新疆阿克苏市实验中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 14页

数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设x是实数，则“x＞‎0”‎是“|x|＞‎0”‎的 （ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本小题主要考查充要条件的判定．由充分 而或，不必要，故选A．‎ ‎2.命题“，都有”的否定是（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，即得解.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题，‎ 命题“，都有”否定是: “，使得”‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定是特称命题，考查了学生概念理解的能力，属于基础题.‎ ‎3.如果命题“p∨q”与命题“┓p”都是真命题，那么( )‎ A. 命题p不一定是假命题 B. 命题q一定为真命题 C. 命题q不一定是真命题 D. 命题p与命题q的真假相同 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为是真命题，所以一定为假命题，所以只有为真命题时才为真，选B ‎4.设，是两个集合，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：若，对任意，则，又，则，所以，充分性得证，若，则对任意，有，从而，反之若，则，因此，必要性得证，因此应选充分必要条件．故选C．‎ 考点：充分必要条件．‎ ‎5.空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )‎ A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），=﹣2，从而得到直线AB与CD平行．‎ ‎【详解】∵空间直角坐标系中，‎ A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），‎ ‎∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），‎ ‎∴=﹣2，‎ ‎∴直线AB与CD平行．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎6.若＝(2x，1，3)，＝(1, -2y，9)，如果与为共线向量，则 A. x＝1，y＝1 B. x＝，y＝-‎ C. x＝，y＝－ D. x＝－，y＝‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．‎ ‎【详解】∵=（2x，1，3）与=（1，﹣2y，9）共线，‎ 故有==．‎ ‎∴x=，y=﹣．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．‎ ‎7.已知是两两垂直的单位向量，，则与的数量积等于（ ）‎ A. －15 B. －‎5 ‎C. －3 D. －1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积的运算律可得，再结合即得解.‎ ‎【详解】由于是两两垂直的单位向量，故 故选：A ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算律，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎8.若平面的法向量分别为，并且，则的值为（ ）‎ A. 10 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直，得到两平面的法向量垂直，其数量积为0，计算即得解.‎ ‎【详解】‎ 平面的法向量相互垂直 故选：B ‎【点睛】本题考查了利用向量表示面面垂直，考查了学生转化化归，数学运算的能力，属于基础题.‎ ‎9.在平行六面体ABCD-EFGH中，若=x﹣2y+3z，，则x＋y＋z等于( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，结合=x﹣2y+3z，=，求出x，y，z，即可得出结论．‎ ‎【详解】在平行六面体ABCD﹣EFGH中，=++，‎ ‎∵=x﹣2y+3z，=，‎ ‎∴x=1，﹣2y=1，3z=1，‎ ‎∴，z=，‎ ‎∴x+y+z=，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，空间向量的加法运算，比较基础．‎ ‎10.如图，在正方体ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )‎ A. (1，－2，4) B. (－4,1，－2)‎ C. (2，－2，1) D. (1，2，－2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A、E、F的坐标算出=（0，2，1），=（﹣1，0，2）．设=（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x、y、z的方程组，再取y=1即可得到向量的坐标，从而可得答案．‎ ‎【详解】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），‎ ‎∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）‎ 设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量 则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2‎ ‎∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量 因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量 故选B．‎ ‎【点睛】本题给出空间三个点的坐标，求三点确定平面的法向量的坐标．着重考查了空间向量数量积的公式和运算性质等知识，属于中档题．‎ ‎11.直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A‎1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ‎，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C.‎ 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎12.如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图建立空间直角坐标系，可证明平面，故平面的一个法向量为：，利用点到平面距离的向量公式即得解.‎ ‎【详解】 ‎ 如图建立空间直角坐标系，则：‎ ‎ ‎ 由于平面平面 ‎，又，‎ 平面 故平面的一个法向量为：‎ 到平面的距离为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“若，则”否命题为________________.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题的定义，同时否定条件和结论，即得解.‎ ‎【详解】根据否命题的定义，同时否定条件和结论，‎ 故命题“若，则”的否命题为“若，则”.‎ 故答案为：若，则 ‎【点睛】本题考查了否命题定义，考查了学生概念理解的能力，属于基础题.