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- 2021-06-16 发布
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2. 2 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题 1、若两个平面互相平行,则分别在这两个平行平面内的直线( )
A. 平 行 B. 异 面 C. 相 交
D.平行或异面
2、下列结论中,正确的有( )
①若 a α,则 a∥α
②a∥平面 α,b α 则 a∥b
③平面 α∥平面 β,a α,b β,则 a∥b
④平面 α∥β,点 P∈α,a∥β,且 P∈a,则 a α
A.1 个 B.2 个 C.3 个
D.4 个
解析:若 a α,则 a∥α 或 a 与 α 相交,由此知①不正确
若 a∥平面 α,b α,则 a 与 b 异面或 a∥b,∴②不正确
若平面 α∥β,a α,b β,则 a∥b 或 a 与 b 异面,∴③不正确
由平面 α∥β,点 P∈α 知 Pβ过点 P 而平行平 β 的直线 a 必在平面 α 内,是正确的.证
明如下:假设 a α,过直线 a 作一面 γ,使 γ 与平面 α 相交,则 γ 与平面 β 必相交.设
γ∩α=b,γ∩β=c,则点 P∈b.由面面平行性质知 b∥c;由线面平行性质知 a∥c,则 a∥b,这
与 a∩b=P 矛盾,∴a α.故④正确.
3、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角
线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( )
A. 平 行 B. 相 交 C. 在 内
D.不能确定
参考答案与解析:解析:在平面 ABC 内.
∵AE:EB=CF:FB=1:3,
∴AC∥EF.可以证明 AC 平面 DEF.
若 AC 平面 DEF,则 AD 平面 DEF,BC 平面 DEF.
由此可知 ABCD 为平面图形,这与 ABCD 是空间四边形矛盾,故 AC 平面 DEF.
∵AC∥EF,EF 平面 DEF.
∴AC∥平面 DEF.
主要考察知识点:空间直线和平面
4、a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是( )
A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b
B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b
C.过 A 有无数个平面平行于 a,b
D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在
参考答案与解析:解析:如当 A 与 a 确定的平面与 b 平行时,过 A 作与 a,b 都平行的平面不存
在.
答案:D
主要考察知识点:空间直线和平面
5、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面 α,则 b 与 α 的位置关系是( )
A.b∥α B.b α
C.b 与 α 相交 D.以上都有可能
参考答案与解析:思路解析:a 与 b 垂直,a 与 b 的关系可以平行、相交、异面,a 与 α 平行,所以 b
与 α 的位置可以平行、相交、或在 α 内,这三种位置关系都有可能.
答案:D
主要考察知识点:空 间直线和平面
6、下列命题中正确的命题的个数为( )
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线,则 l∥α;
②若直线 a 在平面 α 外,则 a∥α;
③若直线 a∥b,直线 b α,则 a∥α;
④若直线 a∥b,b 平面 α,那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线.
A.1 B.2 C.3
D.4
参考答案与解析:解析:对于①,∵直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行,但 l 有可能在平面 α
内(若改为 l 与 α 内任何直线都平行,则必有 l∥α),∴① 是假命题.对于②,∵直线 a 在平面 α
外,包括两种情况 a∥α 和 a 与 α 相交,∴a 与 α 不一定平行,∴②为假命题.对于③,∵a∥ b,b
α,只能说明 a 与 b 无公共点,但 a 可能在平面 α 内,∴a 不一定平行于平面 α.∴③也是假命
题.对于④,∵a∥b,b α.那么 a α,或 a∥α.∴a 可以与平面 α 内的无数条直线平行.∴④是真
命题.综上,真命题的个数为 1.
答案:A
主要考察知识点:空间直线和平面
7、下列命题正确的个数是( )
(1)若直线 l 上有无数个点不在 α 内,则 l∥α
(2)若直线 l 与平面 α 平行,l 与平面 α 内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行,那 么另一条也与这个平面平行
(4)若一直线 a 和平面 α 内一直线 b 平行,则 a∥α
A.0 个 B.1 个 C.2 个
D.3 个
参考答案与解析:解析:由直线和平面平行的判定定理知,没有正确命题.
答案:A
主要考察知识点:空间直线和平面
8、已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;
②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β;
③若 m α,n β,m∥n,则 α∥β;
④若 m、n 是异面直线,m α,m∥β,n β,n∥α,则 α∥β.
