2018-2019学年广东省江门市第二中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年广东省江门市第二中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知，，那么下列不等式中一定成立的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 若，，则，‎ 则，故A不成立；‎ 不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；‎ ‎∵，，∴,故C不成立，‎ ‎，，则，成立，故D正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础．‎ ‎2．不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将一元二次不等式因式分解，再结合二次函数的图像即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以或，‎ 即原不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题型.‎ ‎3．已知分别为内角的对边，若，，，则锐角的大小是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接根据正弦定理建立方程关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 由正弦定理得，‎ 得，‎ 则锐角，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于简单题．正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎4．已知分别为内角的对边，若，，，则　　‎ A．5 B．11 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，,直接利用余弦定理可求的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ 由余弦定理可得，‎ 即，‎ 解得：，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）‎ ‎，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎5．在中，，，所对的边为a，b，c，，，，则c等于　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】将三角形面积表示为，代入条件计算可得c ‎【详解】‎ ‎，解得．故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 对于面积公式，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 ‎6．在等差数列中，已知，则　　‎ A．9 B．8 C．81 D．63‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的下标性质，可得，从而可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 得，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列性质的应用，属于简单题. 等差数列中，若则．‎ ‎7．已知数列是等比数列，且，，则　　‎ A．15 B．24 C．32 D．64‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，利用等比数列的通项公式可得公比，由此能求出．‎ ‎【详解】‎ 因为，， ‎ 所以，即，‎ 可得公比， 故,故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列通项公式基本量运算，是基础题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.‎ ‎8．　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，利用裂项相消法可求得数列的和 ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列求和，对数列，其中为等差数列，且公差，则．项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎9．数列1，，3，4，…的前n项和为(　　)‎ A． (n2＋n＋2)－ B．n(n＋1)＋1－‎ C． (n2－n＋2)－ D．n(n＋1)＋2(1－)‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用分组求和法求数列1，2，3，4，…的前n项和.‎ ‎【详解】‎ ‎1＋2＋3＋…＋(n＋)‎ ‎＝(1＋2＋…＋n)＋(＋＋…＋)‎ ‎＝＋‎ ‎＝ (n2＋n)＋1－‎ ‎＝ (n2＋n＋2)－‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差等比数列的前n 项和，考查数列分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10．两灯塔与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东，在南偏东，则之间的距离为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据方位角的定义，由已知的和，求出的度数，在三角形中，再由，利用余弦定理即可表示出的值．‎ ‎【详解】‎ 根据图形可知， 在中，， 根据余弦定理得：，‎ 所以, 即之间的距离为 ,故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形的实际应用，涉及的知识有方位角的定义，余弦定理，考查了数形结合的思想，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎11．若实数x，y满足，则的最大值为　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据，即可求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：实数x，y满足，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，时取等号，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．‎ ‎12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色,先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是（ ）‎ A．3972 B．3974 C．3991 D．3993‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意知，每次涂成红色的数字成等差数列，并且第n次染色时所染的最后一个数是n(2n-1)，可以求出2019个数是在第45次染色的倒数第7个数，因此可求得结果．‎ ‎【详解】‎ 第1此染色的数为1=1 ，共染色1个，‎ 第2次染色的最后一个数为6=2，共染色3个，‎ 第3次染色的最后一个数为15=3，共染色5个，‎ 第4次染色的最后一个数为28=4，共染色7个，‎ 第5次染色的最后一个数为45=5，共染色9个，‎ ‎…‎ ‎∴第n次染色的最后一个数为n，共染色2n-1个，‎ 经过n次染色后被染色的数共有1+3+5+…+（2n-1）=n2个，‎ 而2019，‎ ‎∴第2019个数是在第45次染色时被染色的，第45次染色的最后一个数为45，且相邻两个数相差2，‎ ‎∴2019＝45＝3993．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 考查数列的性质和应用，解题是注意公式的灵活应用，此题是以一个数阵形式呈现的，考查观察、分析、归纳、解决问题的能力，属中档题．‎ 二、填空题 ‎13．－1与＋1的等比中项是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等比数列的等比中项即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎＋1与－1的等比中项是±.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.‎ ‎14．若的三边长为2，3，4，则的最大角的余弦值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用三角形的三边关系式和余弦定理求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据大边对大角得到：‎ 设，，，‎ 所以：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角形的三边关系式及余弦定理的应用．‎ ‎15．数列的通项公式，它的前n项和为，则_________．‎ ‎【答案】99‎ ‎【解析】试题分析：,可得前n项和，所以，则.‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎16．对任意，都有，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据不等式转化为方程，根据判别式求解.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，m需满足方程=0无解，即，‎ ‎ ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．解下列不等式.‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎【答案】（1）;（2）或 ‎【解析】⑴运用一元二次不等式求出结果 ‎⑵将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求出结果 ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 即 解得 所以不等式的解集为 ‎(2)等价于解得或 所以不等式的解集为或 ‎【点睛】‎ 本题考查了解不等式，尤其是分式不等式可以将其转化为一元二次不等式来求解，需要掌握解题方法，较为基础.‎ ‎18．在中，角所对的边分别为.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值；‎ ‎（2）利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1） ，由余弦定理可得 ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．‎ ‎19．已知等差数列的前n项和为，且，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据（1）的结论求得数列的前项和公式.‎ ‎【详解】‎ 设的公差为d，则由题意得，‎ 解得：.‎ ‎(1)的通项公式为，‎ 即.‎ ‎（2）的前n项和为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.‎ ‎20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知．‎ ‎1求角C的大小 ‎2若，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围，即可得解的值．‎ ‎（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理，得 ‎，‎ 在中，因为，所以 故， ‎ 又因为0＜C＜，所以． ‎ ‎（Ⅱ）由已知，得.‎ 又，所以. ‎ 由已知及余弦定理，得， ‎ 所以，从而.即 ‎ 又，所以的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．‎ ‎21．建造一间地面面积为12的背面靠墙的猪圈, 底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/, 侧面的造价为80元/, 屋顶造价为1120元. 如果墙高3, 且不计猪圈背面的费用, 问怎样设计能使猪圈的总造价最低, 最低总造价是多少元?‎ ‎【答案】当猪圈正面底边为4米侧面底边为3米时, 总造价最低为4000元. ‎ ‎【解析】试题分析：解：设猪圈底面正面的边长为xm，则其侧面边长为m---（2分）那么猪圈的总造价y=3x×120+3××80×2+112=360x++1120，---（3分）因为360x+≥2=2880，---（2分）当且仅当360x=，即x=4时取“=”，（1分）所以当猪圈正面底边为4米侧面底边为3米时，总造价最低为4000元 ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用 点评：本小题主要考基本不等式在最值问题中的应用等基础知识，观察函数特点：为一个含有两个部分，这两部分的积为一个常数，求和的最值，所以利用基本不等式求最值．‎ ‎22．已知等差数列满足．‎ ‎（1） 求的通项公式；‎ ‎（2） 设等比数列满足 ,求的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设的公差为，则由得,‎ 故的通项公式，即．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 设的公比为，则，从而，‎ 故的前项和．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.‎