‎ ‎14.已知非零向量，，且＝＋，＋，，则中一定共线的三点是________.‎ ‎【答案】A，B，D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明三点共线，可转化为证明由三点组成的两个向量共线，即得解.‎ ‎【详解】由向量的加法原理：‎ 又共点B，故A，B，D三点共线 故答案为：A，B，D ‎【点睛】本题考查了共线向量基本定理在证明三点共线中的应用，考查了学生综合分析，转化化归的能力，属于基础题.‎ ‎15.已知，且两两垂直，则(x，y，z)＝________．‎ ‎【答案】(－64，－26，－17)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积等于0列方程组得出x，y，z的值．‎ ‎【详解】∵两两垂直，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，‎ 解得：x=﹣64，y=﹣26，z=﹣17．‎ 故答案为(－64，－26，－17)．‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量垂直与数量积的关系，属于基础题．‎ ‎16. 给出下列命题：‎ ‎（1）命题“若b2－‎4ac<0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题 ‎（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题 ‎（3）命题“若a>b>0，则>>‎0”‎的逆否命题 ‎（4）“若m＞1，则mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题 其中真命题的序号为__________．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）命题“若b2－‎4ac<0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题为：若b2－‎4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根，所以否命题为真命题．‎ ‎（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“若△ABC为等边三角形，那么AB=BC=CA”，其逆命题为真命题；‎ ‎（3）因为原命题“若a>b>0，则>>‎0”‎为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；‎ ‎（4）“若m＞1，则mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题为：“若mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R，则m＞‎1”‎，为假命题．‎ 考点：命题真假的判断；四种命题．‎ 点评：本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题的定义，方程的根，恒成立等知识点，难度不大．‎ 三.解答题（共6个小题，共70分）‎ ‎17.命题：已知为实数，若关于的不等式有非空解集，则，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】逆命题：已知为实数，若，则关于的不等式有非空解集. ‎ 否命题：已知为实数，若关于的不等式没有非空解集，则. ‎ 逆否命题：已知为实数，若，则关于的不等式没有非空解集. ‎ 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.‎ ‎18.在正方体中，为的中点，为底面的中心，请你证明：平面 ‎【答案】证明见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图建立空间直角坐标系，利用向量垂直与数量积的关系可证明：，进而得证.‎ ‎【详解】‎ 证明：如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则 ‎，又 平面 ‎【点睛】本题考查了向量法证明线面垂直，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知，，求：‎ ‎（1）(－)·(＋)；‎ ‎（2）以，为邻边的平行四边形的面积.‎ ‎【答案】（1）58‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先计算(－)，(＋)的坐标，再计算(－)·(＋)即可；‎ ‎（2）利用计算，再计算，结合面积公式即得解.‎ ‎【详解】（1）由，‎ ‎－，＋‎ ‎ (－)·(＋)= ‎ ‎（2）‎ 故以，为邻边的平行四边形的面积：‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算以及在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)．‎ 求证：四边形ABCD是一个梯形．‎ ‎【答案】见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的运算法则证明与共线即可．‎ ‎【详解】证明：因为＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，‎ 因为＝＝，所以和共线，即AB∥CD.‎ 又因为＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，‎ 因为≠≠，所以与不平行，‎ 所以四边形ABCD为梯形．‎ ‎【点睛】本题考查了利用向量证明梯形的方法，属于基础题．‎ ‎21.已知空间三点，设. ‎ ‎（1）求和的夹角的余弦值；‎ ‎（2）若向量与互相垂直，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量夹角公式即可得出；‎ ‎（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于方程.‎ ‎【详解】， ‎ ‎．‎ ‎（1），‎ 所以与的夹角的余弦值为. ‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 所以,‎ 即，‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的夹角、数量积运算、共线向量定理，求解时要充分利用平面向量已有的知识进行问题类比求解，考查基本运算求解能力．‎ ‎22.如图，在直三棱柱中，，，，．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值大小．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直．‎ ‎（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．‎ ‎【详解】直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直．‎ 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 ‎（1），，‎ ‎，故。‎ ‎（2）平面一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ 由得：‎ 令，则，则．‎ 故，．‎ 所求二面角的余弦值。‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力．‎