其中真命题是( )
A.① 和 ② B.① 和 ③ C.③ 和
④ D.①和④
参考答案与解析:解析:利用平面平行判定定理知①④正确.②α 与 β 相交且均与 γ 垂直的情况
也成立,③中 α 与 β 相交时,也能满足前提条件
答案:D
主要考察知识点:空间直线和平面
9、长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 AA1 中点,F 为 BB1 中点,与 EF 平行的长方体的面有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个
D.4 个
参考答案与解析:解析:面 A1C1,面 DC1,面 AC 共 3 个.
答案:C
主要考察知识点:空间直线和平面
10、对于不重合的两个平面 α 与 β,给定下列条件:①存在平面 γ,使得 α、β 都垂直于 γ;②
存在平面 γ,使 α、β 都平行于 γ;③α 内有不共线的三点到 β 的距离相等;④存在异面直线 l,
M,使得 l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.
其中可以判断两个平面 α 与 β 平行的条件有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个
D.4 个
参考答案与解析:解析:取正方体相邻三个面为 α、β、γ,易知 α⊥γ,β⊥γ,但是 α 与 β 相交,
不平行,故排除①,若 α 与 β 相交,如图所示,可在 α 内找到 A、B、C 三个点到平面 β 的距
离相等,所以排除③.容易证明②④都是正确的.
答案:B
主要考察知识点:空间直线和平面
二、填空题 【共 4 道小题】
1、在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是棱 AD 上一
点,AP= ,过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ=_________.
参考答案与解析:解析:由线面平行的性质定理知 MN∥PQ(∵MN∥平面 AC,PQ=平面 PMN∩
平面 AC,∴MN∥PQ).易知 DP=DQ= .故 .
答案:
主要考察知识点:空间直线和平面
2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上,那么这些点在空间的位置是
__________.
参考答案与解析:共线或在与已知平面 垂直的平面内
主要考察知识点:空间直线和平面
3、若直线 a 和 b 都与平面 α 平行,则 a 和 b 的位置关系是__________.
参考答案与解析:相交或平行或异面
主要考察知识点:空间直线和平面
4、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 中点,则 BD1 与过点 A,C,E 的平面的位置关系是
_________.
参考答案与解析:解析:如图所示,连结 BD,设 BD∩AC=O,连结 BD1,在△BDD1 中,E 为 DD1
的中点,O 为 BD 的中点,
∴OE 为△BDD1 的中位线.∴OE∥BD1.
又 平面 ACE,OE 平面 ACE,
∴BD1∥平面 ACE.
答案:平行
主要考察知识点:空间直线和平面
三、解答题 【共 3 道小题】
1、如图,直线 AC,DF 被三个平行平面 α、β、γ 所截.
①是否一定有 AD∥BE∥CF;
②求证: .
参考答案与解析:解析:①平面 α∥平面 β,平面 α 与 β 没有公共点,但不一定总有 AD∥BE.
同理不总有 BE∥CF.
②过 A 点作 DF 的平行线,交 β,γ 于 G,H 两点,AH∥DF.过两条平行线 AH,DF 的平面,交
平面 α,β,γ 于 AD,GE,HF.根据两平 面平行的性质定理,有 AD∥GE∥HF.
AGED 为平行四边形.∴AG=DE.
同理 GH=E F.
又过 AC,AH 两相交直线之平面与平面 β,γ 的交线为 BG,CH.根据两平面平行的性质定理,
有 BG∥CH.
在△ACH 中, .
而 AG=DE,GH=EF,∴ .
主要考察知识点:空间直线和平面
2、如图,ABCD 是平行四边形,S 是平面 ABCD 外一点,M 为 SC 的中点.
求证:SA∥平面 MDB.
参考答案与解析:解析:要说明 SA∥平面 MDB,就要在平面 MDB 内找一条直线与 SA 平行,注
意到 M 是 SC 的中点,于是可找 AC 的中点,构造与 SA 平行的中位线,再说明此中位线在平
面 MDB 内,即可得证.
证明:连结 AC 交 BD 于 N,因为 ABCD 是平行四边形,所以 N 是 AC 的中点.又因为 M 是 SC 的中
点,所以 MN∥SA.因为 MN 平面 MDB,所以 SA∥平面 MDB.
主要考察知识点:空间直线和平面
3、如图,已 知点 M、N 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两棱 A1A 与 A1B1 的中点,P 是正方形 ABCD
的中心,
求证:MN∥平面 PB1C.
参考答案与解析:证明:如图,连结 AC,
则 P 为 AC 的中点,连结 AB1,
∵M、N 分别是 A1A 与 A1B1 的中点,
∴MN∥AB1.
又∵ 平面PB1C, 平面 PB1C,故 MN∥面 PB1C.