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  • 2021-06-16 发布

2018届二轮复习(理)专题一 函数与导数、不等式第1讲学案(全国通用)

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第1讲 函数图象与性质 高考定位 1.以基本初等函数为载体,考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质,能用函数的图象性质解决简单问题;3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y=1+x+的部分图象大致为(  )‎ 解析 法一 易知g(x)=x+为奇函数,其图象关于原点对称.所以y=1+x+的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度,选项D满足.‎ 法二 当x=1时,f(1)=1+1+sin 1=2+sin 1>2,排除A,C.又当x→+∞时,y→+∞,B项不满足,D满足.‎ 答案 D ‎2.(2017·山东卷)设f(x)=若f(a)=f (a+1),则f =(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ 解析 由已知得a>0,∴a+1>1,‎ ‎∵f(a)=f(a+1),∴=2(a+1-1),‎ 解得a=,∴f =f(4)=2(4-1)=6.‎ 答案 C ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(  )‎ A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]‎ 解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1),又f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,‎ ‎∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.‎ 答案 D ‎4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=(  )‎ A.0 B.m C.2m D.4m 解析 ∵f(x)=f(2-x),‎ ‎∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称.‎ 又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象关于直线x=1对称,‎ ‎∴两函数图象的交点关于直线x=1对称.‎ 当m为偶数时,xi=2×=m;‎ 当m为奇数时,xi=2×+1=m.‎ 答案 B 考 点 整 合 ‎1.函数的性质 ‎(1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.‎ ‎(2)奇偶性:①若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x).‎ ‎②若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0.‎ ‎③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性,‎ 偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.‎ ‎(3)周期性:①若y=f(x)对x∈R,f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数.‎ ‎②若y=f(x)是偶函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2|a|的周期函数.‎ ‎③若y=f(x)是奇函数,其图象又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4|a|的周期函数.‎ ‎④若f(x+a)=-f(x),则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数.‎ 易错提醒 错用集合运算符号致误:函数的多个单调区间若不连续,不能用符号“∪”连接,可用“和”或“,”连接.‎ ‎2.函数的图象 ‎(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时,要注意结合其图象研究.‎ ‎(3)函数图象的对称性 ‎①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;‎ ‎②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.‎ 热点一 函数及其表示 ‎【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y=的定义域为(  )‎ A.(-∞,1] B.[-1,1]‎ C.∪ D.∪ ‎(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=(  )‎ A.- B.- C.- D.- 解析 (1)函数有意义,则 即 所以函数的定义域为.‎ ‎(2)若a≤1,则f(a)=2a-1-2=-3,2a-1=-1,无解;‎ 若a>1,则f(a)=-log2(a+1)=-3,a=7,‎ 故f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-2=-.‎ 答案 (1)C (2)A 探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合,只需构建不等式(组)求解即可.‎ ‎(2)抽象函数:根据f(g(x))中g(x)的范围与f(x)中x的范围相同求解.‎ ‎2.对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;形如f(g(x))的函数求值时,应遵循先内后外的原则.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·郑州二模)函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga+loga=(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎(2)已知函数f(x)=(a∈R),若f(f(-1))=1,则a=(  )‎ A. B. C.1 D.2‎ 解析 (1)当x=1时,y=0,则函数在[0,1]上为减函数,故a>1.∴当x=0时,y=1,则=1,∴a=2.‎ 则loga+loga=loga=log28=3.‎ ‎(2)∵f(-1)=2-(-1)=2,‎ ‎∴f[f(-1)]=f(2)=4a=1,解得a=.‎ 答案 (1)C (2)A 热点二 函数的图象及应用 命题角度1 函数图象的识别 ‎【例2-1】 (2017·汉中模拟)函数f(x)=·sin x的图象大致形状为(  )‎ 解析 ∵f(x)=·sin x,‎ ‎∴f(-x)=·sin(-x)=-sin x=·sin x=f(x).‎ ‎∴函数f(x)为偶函数,故排除C,D,‎ 当x=2时,f(2)=·sin 2<0,故排除B,只有A符合.‎ 答案 A 命题角度2 函数图象的应用 ‎【例2-2】 (1)(2017·历城冲刺)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)(  )‎ A.