安徽省池州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中教学质量检测数学（文）试题 9页

‎2019～2020学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．已知复数在复平面内对应点的坐标分别为，则的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．设，则“”是“”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎4．与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的定义域为R，则实数m的取值范围是      ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设a为实数，函数，且是偶函数，则的递减区间为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、 ②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是（ ）‎ A．分析法，综合法 ‎ B．综合法，分析法 C．综合法，反证法 ‎ D．分析法，反证法 ‎9．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是奇函数，当时，当时，等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设，分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点，，若，则椭圆E的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．已知命题p：，是真命题，则实数a的取值范围是______ ．‎ ‎14．已知集合，，则__________．‎ ‎15．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型预测，当时，y的估计值是__________．‎ ‎16．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是__________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知函数 ‎ ‎（1）求函数的极值 ‎（2）求函数在区间上的最值． ‎ ‎18．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：‎ ‎ 性别 是否需要志愿者 男 女 需要 ‎40‎ ‎30‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？‎ ‎（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．‎ 附：‎ k ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的顶点在坐标原点，‎ ‎ 过点的直线l与抛物线交于A，B两点．‎ ‎（1）写出抛物线的标准方程 ‎（2）求面积的最小值． ‎ ‎20．已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l：与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ‎ ‎21．已知函数， （1）当时，，求函数的值域；‎ ‎（2）若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围． ‎ ‎ ‎ ‎22．已知函数 ．‎ ‎（I）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（II）当 时，求函数的单调区间；‎ ‎（III）若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. A 2. D 3. A 4. C 5. B 6. C 7. D 8. B 9. A 10. A 11. D 12. A ‎ ‎13.   ‎ ‎14.   ‎ ‎15.   ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：， 当时，，单调递减 当时，，单调递增． 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值．-----5分 由得在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间上的最小值为 因为，， 所以在区间上的最大值为．------10分 ‎  ‎ ‎18. 解：调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助， 因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为；-----3分 ， 因为， 所以有的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；---------9分 根据的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．  -------12分 ‎19. 解：椭圆的右焦点，即抛物线的焦点． 又抛物线的顶点在坐标原点， 所以抛物线的标准方程为．-------4分 当直线AB的斜率不存在时，直线方程为， 此时，的面积．------6分 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为． 由，得，． 设，， 由根与系数的关系，得，，-------9分 所以 ． 综上所述，面积的最小值为16．------12分 ‎  ‎ ‎20. 解：设椭圆的半焦距为c，则由题设，得： 解得 所以， 故所求椭圆C的方程为；--------5分 存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O． 理由如下： 设点，， 将直线l 的方程代入， 并整理，得， 则，．--------8分 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O， 所以，即．--------9分 又 ， 于是，解得， 经检验知：此时式的，符合题意． 所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．  -----12分 ‎21. 解：当时，令， 由，得，， 当时，；当时，． 函数的值域为；-----------6分 设，则，在对任意的实数x恒成立， 等价于在上恒成立， 令， 当，即时，在上单调递增， 则有，得， 所以；---------------9分 当，即时，在上先递减再递增， 则有，得， 所以． 综上所述，实数a的取值范围为．  --------12分 ‎22. 解：Ⅰ因为当时，，‎ 所以．‎ 因为，‎ 所以切线方程为．-----------4分 Ⅱ因为，‎ 令，即．‎ 当，即时， ，函数在上单调递增；-------5分 当，即时，由，得，‎ 若，由，得或；‎ 由，得；--------6分 此时，函数在上递减，在上递增；‎ 若，则，函数在上递减，在上递增；----7分 若，则函数在上递减，在上递增．-------8分 综上，当时，函数的增区间为在，无减区间；‎ 当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是；‎ 当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是．‎ Ⅲ由Ⅱ可知，函数有两个极值点，则．‎ 因为，‎ 所以．--------9分 因为，所以，‎ 因为 ，‎ 所以．--------10分 设，则h．‎ 因为 ，且，‎ h(x)在上单调递减，则，所以．------12分