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- 2021-06-16 发布
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东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试
数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、 选择题(共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.)
1.已知集合,集合,则有
A. B. C. D.
2.若复数满足,则在复平面内与复数对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.“为第一或第四象限角”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度. 某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为70%,2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加该项目户数占2019年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表:
实施项目
种植业
养殖业
工厂就业
服务业
参加户占比
40%
40%
10%
10%
脱贫率
95%
95%
90%
90%
那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )倍
A. B. C. D.
5.已知正项等比数列的前项和为,,则公比的值为
A. B. C. D.
6.在平行四边形中,为的中点,为的中点,若,则
A. B. C. D.
7.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地,若强度为的声音对应的等级为dB,则有,则90dB的声音与60dB的声音强度之比
A.100 B.1000 C. D.
8.如图,在以下四个正方体中,使得直线与平面垂直的个数是
① ② ③ ④
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知圆与抛物线的准线交于,两点,且,为该抛物线上一点,,垂足为点,点为该抛物线的焦点.若是等边三角形,则的面积为
A. B.4 C. D.2
10.已知函数,若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
11.已知为双曲线上位于右支上的动点,过作两渐近线的垂线,垂足分别为,,则的最小值为
A. B. C. D.
12.已知函数(,)满足,
,且在区间上是单调函数,则的值可能是
A.3 B.4 C.5 D.6
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(共4小题,每题5分,共20分,将答案填在答题纸上.)
13.等差数列中,,公差,是其前项和,若,则 .
14.已知实数,满足约束条件,则的最小值为 .
15.圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,若圆锥的底面半径为3,则圆锥的内切球的表面积为 .
16.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数. 设,则函数的所有零点之和为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
在 ①,②,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.
已知在锐角中,角,,的对边分别为,,,的面积为,若
,,求的面积的大小.
18.(本小题满分12分)
一饮料店制作了一款新饮料,为了进行合理定价先进行试销售,其单价x(元)与销量(杯)的相关数据如下表:
单价x(元)
8.5
9
9.5
10
10.5
销量y(杯)
120
110
90
70
60
(Ⅰ)已知销量y与单价x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)若该款新饮料每杯的成本为8元,试销售结束后,请利用(Ⅰ)所求的线性回归方程确定单价定为多少元时,销售的利润最大?(结果四舍五入保留到整数)
附:线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式:,,,.
19.(本小题满分12分)
如图,在四边形中,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若为的中点,,三棱锥的表面积为,求三棱锥的体积.
20.(本小题满分12分)
已知函数,.
(Ⅰ)求 的单调区间;
(Ⅱ)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点. 如果函数存在不动点,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动,动点满足,记动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设曲线与轴的正半轴交于点,过点作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点,两点,连接,求的面积的最大值.
请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数). 以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若射线与曲线交于,两点,求.
23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】
已知,函数,.
(Ⅰ)若,求的取值范围;
(Ⅱ)若对恒成立,求的最大值与最小值之和.
东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题(文科)
考试时间:120分钟 试卷满分:150分 命题:高三数学备课组
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、 选择题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,选出符合
题目要求的一项。
1.已知集合,集合,则有()
A. B. C. D.
【详解】,
故选C.
2.若复数满足,则与复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限
【详解】,点位于第四象限
故选:D
3.“为第一或第四象限角”是“”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【详解】时,是第一或第二象限角或终边在轴正半轴,因此“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
4.C
5.已知正项等比数列的前项和为,,则公比的值为()
A. B. C. D.
【详解】,.,
化为:,解得.
故选:.
6.如图,在平行四边形中,为的中点,为的中点,若,则
A. B. C. D.
【解析】连接,,则.
故答案为:C.
7.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为的声音对应的等级为的dB,则有,则90dB的声音与60dB的声音强度之比
A.100B.1000 C. D.
【详解】令,则,则,同理,所以
答案:B
8.如图,在以下四个正方体中,使得直线与平面垂直的个数是()
① ② ③ ④
A.1 B.2 C.3 D.4
【详解】对于A,由与所成角为,
可得直线与平面不垂直;
对于B,由,,,
可得平面;
对于C,由与所成角为,
可得直线与平面不垂直;
对于D,连接,由平面,
可得,同理可得,
又,所以平面.
故选:B
9.已知圆与抛物线的准线交于,两点,且,为该抛物线上一点,于点,点为该抛物线的焦点.若是等边三角形,则的面积为( )
A. B. 4 C. D. 2
【详解】由可得圆心到的距离为,即,即
所以抛物线的方程为
因为是等边三角形,焦点到准线的距离为2
所以的边长为4
所以
故选:A
10.已知函数若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】存在两对称点,,则,即,故与有交点,先求得与相切时的斜率,进而求解即可
【详解】由题,设两对称点,,,则,所以,即与有交点,设与的切点为,则切线斜率为,又有,所以,即,所以当与有交点时,,故选:B
11.已知为双曲线上位于右支上的动点,过作两渐近线的垂线,垂足分别为,,则的最小值为
A.B. C.D.
