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- 2021-06-16 发布
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第1讲 函数图象与性质
高考定位 1.以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质,能用函数的图象性质解决简单问题;3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y=1+x+的部分图象大致为( )
解析 法一 易知g(x)=x+为奇函数,其图象关于原点对称.所以y=1+x+的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度,选项D满足.
法二 当x=1时,f(1)=1+1+sin 1=2+sin 1>2,排除A,C.又当x→+∞时,y→+∞,B项不满足,D满足.
答案 D
2.(2017·山东卷)设f(x)=若f(a)=f (a+1),则f =( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 由已知得a>0,∴a+1>1,
∵f(a)=f(a+1),∴=2(a+1-1),
解得a=,∴f =f(4)=2(4-1)=6.
答案 C
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1),又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.
答案 D
4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=( )
A.0 B.m C.2m D.4m
解析 ∵f(x)=f(2-x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称.
又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象关于直线x=1对称,
∴两函数图象的交点关于直线x=1对称.
当m为偶数时,xi=2×=m;
当m为奇数时,xi=2×+1=m.
答案 B
考 点 整 合
1.函数的性质
(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
(2)奇偶性:①若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x).
②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,
偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.
(3)周期性:①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数.
②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数.
③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数.
④若f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数.
易错提醒 错用集合运算符号致误:函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“∪”连接,可用“和”或“,”连接.
2.函数的图象
(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.
(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.
(3)函数图象的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
热点一 函数及其表示
【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y=的定义域为( )
A.(-∞,1] B.[-1,1]
C.∪ D.∪
(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=( )
A.- B.- C.- D.-
解析 (1)函数有意义,则
即
所以函数的定义域为.
(2)若a≤1,则f(a)=2a-1-2=-3,2a-1=-1,无解;
若a>1,则f(a)=-log2(a+1)=-3,a=7,
故f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-2=-.
答案 (1)C (2)A
探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,只需构建不等式(组)求解即可.
(2)抽象函数:根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.
2.对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则.
【训练1】 (1)(2017·郑州二模)函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)已知函数f(x)=(a∈R),若f(f(-1))=1,则a=( )
A. B. C.1 D.2
解析 (1)当x=1时,y=0,则函数在[0,1]上为减函数,故a>1.∴当x=0时,y=1,则=1,∴a=2.
则loga+loga=loga=log28=3.
(2)∵f(-1)=2-(-1)=2,
∴f[f(-1)]=f(2)=4a=1,解得a=.
答案 (1)C (2)A
热点二 函数的图象及应用
命题角度1 函数图象的识别
【例2-1】 (2017·汉中模拟)函数f(x)=·sin x的图象大致形状为( )
解析 ∵f(x)=·sin x,
∴f(-x)=·sin(-x)=-sin x=·sin x=f(x).
∴函数f(x)为偶函数,故排除C,D,
当x=2时,f(2)=·sin 2<0,故排除B,只有A符合.
答案 A
命题角度2 函数图象的应用
【例2-2】 (1)(2017·历城冲刺)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( )
A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值
C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值
(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 (1)画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|0时,与y=|f(x)|在y轴右侧总有交点,不合题意;当a=0时成立;当a<0时,找与y=|-x2+2x|(x≤0)相切的情况,即y′=2x-2,切点为(0,0),此时a=2×0-2=-2,即有-2≤a<0,综上,a∈[-2,0].
答案 (1)A (2)D
热点三 函数的性质与应用
【例3】 (1)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
(2)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.alog25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.
法二 (特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又3>log25.1>20.8,
从而可得c>a>b.
答案 (1)6 (2)C
探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.
2.函数单调性应用:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.
【训练3】 (1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于________.
(2)(2017·西安质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,则( )
A.f(-3)f >f(0),即f(-3)>f >f(2).
答案 (1)-8 (2)D
1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f(x)=的定义域时,只考虑x>0,忽视ln x≠0的限制.
2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(|x|)=f(x).
3.三种作函数图象的基本思想方法
(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图;
(2)对函数解析式进行恒等变换,转化为已知方程对应的曲线;
(3)通过研究函数的性质,明确函数图象的位置和形状.
4.函数是中学数学的核心,函数思想是重要的思想方法,利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质,对于给定的函数若不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,数形结合直观求解.
一、选择题
1.(2017·唐山一模)若函数f(x)=则f(f(2))=( )
A.1 B.4 C.0 D.5-e2
解析 由题意知,f(2)=5-4=1,f(1)=e0=1,
所以f(f(2))=1.
答案 A
2.(2017·衡阳二模)已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0},且g(x)≠0,设p:函数f(x)=g(x)是偶函数;q:函数g(x)是奇函数,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 令h(x)=-(x≠0)易得h(x)+h(-x)=0,h(x)为奇函数,g(x)是奇函数,f(x)为偶函数;反过来也成立.因此p是q的充要条件.
答案 C
3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y=的部分图象大致为( )
解析 令f(x)=,定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z},又f(-x)=-f(x),∴f(x)在定义域内为奇函数,图象关于原点对称,B不正确.又f =0,f(π)=0,f =<0.∴选项A,D不正确,只有选项C满足.
答案 C
4.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a
解析 由f(x)=2|x-m|-1是偶函数可知m=0,
所以f(x)=2|x|-1.
所以a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2,
b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4,
c=f(0)=2|0|-1=0,所以cf(-),则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
解析 ∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴在(0,+∞)上单调递减,f(-)=f(),∴f(2|a-1|)>f(),∴2|a-1|<=2,∴|a-1|<,即--1.
答案 {x|x>-1}
7.(2017·郴州二模)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(log4)=-3,则a的值为________.
解析 ∵奇函数f(x)满足f =-3,而log4=-2<0,∴f(-2)=-3,即f(2)=3,
又∵当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),又2>0,
∴f(2)=a2=3,解之得a=.
答案
8.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.
解析 易知f(x)在R上为偶函数,
则由f(x)>f(2x-1),得f(|x|)>f(|2x-1|),
当x>0时,f(x)=ln(1+x)-在[0,+∞)上是增函数,从而|x|>|2x-1|,
两边平方,得3x2-4x+1<0,解之得0,2x2+1>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若-13时,f′(x)>0;当00时,令f′(x)=0,得x1=,x2=.
若00,f(x)>f(0)=0,不符合题意.
若a>1,此时-1f(0)=0,不符合题意.
若a=1,由(1)知,函数f(x)在x=0处取得最大值0,符合题意,
综上实数a的取值范围为{1}.