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- 2021-06-16 发布
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上海市2019-2020学年三林中学高二上学期数学10月份考试
一、填空题(本大题共12题,满分36分,每小题对得3分,否则一律不得分)
1.数1与9的等差中项是_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
若、、成等差数列,则,称为、的等差中项,由题,故,解出即可
【详解】设等差中项为,则,
故答案为:5
【点睛】本题考查等差中项概念,属于基础题
2.数列满足,则__________
【答案】
【解析】
【分析】
递推公式为,故用累乘法求得数列的通项公式,令,即可求解
【详解】由题,当时,,,,…,
用累乘法可得,
即,
当时,
故答案为:
【点睛】本题考查数列的递推公式,考查累乘法求通项公式,考查求数列的某一项
3.数列的前四项为,则该数列的一个通项公式为_______
【答案】
【解析】
【分析】
观察数列,奇数项为非负数,偶数项为负数;分母为,分子为,将这些特征整理即可
【详解】由题,,,,,会发现奇数项为非负,偶数项为负,故用来处理,即该数列的通项公式为
故答案为:
【点睛】本题考查归纳、猜想的应用问题,解题时应观察数列各项的特征,通过归纳猜想,即可得出该数列的一个通项公式
4.等差数列中,,,,则_____
【答案】6
【解析】
【分析】
将代入等差数列通项公式中,求得,即得到通项公式,再将代入通项,求得即可
【详解】设,,,
通项公式为,当时,即,
故答案为:6
【点睛】本题考查定义法求等差数列通项公式,考查等差数列的某一项,属于基础题
5.数列满足,则其通项公式________
【答案】
【解析】
【分析】
由递推公式可得数列是以1为首项,3为公比的等比数列,根据等比数列定义求出通项公式即可
【详解】由题知,数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
故答案为:
【点睛】本题考查定义法求等比数列通项公式,属于基础题
6.等差数列中,表示其前n项和,若,则___________
【答案】9
【解析】
【分析】
根据等差数列前项和的性质,、、仍成等差数列,将值代入即可求解
【详解】是等差数列,、、仍成等差数列,根据等差中项可得,,即,
故答案为:9
【点睛】本题考查等差数列前项和的性质的应用,考查等差中项,属于基础题
7.数列的前项为,则此数列的通项公式为_____
【答案】
【解析】
【分析】
用公式法求数列的通项公式,分别讨论当和当的情况,最后要检验
【详解】当时,;
当时,,
检验,当时,,符合
故答案为:
【点睛】本题考查公式法求数列的通项公式,方法如下:
(1)当时,;
(2)当时,;
(3)检验,当时,代入(2)中的后判断是否与(1)中值一致,若符合,则;若不符合,则
8.公差不为零的等差数列中,,,成等比数列,则其公比为____________
【答案】3
【解析】
【分析】
由等比中项可得,且等差数列,故为,可得到,则,均用来表示,进一步求得公比
【详解】由题,可得
等差数列,
,即,
,,即
,
故答案为:3
【点睛】本题考查求等比数列的公比,等比中项,考查等差数列通项公式的应用
9.等差数列中,其公差,且满足,则该数列的通项公式为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据且得到,代入中求与后整理即可
【详解】且
或
又,是递减数列,,
,
故答案:
【点睛】本题考查定义法求等差数列通项公式,考查由公差判断等差数列的单调性,考查解二元一次方程组
10.等差数列中,表示其前n项和,则____________
【答案】810
【解析】
【分析】
由等差数列的前项和公式为,将、分别用其表示代入等式中,整理可得,根据等差数列的性质,即得结果
【详解】等差数列,表示其前n项和
,
,
,即
故答案为:810
【点睛】本题考查等差数列前项和公式的两种形式,考查等差数列的性质,考查运算能力
11.设数列满足,则_____
【答案】2
【解析】
【分析】
根据递推公式,得到,,,,,故周期为6,由周期性可得,即可得到结果
【详解】由题, ,,,,,,
余3,即
故答案为:2
【点睛】本题考查数列周期性,考查数列递推公式,考查运算能力
12.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列{an}有下列三个命题:
①若数列{an}既是等差数列又是等比数列,则an=an+1;
②若Sn=an2+bn+c(a、b、c∈R),则数列{an}是等差数列;
③若Sn=1﹣(﹣2)n,则数列{an}是等比数列.
