2015年高考试题——数学理（北京卷）原卷版 6页

2015 年北京高考数学（理科） 本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．复数  i 2 i A．1 2i B．1 2i C． 1 2i D． 1 2i 2．若 x ， y 满足 0 1 0 xy xy x     ≤ ， ≤ ， ≥ ， 则 2z x y 的最大值为 A．0 B．1 C． 3 2 D．2 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A． 22 ， B． 40 ， C． 44， D． 08， 开始 x=1，y=1，k=0 s=x-y，t=x+y x=s，y=t k=k+1 k≥3 输出(x，y) 结束 是 否 4．设 ，  是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“∥ ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 正(主)视图 11 俯视图 侧(左)视图 2 1 A． 25 B． 45 C． 2 2 5 D．5 6．设 na 是等差数列. 下列结论中正确的是 A．若 120aa，则 230aa B．若 130aa，则 120aa C．若 120 aa，则 2 1 3a a a D．若 1 0a  ，则   2 1 2 3 0a a a a   7．如图，函数  fx的图象为折线 ACB ，则不等式    2log 1f x x ≥ 的解集是 A B O x y -1 2 2 C A． | 1 0xx ≤ B． | 1 1xx ≤ ≤ C． | 1 1xx ≤ D． | 1 2xx ≤ 8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在 52 x 的展开式中， 3x 的系数为 ．（用数字作答） 10．已知双曲线   2 2 2 10x yaa    的一条渐近线为 30xy，则 a  ． 11．在极坐标系中，点 π2 3   ‚ 到直线  cos 3sin 6  的距离为 ． 12．在 ABC△ 中， 4a  ， 5b  ， 6c  ，则 sin 2 sin A C  ． 13．在 ABC△ 中，点 M ， N 满足 2AM MC ， BN NC ．若 MN xAB y AC，则 x  ； y  ． 14．设函数      21 4 2 1. x axfx x a x a x     ‚ ‚ ‚ ≥ ①若 1a  ，则  fx的最小值为 ； ②若  fx恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题 13 分） 已知函数 2( ) 2 sin cos 2 sin2 2 2 x x xfx． (Ⅰ) 求 ()fx的最小正周期； (Ⅱ) 求 ()fx在区间[ π 0] ， 上的最小值． 16．（本小题 13 分） A ， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组：12，13，15，16，17，14， a 假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为 甲， B 组选出的人记为乙． (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率； (Ⅱ) 如果 25a  ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17．（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 A EFCB 中， AEF△ 为等边三角形，平面 AEF  平面 EFCB ， EF BC∥ ， 4BC  ， 2EF a ， 60EBC FCB     ，O 为 EF 的中点． (Ⅰ) 求证： AO BE ； (Ⅱ) 求二面角 F AE B的余弦值； (Ⅲ) 若 BE  平面 AOC ，求 a 的值． O F E C B A 18．（本小题 13 分） 已知函数   1ln1 xfx x   ． （Ⅰ）求曲线  y f x 在点   00f， 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当  01x ， 时，   3 2 3 xf x x ； （Ⅲ）设实数 k 使得   3 3 xf x k x 对  01x ， 恒成立，求 k 的最大值． 19．（本小题 14 分） 已知椭圆C ：   22 2210xy abab    的离心率为 2 2 ，点  01P ， 和点  A m n，  0m≠ 都 在椭圆C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m ， n 表示）； （Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是 否存在点Q ，使得 OQM ONQ   ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题 13 分） 已知数列 na 满足： * 1a N ， 1 36a ≤ ，且 1 2 18 2 36 18 nn n nn aaa aa    ， ≤ ， ，  12n  ， ， ． 记集合  *|nM a nN ． （Ⅰ）若 1 6a  ，写出集合 M 的所有元素； （Ⅱ）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数； （Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）