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  • 2021-06-16 发布

新疆阿克苏市实验中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试题

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数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设x是实数,则“x>‎0”‎是“|x|>‎0”‎的 ( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 本小题主要考查充要条件的判定.由充分 而或,不必要,故选A.‎ ‎2.命题“,都有”的否定是( )‎ A. ,使得 B. ,使得 C. ,都有 D. ,都有 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题,即得解.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是特称命题,‎ 命题“,都有”否定是: “,使得”‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了全称命题的否定是特称命题,考查了学生概念理解的能力,属于基础题.‎ ‎3.如果命题“p∨q”与命题“┓p”都是真命题,那么( )‎ A. 命题p不一定是假命题 B. 命题q一定为真命题 C. 命题q不一定是真命题 D. 命题p与命题q的真假相同 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为是真命题,所以一定为假命题,所以只有为真命题时才为真,选B ‎4.设,是两个集合,则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:若,对任意,则,又,则,所以,充分性得证,若,则对任意,有,从而,反之若,则,因此,必要性得证,因此应选充分必要条件.故选C.‎ 考点:充分必要条件.‎ ‎5.空间直角坐标中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是( )‎ A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得=(﹣2,﹣2,2),=(1,1,﹣1),=﹣2,从而得到直线AB与CD平行.‎ ‎【详解】∵空间直角坐标系中,‎ A(1,2,3),B(﹣1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),‎ ‎∴=(﹣2,﹣2,2),=(1,1,﹣1),‎ ‎∴=﹣2,‎ ‎∴直线AB与CD平行.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题.‎ ‎6.若=(2x,1,3),=(1, -2y,9),如果与为共线向量,则 A. x=1,y=1 B. x=,y=-‎ C. x=,y=- D. x=-,y=‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用共线向量的条件,推出比例关系求出x,y的值.‎ ‎【详解】∵=(2x,1,3)与=(1,﹣2y,9)共线,‎ 故有==.‎ ‎∴x=,y=﹣.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的知识,考查学生计算能力,是基础题.‎ ‎7.已知是两两垂直的单位向量,,则与的数量积等于( )‎ A. -15 B. -‎5 ‎C. -3 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积的运算律可得,再结合即得解.‎ ‎【详解】由于是两两垂直的单位向量,故 故选:A ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算律,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于基础题.‎ ‎8.若平面的法向量分别为,并且,则的值为( )‎ A. 10 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直,得到两平面的法向量垂直,其数量积为0,计算即得解.‎ ‎【详解】‎ 平面的法向量相互垂直 故选:B ‎【点睛】本题考查了利用向量表示面面垂直,考查了学生转化化归,数学运算的能力,属于基础题.‎ ‎9.在平行六面体ABCD-EFGH中,若=x﹣2y+3z,,则x+y+z等于( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平行六面体ABCD﹣EFGH中,=++,结合=x﹣2y+3z,=,求出x,y,z,即可得出结论.‎ ‎【详解】在平行六面体ABCD﹣EFGH中,=++,‎ ‎∵=x﹣2y+3z,=,‎ ‎∴x=1,﹣2y=1,3z=1,‎ ‎∴,z=,‎ ‎∴x+y+z=,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则,空间向量的加法运算,比较基础.‎ ‎10.如图,在正方体ABCD中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为B的中点,F为的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是( )‎ A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)‎ C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A、E、F的坐标算出=(0,2,1),=(﹣1,0,2).设=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x、y、z的方程组,再取y=1即可得到向量的坐标,从而可得答案.‎ ‎【详解】设正方体棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),‎ ‎∴=(0,2,1),=(﹣1,0,2)‎ 设向量=(x,y,z)是平面AEF的一个法向量 则,取y=1,得x=﹣4,z=﹣2‎ ‎∴=(﹣4,1,﹣2)是平面AEF的一个法向量 因此可得:只有B选项的向量是平面AEF的法向量 故选B.‎ ‎【点睛】本题给出空间三个点的坐标,求三点确定平面的法向量的坐标.着重考查了空间向量数量积的公式和运算性质等知识,属于中档题.‎ ‎11.直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A‎1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线为轴,则设CA=CB=1,则 ‎,,A(1,0,0),,故,,所以,故选C.‎ 考点:本小题主要考查利用空间向量求线线角,考查空间向量的基本运算,考查空间想象能力等数学基本能力,考查分析问题与解决问题的能力.‎ ‎12.如图,棱长为1的正方体,是底面的中心,则到平面的距离是( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图建立空间直角坐标系,可证明平面,故平面的一个法向量为:,利用点到平面距离的向量公式即得解.‎ ‎【详解】 ‎ 如图建立空间直角坐标系,则:‎ ‎ ‎ 由于平面平面 ‎,又,‎ 平面 故平面的一个法向量为:‎ 到平面的距离为:‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示,考查了学生空间想象,概念理解,数学运算的能力,属于中档题.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.命题“若,则”否命题为________________.