其中,真命题的序号是_____
【答案】①③
【解析】
【分析】
①易得既是等差数列又是等比数列的是非0常数列;②③利用公式法证明其结论的正确性
【详解】①既是等差数列又是等比数列的是一个非0常数列,则有,故是真命题;
②当时,
则,
,,
当时,,,,
,
若,则当且仅当时,数列为等差数列,题中,故为假命题;
③当时,,,,则;
当时,,,,,
数列是以为首项,为公比的等比数列,故为真命题
故答案为:①③
【点睛】本题考查对常数列的认知,考查等差数列,等比数列的证明
二、选择题(本大题共4题,满分12分,每题有且只有一个正确答案,选对得3分,否则一律不得分)
13.等比数列中,表示其前n项和,若,则( )
A. 210 B. 120 C. 121 D. 111
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等比数列前项和的性质,、、仍成等比数列,将值代入即可求解
【详解】由题, 等比数列,则有、、仍成等比数列,
由等比中项可得,即
故选:D
【点睛】本题考查等比数列前项和的性质的应用,属于基础题
14.满足等式的正整数( )
A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021
【答案】B
【解析】
【分析】
通过观察可得,等式左侧分式的分母为连续偶数求和,分子为连续奇数求和,利用等差数列前项和公式整理分式,求解即可
【详解】由题,等式左侧分式分子为;分母为,原式,
故选:B
【点睛】本题考查等差数列前项和的公式的应用,属于基础题
15.某工厂去年12月份的月产量为a,若该厂产量月平均增长率为P,则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
今年12月份的月产量为,增加比率应为:(今年产量去年产量)去年产量,将式子代入整理即可
【详解】由题,今年12月份的月产量为,则增加的比率为
故选:B
【点睛】本题考查等比数列在实际生活中的应用,属于基础题
16.某个命题与正整数有关,若当时该命题成立,那么可推得当时该命题也成立,现已知当时该命题不成立,那么可推得( )
A. 当时,该命题不成立 B. 当时,该命题成立
C. 当时,该命题成立 D. 当时,该命题不成立
【答案】D
【解析】
试题分析:“当时该命题成立,那么可推得当时该命题也成立”它的逆否命题为“当时该命题不成立,那么当时该命题也不成立”,因为它们同真,所以当时该命题不成立,那么可推得当时,该命题也不成立,故选择D.
考点:四种命题和数学归纳法.
三、解答题:(本大题共有6题,满分52分,每题必须写出必要的解题步骤)
17.在1,x,9,y四个数中,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,求x,y的值
【答案】,或,
【解析】
【分析】
根据等比中项可得;根据等差数列可得,求解即可
【详解】由题, ,或
即当时,;当时,
【点睛】本题考查等差中项、等比中项的应用,考查运算能力
18.用数学归纳法证明:
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
利用数学归纳法证明分两步进行:①当时证明不等式左右两边相等;②假设当时等式成立,应用此结论证明当时等式也成立即可.
【详解】①当时
左边,右边
所以左边=右边,等式成立.
②假设当时等式成立,即
则当时,
即当时等式也成立
由①②可知, 对任意正整数都成立
【点睛】本题考查了数学归纳法在证明等式中应用,注意证明的格式和步骤,对假设成立等式的应用是关键,属于中档题.
19.在正数数列{an}中,前n项和Sn满足:Sn=2an﹣1,
(1)求a1的值;
(2)求{an}的通项公式.
【答案】(1)1(2)
【解析】
【分析】
(1)当时,;
(2)当时,,即用公式法求解通项公式
【详解】(1)当时,,
(2)当时,,即
是首项为1,公比为2的等比数列,
【点睛】本题考查求数列首项,考查公式法求通项公式,考查等比数列通项公式
20.数列为等差数列,设
(1)证明数列为等比数列;
(2)若,求数列的通项公式;
(3)在(2)的条件下,当数列的公差时,求数列的前n项和的最大值
【答案】(1)证明见解析;(2)或;(3)4
【解析】
【分析】
(1)借助等差数列的定义来证明即可;
(2)利用等比中项先求得,代入得到关于的方程,解出,由得到,再将代回中求得,整理后即得到数列的通项公式
(3)由题, ,找到符合时的值,即找到最大时的值,再代入等差数列的前项和公式即可求解
【详解】(1)证明:数列为等差数列,设
又
,
,
,
当时,,即数列是以为首项,为公比的等比数列
(2)解:由(1)可知,
,即,或
当时,即,,此时,,
当时,即,,此时,,
综上,或
(3),
令,即,,
,,
【点睛】本题考查等比数列的证明,等差数列的通项公式以及等差数列前项和的最值问题
21.设正数列的前n项和为,其满足:
(1)试求的值;
(2)利用:当时,证明:数列为等差数列;
(3)求数列的通项公式。
【答案】(1)1;(2)证明见解析;(3)
【解析】
【分析】
(1)利用当时,来求解;
(2)将用表示,整理即可得证;
(3)由(2)得到的表达式,再利用当时,,检验当时,符合即可.
【详解】(1)由题,当时,,,即或
正数列,,,
(2)当时,,
,
,
则,
,即
是以1为首项,1为公差的等差数列
(3)由(2)得: ,,又当时,
检验,当时,,符合,
故
【点睛】本题考查等差数列的证明,
构造数列求通项公式,使用公式法求通项公式时需注意检验,考查运算能力及逻辑推理能力.