2020二轮复习(理)　选修4－5　不等式选讲作业 3页

专题限时集训(十六)　选修4－5　不等式选讲 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎1．已知函数f(x)＝|a－3x|－|2＋x|.‎ ‎(1)若a＝2，解不等式f(x)≤3；‎ ‎(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解](1)当a＝2时，不等式f(x)≤3即|2－3x|－|2＋x|≤3，则或或解得－≤x≤，‎ 所以不等式f(x)≤3的解集为.‎ ‎(2)不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|等价于|a－3x|－3|2＋x|≥1－a，即|3x－a|－|3x＋6|≥1－a.‎ 由绝对值不等式的性质知|3x－a|－|3x＋6|≤|(3x－a)－(3x＋6)|＝|a＋6|.‎ 若存在实数a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，则|a＋6|≥1－a，解得a≥－，所以实数a的取值范围是 .‎ ‎2．已知函数f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R)．‎ ‎(1)求f(x)的最大值m；‎ ‎(2)设a，b，c为正实数，且‎2a＋3b＋‎4c＝m，‎ 求证：＋＋≥3.‎ ‎[解](1)法一：由f(x)＝ 知f(x)∈[－3,3]，即m＝3.‎ 法二：由绝对值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，得m＝3.‎ 法三：由绝对值不等式的几何意义知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3,3](x∈R)，即m＝3.‎ ‎(2)证明：∵‎2a＋3b＋‎4c＝3(a，b，c＞0)，‎ ‎∴＋＋＝(‎2a＋3b＋‎4c)· ‎＝≥3.‎ 当且仅当‎2a＝3b＝‎4c，‎ 即a＝，b＝，c＝时取等号，‎ 即＋＋≥3.‎ ‎3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.‎ ‎(1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)当a＜2时，函数f(x)的最小值为a－1，求实数a的值．‎ ‎[解]　 (1)f(x)＋|x－1|≥2可化为＋|x－1|≥1.‎ ‎∵＋|x－1|≥，∴≥1, 解得a≤0或a≥4.‎ ‎∴实数a的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．‎ ‎(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零点为和1，‎ 当a＜2时，＜1，‎ ‎∴f(x)＝ 易知f(x)在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴f(x)min＝f＝－＋1＝a－1，解得a＝＜2.‎ ‎∴a＝.‎ 内容 押题依据 分段函数的图象含绝对值不等式的解法 以含有两个绝对值的函数为背景，考查不等式的解法，考查分类讨论、数形结合思想、转化化归思想和应用意识.‎ ‎【押题】　已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．‎ ‎[解](1)由题意知f(x)＝ 由f(x)≥3可知：‎ ‎(ⅰ)当x≥1时，3x≥3，即x≥1；‎ ‎(ⅱ)当－＜x＜1时，x＋2≥3，即x≥1，与－＜x＜1矛盾，舍去；‎ ‎(ⅲ)当x≤－时，－3x≥3，即x≤－1.‎ 综上可知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤－1或x≥1}．‎ ‎(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，‎ 其中A，B(1,3)，由直线AB的斜率kAB＝1，知直线y＝x＋a与直线AB平行，若要围成多边形，则a＞2.‎ 易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于两点C，D，则|CD|＝·＝a，‎ 平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，‎ ‎∴梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a＞2)，‎ 即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4，‎ 故所求实数a的值为4.‎