)已知函数 f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式 f(x)>0 的解 集为(－1,3)，那么不等式 f(－2x)<0 的解集为( A ) A．(－∞，－3 2 )∪(1 2 ，＋∞) B．(－3 2 ，1 2 ) C．(－∞，－1 2 )∪(3 2 ，＋∞) D．(－1 2 ，3 2 ) [解析] 由 f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0 的解集为(－1,3)，则 a<0， 故1 a ＝－1，－b＝3，即 a＝－1，b＝－3， ∴f(x)＝－x2＋2x＋3， ∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0， 解得 x>1 2 或 x<－3 2 ， 故不等式 f(－2x)<0 的解集为(－∞，－3 2 )∪(1 2 ，＋∞)．故选 A． 3．(2020·山东省临沂市高三模拟考试)已知 x，y 满足约束条件 x－2≤0， y－2≤0， x＋y－2≥0， 则 z ＝2x＋y 的最大值与最小值之和为( C ) A．4 B．6 C．8 D．10 [解析] 给制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即：y＝－2x＋z， 其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 B(2,2)处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为：zmax＝2×2＋2＝6， 其中 z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值， 联立直线方程： y－2＝0 x＋y－2＝0 ， 可得点的坐标为 A(0,2)， 据此可知目标函数的最小值为： zmin＝2×0＋2＝2. 综上可得：z＝2x＋y 的最大值与最小值之和为 8，故选 C. 4．(2020·广东月考题)设函数 f(x)＝ax2－2x＋2，对于函数 10， 则实数 a 的取值范围是( D ) A．a≥1 B．1 2 1 2 [解析] 由 f(x)>0 得 ax2－2x＋2>0，即 a>2 x －2 x2，设1 x ＝t，g(t)＝－2t2＋2t，t∈(1 4 ，1)， 当 t＝1 2 时，g(t)max＝g(1 2 )＝1 2 ，∴a>1 2 ，故选 D. 5．(2020·山东省德州市高三期末联考)设 a，b∈R 且 ab≠0，则 ab>1 是 a>1 b 的( D ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析] 若“ab>1”当 a＝－2，b＝－1 时，不能得到“a>1 b ”，若“a>1 b ”，例如当 a＝1， b＝－1 时，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>1 b ”的既不充分也不必要条件，故选 D. 6．(2020·河南八市测评二)若变量 x，y 满足约束条件 x≥1， x－y≤0， x－2y＋2≥0， 则y x 的最大值 为( B ) A．1 B．3 2 C．3 D．5 [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示． 由 x＝1 x－2y＋2＝0 得 A(1，3 2 )，设y x ＝k，则 y＝kx. 显然当直线 y＝kx 过点 A(1，3 2 )时 k 最大． 此时 kmax＝3 2 .故选 B. 7．(2020·湖北荆州月考)已知 a>1，b>2，a＋b＝5，则 1 a－1 ＋ 9 b－2 的最小值为( B ) A．4 B．8 C．9 D．6 [解析] 由题意知 a－1>0，b－2>0， 又 a＋b＝5，∴(a－1)＋(b－2)＝2， ∴ 1 a－1 ＋ 9 b－2 ＝1 2 [(a－1)＋(b－2)]( 1 a－1 ＋ 9 b－2 ) ＝1 2 [10＋b－2 a－1 ＋9 a－1 b－2 ] ≥1 2 [10＋2 b－2 a－1 ·9 a－1 b－2 ]＝8. (当且仅当 b－2＝3 a－1 ， a＋b＝5， 即 a＝3 2 ， b＝7 2 时取等号)故选 B. 二、多选题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 8．