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  • 2021-06-16 发布

辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学(文)试题

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‎ 东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试 数学试题(文科)‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、 选择题(共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)‎ ‎1.已知集合,集合,则有 A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足,则在复平面内与复数对应的点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.“为第一或第四象限角”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度. 某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为70%,2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加该项目户数占2019年贫困户总数的比)及该项目的脱贫率见下表:‎ 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加户占比 ‎40%‎ ‎40%‎ ‎10%‎ ‎10%‎ 脱贫率 ‎95%‎ ‎95%‎ ‎90%‎ ‎90%‎ 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的( )倍 A. B. C. D.‎ ‎5.已知正项等比数列的前项和为,,则公比的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在平行四边形中,为的中点,为的中点,若,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地,若强度为的声音对应的等级为dB,则有,则90dB的声音与60dB的声音强度之比 ‎ A.100 B.1000 C. D.‎ ‎8.如图,在以下四个正方体中,使得直线与平面垂直的个数是 ‎ ① ② ③ ④‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.已知圆与抛物线的准线交于,两点,且,为该抛物线上一点,,垂足为点,点为该抛物线的焦点.若是等边三角形,则的面积为 ‎ A. B.4 C. D.2‎ ‎10.已知函数,若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎11.已知为双曲线上位于右支上的动点,过作两渐近线的垂线,垂足分别为,,则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数(,)满足,‎ ‎,且在区间上是单调函数,则的值可能是 A.3 B.4 C.5 D.6‎ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题(共4小题,每题5分,共20分,将答案填在答题纸上.)‎ ‎13.等差数列中,,公差,是其前项和,若,则 .‎ ‎14.已知实数,满足约束条件,则的最小值为 .‎ ‎15.圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,若圆锥的底面半径为3,则圆锥的内切球的表面积为 . ‎ ‎16.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数. 设,则函数的所有零点之和为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在 ①,②,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.‎ 已知在锐角中,角,,的对边分别为,,,的面积为,若 ‎,,求的面积的大小.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 一饮料店制作了一款新饮料,为了进行合理定价先进行试销售,其单价x(元)与销量(杯)的相关数据如下表:‎ 单价x(元)‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ 销量y(杯)‎ ‎120‎ ‎110‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎(Ⅰ)已知销量y与单价x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(Ⅱ)若该款新饮料每杯的成本为8元,试销售结束后,请利用(Ⅰ)所求的线性回归方程确定单价定为多少元时,销售的利润最大?(结果四舍五入保留到整数)‎ 附:线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式:,,,.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,在四边形中,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若为的中点,,三棱锥的表面积为,求三棱锥的体积.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求 的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点. 如果函数存在不动点,求实数的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动,动点满足,记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线与轴的正半轴交于点,过点作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点,两点,连接,求的面积的最大值.‎ 请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数). 以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若射线与曲线交于,两点,求.‎ ‎23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】‎ 已知,函数,.‎ ‎(Ⅰ)若,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求的最大值与最小值之和.‎ 东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题(文科)‎ ‎ 考试时间:120分钟 试卷满分:150分 命题:高三数学备课组 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、 选择题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合,集合,则有()‎ A. B. C. D.‎ ‎【详解】,‎ 故选C.‎ ‎2.若复数满足,则与复数对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 ‎【详解】,点位于第四象限 故选:D ‎3.“为第一或第四象限角”是“”的()‎ A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 ‎【详解】时,是第一或第二象限角或终边在轴正半轴,因此“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎4.C ‎5.已知正项等比数列的前项和为,,则公比的值为()‎ A. B. C. D.‎ ‎【详解】,.,‎ 化为:,解得.‎ 故选:.‎ ‎6.如图,在平行四边形中,为的中点,为的中点,若,则 A. B. C. D.‎ ‎【解析】连接,,则.‎ 故答案为:C.‎ ‎7.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为的声音对应的等级为的dB,则有,则90dB的声音与60dB的声音强度之比 A.100B.1000 C. D.‎ ‎【详解】令,则,则,同理,所以 答案:B ‎8.