有最小值-1,最大值1 B.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 D.有最大值-1,无最小值 ‎(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析 (1)画出y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,它们交于A,B两点.由“规定”,在A,B两侧,|f(x)|≥g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之间,|f(x)|0时,与y=|f(x)|在y轴右侧总有交点,不合题意;当a=0时成立;当a<0时,找与y=|-x2+2x|(x≤0)相切的情况,即y′=2x-2,切点为(0,0),此时a=2×0-2=-2,即有-2≤a<0,综上,a∈[-2,0].‎ 答案 (1)A (2)D 热点三 函数的性质与应用 ‎【例3】 (1)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.‎ ‎(2)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.alog25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),‎ ‎∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8),则c>a>b.‎ 法二 (特殊化)取f(x)=x,则g(x)=x2为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,又3>log25.1>20.8,‎ 从而可得c>a>b.‎ 答案 (1)6 (2)C 探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解.‎ ‎2.函数单调性应用:可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.‎ ‎【训练3】 (1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于________.‎ ‎(2)(2017·西安质检)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,则(  )‎ A.f(-3)f >f(0),即f(-3)>f >f(2).‎ 答案 (1)-8 (2)D ‎1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域,如求函数f(x)=的定义域时,只考虑x>0,忽视ln x≠0的限制.‎ ‎2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(|x|)=f(x).‎ ‎3.三种作函数图象的基本思想方法 ‎(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图;‎ ‎(2)对函数解析式进行恒等变换,转化为已知方程对应的曲线;‎ ‎(3)通过研究函数的性质,明确函数图象的位置和形状.‎ ‎4.函数是中学数学的核心,函数思想是重要的思想方法,利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质,对于给定的函数若不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个函数图象,数形结合直观求解.‎ 一、选择题 ‎1.(2017·唐山一模)若函数f(x)=则f(f(2))=(  )‎ A.1 B.4 C.0 D.5-e2‎ 解析 由题意知,f(2)=5-4=1,f(1)=e0=1,‎ 所以f(f(2))=1.‎ 答案 A ‎2.(2017·衡阳二模)已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0},且g(x)≠0,设p:函数f(x)=g(x)是偶函数;q:函数g(x)是奇函数,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 令h(x)=-(x≠0)易得h(x)+h(-x)=0,h(x)为奇函数,g(x)是奇函数,f(x)为偶函数;反过来也成立.因此p是q的充要条件.‎ 答案 C ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y=的部分图象大致为(  )‎ 解析 令f(x)=,定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z},又f(-x)=-f(x),∴f(x)在定义域内为奇函数,图象关于原点对称,B不正确.又f =0,f(π)=0,f =<0.∴选项A,D不正确,只有选项C满足.‎ 答案 C ‎4.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 解析 由f(x)=2|x-m|-1是偶函数可知m=0,‎ 所以f(x)=2|x|-1.‎ 所以a=f(log0.53)=2|log0.53|-1=2log23-1=2,‎ b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4,‎ c=f(0)=2|0|-1=0,所以cf(-),则a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.∪ 解析 ∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,∴在(0,+∞)上单调递减,f(-)=f(),∴f(2|a-1|)>f(),∴2|a-1|<=2,∴|a-1|<,即--1.‎ 答案 {x|x>-1}‎ ‎7.(2017·郴州二模)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(log4)=-3,则a的值为________.‎ 解析 ∵奇函数f(x)满足f =-3,而log4=-2<0,∴f(-2)=-3,即f(2)=3,‎ 又∵当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),又2>0,‎ ‎∴f(2)=a2=3,解之得a=.‎ 答案  ‎8.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是________.‎ 解析 易知f(x)在R上为偶函数,‎ 则由f(x)>f(2x-1),得f(|x|)>f(|2x-1|),‎ 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-在[0,+∞)上是增函数,从而|x|>|2x-1|,‎ 两边平方,得3x2-4x+1<0,解之得0,2x2+1>0.‎ ‎∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0).‎ ‎(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若-13时,f′(x)>0;当00时,令f′(x)=0,得x1=,x2=.‎ 若00,f(x)>f(0)=0,不符合题意.‎ 若a>1,此时-1f(0)=0,不符合题意.‎ 若a=1,由(1)知,函数f(x)在x=0处取得最大值0,符合题意,‎ 综上实数a的取值范围为{1}.‎

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