‎ ‎【答案】若,则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题的定义,同时否定条件和结论,即得解.‎ ‎【详解】根据否命题的定义,同时否定条件和结论,‎ 故命题“若,则”的否命题为“若,则”.‎ 故答案为:若,则 ‎【点睛】本题考查了否命题定义,考查了学生概念理解的能力,属于基础题.‎ ‎14.已知非零向量,,且=+,+,,则中一定共线的三点是________.‎ ‎【答案】A,B,D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 证明三点共线,可转化为证明由三点组成的两个向量共线,即得解.‎ ‎【详解】由向量的加法原理:‎ 又共点B,故A,B,D三点共线 故答案为:A,B,D ‎【点睛】本题考查了共线向量基本定理在证明三点共线中的应用,考查了学生综合分析,转化化归的能力,属于基础题.‎ ‎15.已知,且两两垂直,则(x,y,z)=________.‎ ‎【答案】(-64,-26,-17)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积等于0列方程组得出x,y,z的值.‎ ‎【详解】∵两两垂直,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴,‎ 解得:x=﹣64,y=﹣26,z=﹣17.‎ 故答案为(-64,-26,-17).‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量垂直与数量积的关系,属于基础题.‎ ‎16. 给出下列命题:‎ ‎(1)命题“若b2-‎4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题 ‎(2)命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题 ‎(3)命题“若a>b>0,则>>‎0”‎的逆否命题 ‎(4)“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题 其中真命题的序号为__________.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)命题“若b2-‎4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题为:若b2-‎4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,所以否命题为真命题.‎ ‎(2)命题“△ABC中,AB=BC=CA,那么△ABC为等边三角形”的逆命题为:“若△ABC为等边三角形,那么AB=BC=CA”,其逆命题为真命题;‎ ‎(3)因为原命题“若a>b>0,则>>‎0”‎为真命题,所以它的逆否命题也为真命题;‎ ‎(4)“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的逆命题为:“若mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R,则m>‎1”‎,为假命题.‎ 考点:命题真假的判断;四种命题.‎ 点评:本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题的定义,方程的根,恒成立等知识点,难度不大.‎ 三.解答题(共6个小题,共70分)‎ ‎17.命题:已知为实数,若关于的不等式有非空解集,则,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】逆命题:已知为实数,若,则关于的不等式有非空解集. ‎ 否命题:已知为实数,若关于的不等式没有非空解集,则. ‎ 逆否命题:已知为实数,若,则关于的不等式没有非空解集. ‎ 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.‎ ‎18.在正方体中,为的中点,为底面的中心,请你证明:平面 ‎【答案】证明见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图建立空间直角坐标系,利用向量垂直与数量积的关系可证明:,进而得证.‎ ‎【详解】‎ 证明:如图建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为2,则 ‎,又 平面 ‎【点睛】本题考查了向量法证明线面垂直,考查了学生空间想象,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.‎ ‎19.已知,,求:‎ ‎(1)(-)·(+);‎ ‎(2)以,为邻边的平行四边形的面积.‎ ‎【答案】(1)58‎ ‎(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先计算(-),(+)的坐标,再计算(-)·(+)即可;‎ ‎(2)利用计算,再计算,结合面积公式即得解.‎ ‎【详解】(1)由,‎ ‎-,+‎ ‎ (-)·(+)= ‎ ‎(2)‎ 故以,为邻边的平行四边形的面积:‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算以及在几何中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.‎ ‎20.已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).‎ 求证:四边形ABCD是一个梯形.‎ ‎【答案】见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的运算法则证明与共线即可.‎ ‎【详解】证明:因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),‎ 因为==,所以和共线,即AB∥CD.‎ 又因为=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),‎ 因为≠≠,所以与不平行,‎ 所以四边形ABCD为梯形.‎ ‎【点睛】本题考查了利用向量证明梯形的方法,属于基础题.‎ ‎21.已知空间三点,设. ‎ ‎(1)求和的夹角的余弦值;‎ ‎(2)若向量与互相垂直,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用向量夹角公式即可得出;‎ ‎(2)利用两个向量互相垂直,其数量积为0,可得关于方程.‎ ‎【详解】, ‎ ‎.‎ ‎(1),‎ 所以与的夹角的余弦值为. ‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 所以,‎ 即,‎ 所以或.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的夹角、数量积运算、共线向量定理,求解时要充分利用平面向量已有的知识进行问题类比求解,考查基本运算求解能力.‎ ‎22.如图,在直三棱柱中,,,,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求二面角的余弦值大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据,,两两垂直,建立如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,写出点的坐标,根据两个向量的数量积等于0,证出两条直线互相垂直.‎ ‎(2)求出两个面的法向量,求两个法向量的夹角的余弦值,即可得到答案.‎ ‎【详解】直三棱柱,底面三边长,,,,,两两垂直.‎ 如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则 ‎(1),,‎ ‎,故。‎ ‎(2)平面一个法向量为,‎ 设平面的一个法向量为,‎ ‎,,‎ 由得:‎ 令,则,则.‎ 故,.‎ 所求二面角的余弦值。‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解,考查空间想象能力和运算求解能力.‎