广西柳州市高级中学2020届高三上学期统测数学（理）试卷 11页

理科数学试题卷 ‎（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）‎ 一、选择题:（本大题共12小题.每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知为实数，若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.的值等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.在半径为2的圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：‎ 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如 图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则 输出的（ ）‎ A. 5 B. 4 ‎ C. 3 D. 9‎ ‎7.的展开式中，含吧的项的系数是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.函数的大致图像是（ ）‎ ‎9.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在平面互相垂直，,,,则球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B． C. D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分.）‎ ‎13．已知满足不等式组则的最小值为 __________．‎ ‎14．曲线在处的切线的倾斜角为__________．‎ ‎15．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，，则_________．‎ ‎16．已知点在圆和圆的公共弦上，则的最小值为_________．‎ 三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）已知，设．‎ ‎（1）求的解析式并求出它的周期；‎ ‎（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．‎ 18． ‎（本小题满分12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，//,,.‎ （1） 证明：平面；‎ （2） 当点为半圆的中点时，求二面角的正弦值.‎ ‎19.（本小题满分12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率作了调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：‎ 个人所得税税率表（调整前）‎ 个人所得税税率表（调整后）‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ 级数 全月应纳税所得额 税率（%）‎ ‎1‎ 不超过1500元部分 ‎3‎ ‎1‎ 不超过3000元部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎20‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎...‎ ‎（1)假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？‎ ‎（2）某税务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：‎ 收入（元）‎ 人数 ‎40‎ ‎30‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选3人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量表示抽到作为宣讲员的收入在元的人数，求的分布列与数学期望.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，一个长轴顶点在直线上，若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线 的斜率为.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.‎ 选做题：考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分10分）‎ ‎22.已知过点的直线l的参数方程是（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于,两点，试问是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎23.已知，，，函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为，求的值，并求的最小值．‎ 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B B D B C C B A D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎2‎ ‎150‎ ‎16‎ 三、解答题 ‎17.解析：（1）由，‎ 则＝，‎ 即函数的周期，‎ 故，周期为． （6分）‎ ‎（2）因为，所以， 所以，‎ 又， 所以， 所以，‎ 又，‎ 由余弦定理得： ，‎ 所以， 所以，即. （12分） ‎ ‎18.证明：（1）因为是半圆的直径， 所以 因为平面，所以，‎ 又，所以平面，‎ ‎∵//,，∴四边形为平行四边形 ‎∴// ∴平面 （6分）‎ （2） 依题意，,如图所示，建立空间直角坐标系,则,，，,‎ 所以,,‎ 设平面的法向量为 则 ‎ 得 ‎ 设平面的法向量为 则 ‎ ‎ 得 所以 所以二面角的正弦值为. （12分）‎ ‎19.解析：（1）按调整起征点前应纳税为：；‎ 按调整起征点后应纳税为：； 元 所以小明实际收入增加了元. （4分）‎ （2） 由频数分布表可知抽取的7人中占4人，中占3人 的取值可能值 ‎; ;‎ ‎; ;‎ 所以的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ （12分）‎ ‎20.解析：（1）由，又由于，一个长轴顶点在直线上，‎ 可得：，，.‎ 故此椭圆的方程为. （4分）‎ ‎（2）设，，当直线的斜率存在时，设其方程为，‎ 联立椭圆的方程得：，‎ 由，可得，‎ 则，，‎ ‎，‎ 又点到直线的距离，‎ ‎，‎ 由于，‎ 可得：，‎ 故，‎ 当直线的斜率不存在时，可算得：，‎ 故的面积为定值1. （12分）‎ ‎21.解析：（1）由题意，函数的定义域为,‎ ‎ ‎ 当时，恒成立，故的递增区间为；‎ 当时，在区间，时，时，‎ 所以的递增区间为，，递减区间为；‎ 当时，在区间，时，时，‎ 所以的递增区间为，，递减区间为； （5分） ‎ ‎（2）当时，由,只需证明. ‎ 令 ，.‎ 设，则. ‎ 当时，，单调递减;‎ 当时，，单调递增,‎ ‎∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值. ‎ 的最小值是 成立.‎ 故成立. （12分）‎ ‎22.解析：（1）消由 ‎ 直线的普通方程为 由， ‎ 曲线的直角坐标方程为 （5分）‎ ‎（2）由于曲线的直角坐标方程为，则圆心（3,0），，‎ 所以圆心到直线的距离 ，‎ 根据垂径定理可得， 即，‎ 可求得 实数. （10分）‎ ‎23.解析：（1）当时,不等式即，化为．‎ 当时，化为：，解得；‎ 当时，化为：，化为：，解得；‎ 当时，化为：，解得．‎ 综上可得：不等式的解集为：； （5分）‎ ‎（2）由绝对值三角不等式得 ‎，‎ 由柯西不等式得 ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 因此，的最小值为． （10分）‎