如图,在以下四个正方体中,使得直线与平面垂直的个数是()‎ ‎ ① ② ③ ④‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【详解】对于A,由与所成角为,‎ 可得直线与平面不垂直;‎ 对于B,由,,,‎ 可得平面;‎ 对于C,由与所成角为,‎ 可得直线与平面不垂直;‎ 对于D,连接,由平面,‎ 可得,同理可得,‎ 又,所以平面.‎ 故选:B ‎9.已知圆与抛物线的准线交于,两点,且,为该抛物线上一点,于点,点为该抛物线的焦点.若是等边三角形,则的面积为( )‎ A. B. 4 C. D. 2‎ ‎【详解】由可得圆心到的距离为,即,即 所以抛物线的方程为 因为是等边三角形,焦点到准线的距离为2‎ 所以的边长为4‎ 所以 故选:A ‎10.已知函数若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】存在两对称点,,则,即,故与有交点,先求得与相切时的斜率,进而求解即可 ‎【详解】由题,设两对称点,,,则,所以,即与有交点,设与的切点为,则切线斜率为,又有,所以,即,所以当与有交点时,,故选:B ‎11.已知为双曲线上位于右支上的动点,过作两渐近线的垂线,垂足分别为,,则的最小值为 A.B. C.D.‎ ‎【详解】由题意双曲线的渐近线为,即,‎ 设,不妨设在渐近线上,‎ 在双曲线上,则,,‎ ‎,,∴‎ 两渐近线夹角为,∴,,当且仅当时等号成立,∴,即最小值为,D正确.‎ ‎12.已知函数(,)满足,,且在上是单调函数,则的值可能是 A.3 B.4C.5 D.6‎ ‎【详解】函数满足,所以函数关于对称,同时又满足,所以函数又关于对称,设周期为,‎ ‎,而显然是奇数,‎ 当=3时,,关于对称,‎ ‎,而,,,‎ ‎,显然不单调;‎ 当=5时,,关于对称,‎ ‎,而,,,‎ ‎,显然单调,‎ 故选C 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.在等差数列中,首项,公差,是其前项和,若,则 答案:46‎ 解:因为等差数列中,首项,公差,其前项和,‎ 所以,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎14.已知点满足约束条件则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】作出可行域,如图,由图可知点到距离最小,‎ 联立和,得,所以原点到点的距离的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎15.圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,,则圆锥的内切球的表面积为 ‎【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l,则侧面积为,‎ 侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,所以轴截面为边长为6的等边三角形 其内切圆的半径为,所以所求内切球的表面积为 ‎16.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数称为高斯函数,其中表示不超过的最大整数.设,则函数的所有零点之和为 ‎【详解】由题意知,当时,,所以不是函数的零点,‎ 当时,可得,,‎ 令,‎ 作出函数的图象如图所示:‎ 由图象可知,除点外,函数图象其余交点关于(0,1)中心对称,∴横坐标互为相反数,即,‎ 由函数零点的定义知,函数的所有零点之和为 ‎.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎①,②,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.‎ 已知在锐角中,角,,的对边分别为,,,的面积为,若,,求的面积的大小.‎ ‎【详解】因为,,‎ ‎,所以.‎ 显然,所以,又,所以.‎ 若选择①由得,‎ 又,,由,‎ 得.‎ 又 ‎,‎ 所以.‎ 若选择②,‎ 所以 ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 一饮料店制作了一款新饮料,为了进行合理定价先进行试销售,其单价x ‎(元)与销量(杯)的相关数据如下表:‎ 单价x(元)‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ 销量y(杯)‎ ‎120‎ ‎110‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎(Ⅰ)已知销量y与单价x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(Ⅱ)若该款新饮料每杯的成本为8元,试销售结束后,请利用(Ⅰ)所求的线性回归方程确定单价定为多少元时,销售的利润最大?(结果四舍五入保留到整数)‎ 附:线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式:,,,.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图,在四边形中,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)若为的中点,,三棱锥的表面积为,求三棱锥的体积.‎ ‎【详解】(1)证明:因为,‎ 所以平面,‎ 又因为平面,所以.‎ 又因为,‎ 所以平面.‎ ‎(2)∵平面,‎ ‎∴三棱锥的各面均为直角三角形,‎ 设,则,,‎ ‎∴三棱锥的表面积为,‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点,‎ ‎∴‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(1)求 的单调区间;‎ ‎(2)定义:对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点.如果函数存在不动点,求实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)的定义域为,‎ 对于函数,‎ ‎①当时,在恒成立.‎ 在恒成立.在为增函数;‎ ‎② 当时,由,得;‎ 由,得;‎ 在为增函数,在减函数.‎ 综上,当时,的单调递增区间为 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为 ‎(2),‎ 存在不动点,方程有实数根,即有解, ‎ ‎ ………………5分 ‎ 令,,………………6分 ‎ 令,得,‎ 当时,单调递减; ‎ 当时,单调递增; ‎ ‎, ………………8分 设,则,,即时,‎ 将两边取对数,则 ………………10分 当时,‎ 当时 , ‎ 当时,有不动点,‎ 的范围为. ………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动,动点满足,记动点 的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线与轴的正半轴交于点,过点作互相垂直的两条直线,分别交曲线C于点,两点,连接,求的面积的最大值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)解:设.‎ ‎,‎ ‎,即.‎ ‎. 又,.‎ 从而.‎ 曲线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由题意可知,直线的斜率存在且不为o.‎ 故可设直线的方程为,由对称性,不妨设,‎ 由,消去得,‎ 则,将式子中的换成,得:.‎ ‎,‎ 设,则.‎ 故,取等条件为即,‎ 即,解得时,取得最大值.‎ 请考生在22~23中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若射线与曲线交于,两点,求.‎ 解:(1)由得,‎ 即,‎ 故曲线的极坐标方程为.‎ 射线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将代入,‎ 得,即,‎ 则,,‎ 所以.‎ ‎23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】‎ 已知,函数,.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)若对恒成立,求的最大值与最小值之和.‎ 解:(1)因为,所以,‎ 两边同时平方得,‎ 即,‎ 当时,;‎ 当时,.‎ ‎(2)因为,‎ 所以的最小值为3,‎ 所以,则,‎ 解得,‎ 故的最大值与最小值之和为.‎