【详解】由题意双曲线的渐近线为,即,
设,不妨设在渐近线上,
在双曲线上,则,,
,,∴
两渐近线夹角为,∴,,当且仅当时等号成立,∴,即最小值为,D正确.
12.已知函数(,)满足,,且在上是单调函数,则的值可能是
A.3 B.4C.5 D.6
【详解】函数满足,所以函数关于对称,同时又满足,所以函数又关于对称,设周期为,
,而显然是奇数,
当=3时,,关于对称,
,而,,,
,显然不单调;
当=5时,,关于对称,
,而,,,
,显然单调,
故选C
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.在等差数列中,首项,公差,是其前项和,若,则
答案:46
解:因为等差数列中,首项,公差,其前项和,
所以,,
,
,
解得,
14.已知点满足约束条件则的最小值为________.
【答案】
【详解】作出可行域,如图,由图可知点到距离最小,
联立和,得,所以原点到点的距离的最小值为.
故答案为:.
15.圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,,则圆锥的内切球的表面积为
【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l,则侧面积为,
侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,所以轴截面为边长为6的等边三角形
其内切圆的半径为,所以所求内切球的表面积为
16.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数.设,则函数的所有零点之和为
【详解】由题意知,当时,,所以不是函数的零点,
当时,可得,,
令,
作出函数的图象如图所示:
由图象可知,除点外,函数图象其余交点关于(0,1)中心对称,∴横坐标互为相反数,即,
由函数零点的定义知,函数的所有零点之和为
.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
①,②,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.
已知在锐角中,角,,的对边分别为,,,的面积为,若,,求的面积的大小.
【详解】因为,,
,所以.
显然,所以,又,所以.
若选择①由得,
又,,由,
得.
又
,
所以.
若选择②,
所以
18. (本小题满分12分)
18.(本小题满分12分)
一饮料店制作了一款新饮料,为了进行合理定价先进行试销售,其单价x
(元)与销量(杯)的相关数据如下表:
单价x(元)
8.5
9
9.5
10
10.5
销量y(杯)
120
110
90
70
60
(Ⅰ)已知销量y与单价x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)若该款新饮料每杯的成本为8元,试销售结束后,请利用(Ⅰ)所求的线性回归方程确定单价定为多少元时,销售的利润最大?(结果四舍五入保留到整数)
附:线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式:,,,.
19. (本小题满分12分)
如图,在四边形中,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.
(1)证明:平面;
(Ⅱ)若为的中点,,三棱锥的表面积为,求三棱锥的体积.
【详解】(1)证明:因为,
所以平面,
又因为平面,所以.
又因为,
所以平面.
(2)∵平面,
∴三棱锥的各面均为直角三角形,
设,则,,
∴三棱锥的表面积为,
∴
∵为的中点,
∴
20.(本小题满分12分)
已知函数,.
(1)求 的单调区间;
(2)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.如果函数存在不动点,求实数的取值范围.
【详解】(1)的定义域为,
对于函数,
①当时,在恒成立.
在恒成立.在为增函数;
② 当时,由,得;
由,得;
在为增函数,在减函数.
综上,当时,的单调递增区间为
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为
(2),
存在不动点,方程有实数根,即有解,
………………5分
令,,………………6分
令,得,
当时,单调递减;
当时,单调递增;
, ………………8分
设,则,,即时,
将两边取对数,则 ………………10分
当时,
当时 ,
当时,有不动点,
的范围为. ………………12分
21.(本小题满分12分)
已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动,动点满足,记动点
的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设曲线与轴的正半轴交于点,过点作互相垂直的两条直线,分别交曲线C于点,两点,连接,求的面积的最大值.
【详解】(Ⅰ)解:设.
,
,即.
. 又,.
从而.
曲线的方程为.
(Ⅱ)由题意可知,直线的斜率存在且不为o.
故可设直线的方程为,由对称性,不妨设,
由,消去得,
则,将式子中的换成,得:.
,
设,则.
故,取等条件为即,
即,解得时,取得最大值.
请考生在22~23中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程;
(2)若射线与曲线交于,两点,求.
解:(1)由得,
即,
故曲线的极坐标方程为.
射线的直角坐标方程为.
(2)将代入,
得,即,
则,,
所以.
23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】
已知,函数,.
(1)若,求的取值范围;
(2)若对恒成立,求的最大值与最小值之和.
解:(1)因为,所以,
两边同时平方得,
即,
当时,;
当时,.
(2)因为,
所以的最小值为3,
所以,则,
解得,
故的最大值与最小值之和为.