(2020·吉林长春重点中学联考改编)若 a>0>b，则下列不等式恒成立的是( BD ) A．1 a <1 b B．1 a >1 b C．a2>b2 D．a3>b3 [解析] ∵a>0>b，∴1 a >0，1 b <0，∴1 a >1 b ，又 a3>0>b3.故选 B、D. 9．在下列函数中，最小值为 2 的函数有( AB ) A．f(x)＝2x＋2－x B．f(x)＝tanx＋ 1 tanx ，x∈(0，π 2 ) C．f(x)＝x4＋2x2＋5 x2＋1 D．f(x)＝4－x－1 x (x>0) [解析] 对于选项 A,2－x＝1 2x>0，∴f(x)＝2x＋1 2x≥2，最小值为 2.对于选项 B，f(x)＝tanx ＋ 1 tanx ≥2，最小值也为 2.对于选项 C，f(x)＝x4＋2x2＋5 x2＋1 ＝x2＋1＋ 4 x2＋1 ≥4，最小值为 4，故 C 错．对于选项 D，x＋1 x ≥2，显然 f(x)有最大值 2，故 D 错．因此选 A、B. 10．“存在正整数 n，使不等式(n＋3)lga>(n＋5)lgaa(0(n＋5)lgaa 且 0n＋3 n＋5 ＝1－ 2 n＋5 ，即 a 大于 1－ 2 n＋5 的最小值，当 n＝1 时最小值为 1－2 6 ＝2 3 ，故选 B、D. 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上) 11．(2020·湖北省宜昌市高三年级元月调研考试)已知正实数 m，n 满足 m＋2n＝mn，则 m＋n 的最小值为 3＋2 2 . [解析] 正实数 m，n 满足 m＋2n＝mn，两边同除以 mn 得：1 n ＋2 m ＝1，∴m＋n＝(m＋n)·1 ＝(m＋n)·(1 n ＋2 m )＝2＋1＋m n ＋2n m ≥3＋2 m n ·2n m ＝3＋2 2，当且仅当 m＝ 2＋2，n＝1＋ 2时 等号成立．∴m＋n 的最小值为 3＋2 2. 12．(2020·安徽省合肥市六校高三联考)设 x，y 满足不等式组 x－y＋1≥0， x＋y－3≤0， x，y∈N， 则 2x －y 的所有值构成的集合中元素个数为__7__. [解析] 作出不等式 x－y＋1≥0， x＋y－3≤0， 所表示的区域如图所示， 由 x－y＋1＝0， x＋y－3＝0， 得 A(1,2)，结合 x，y∈N 可得原不等式组所表示的区域为{(0,0)， (0,1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(3,0)}，将其代入 2x－y，可得值为 0，－ 1,2,1,0,4,3,6，即 2x－y 的所有值构成的集合为{0，－1,2,1,4,3,6}，元素个数为 7，故答 案为 7. 13．关于 x 的不等式 ax－b>0 的解集为(1 2 ，＋∞)，则关于 x 的不等式ax－2b －x＋5 >0 的解集是 __(1,5)__． [解析] ∵ax－b>0 的解集为(1 2 ，＋∞)，∴a>0 且 a＝2b∴ax－2b －x＋5 ＝ a x－1 － x－5 ∴分式不 等式变形为x－1 x－5 <0，即(x－1)(x－5)<0，解集为(1,5)． 14．圆 x2＋y2－4x－2y－8＝0 关于直线 ax＋2by－2＝0(a，b>0)对称，则1 a ＋4 b 的最小值为 __9__. [解析] 由圆方程得(x－2)2＋(y－1)2＝13.圆心为(2,1)因此 2a＋2b－2＝0 即 a＋b＝1， ∴1 a ＋4 b ＝(1 a ＋4 b )(a＋b)＝5＋b a ＋4a b ≥5＋4＝9.故填 9. 三、解答题(本大题共 2 个小题，共 30 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分 15 分)已知二次函数 f(x)＝ax2－bx＋2(a>0)． (1)若不等式 f(x)>0 的解集为{x|x>2 或 x<1}，求 a 和 b 的值； (2)若 b＝2a＋1，解关于 x 的不等式 f(x)≤0. [解析] (1)不等式 f(x)>0 的解集为{x|x>2 或 x<1}，所以与之对应的二次方程 ax2－bx ＋2＝0 的两个根为 1,2，由根与系数的关系得 1＋2＝b a ， 1×2＝2 a ， 解得 a＝1，b＝3. (2)因为 b＝2a＋1，所以 f(x)＝(x－2)(ax－1)≤0， 即(x－2)(x－1 a )≤0. 当1 a <2，即 a>1 2 时， 不等式 f(x)≤0 的解集为{x|1 a ≤x≤2}； 当1 a >2，即 0